Диссертация (1102711), страница 10
Текст из файла (страница 10)
(Случай q = 1 с системойуправляющих уравнений (2.2) сводится к одному уравнению (3.4) ирассмотрен в первой главе.) Непрерывный спектр начальной плотностиэнергии ρ̃BY (k̃, η0 ) описывается степенью nBY ,77(3.8)ρ̃BY (k̃, η0 ) = Ak̃ nBY ,(3.9)где нормировочный множитель(1 + nBY )(B̃0Y )2,1+nB− k̃min)q(0)Yопределяется затравочным полем B̃0 = 2ρ̃BY с фиксированнойA=1+nBY(3.10)2(k̃max(0)плотностью энергии ρ̃BY = 10−8 ; здесь k̃min (η0 ) = (T0 · lH )−1 = T0 /M0 = η0−1−1соответствет максимальному масштабу ΛBY = kmin= lH (η0 ) , где k̃max -произвольное волновое число, ограниченное сверху, как описано выше.В выражении (3.9) nBY = −5/3 для колмогоровского спектра, однако другиемодели также возможны, например, казанцевский спектр с nBY = −1/2, илианалог белого шума с показателем степени nBY = 0.Ниже, в самосогласованных уравнениях для асимметрий лептонов (3.12),(3.13) мы выбираем начальные значения асимметрий ξeR (η0 ) = 10−14 иξeL (η0 ) = 0.
Асимметрия левых лептонов отсутствует при температурахT > T0 = TRL , соответствующих конформному времени η < η0 гдеη0 = M0 /TRL = 7 × 1013 начальный момент времени TRL = 10 TeV.3.3Уравнения лептогенезисаДля простоты мы рассматриваем только обратный хиггсовский распад,пренебрегая асимметрией хиггсовского бозона: µ0 = 0. Системакинетических уравнений для лептонов, учитывающих для абелевых78аномалий правых и левых электронов (и нейтрино),0µ2EY · BY /16π 2 , обратный хиггсовский распад и∂µ jR,L= ±g 2 yR,Lсфалеронные переходы, имеет вид (1.9):dLeRg 02= 2 (EY · BY )+dt4π sg 02dLeL=−(EY · BY )+dt16π 2 s2ΓRL {LeL − LeR } ,ΓRL {LeR − LeL }Γsph T−LeL .2а в конформных переменных - (1.10, 1.11):3αdξeR (η)=−dηπdξeL (η)dη0Zdh̃Y (k̃, η)dηhi−Γ ξeR (η) − ξeL (η) ,dk̃0 Z3αdh̃Y (k̃, η)=+dk̃4πdηhi ΓΓ(η)sphξeL (η) − ξeR (η) −ξeL (η),−22гдеΓ(η) =242ηEW"1−ηηEW2 #,ηRL < η < ηEW(3.11)- безразмерная скорость изменения киральности Γ = 2aΓRL [47, 23] ,ηEW = M0 /TEW = 7 × 1015 - момент ЭФП при TEW = 100 GeV .Теперь мы будем решать самосогласованные кинетические уравнения (1.10,1.11), подставляя производную dh̃Y (k̃, η)/dη из решения системы (2.2) дляплотности энергии ρ̃BY (k̃, η) и плотности спиральности h̃Y (k̃, η)определенного в (3.7).79На Рис.3.2 показана эволюция асимметрии правых электронов ξeR (η),численно найденная из системы (1.10, 1.11); это должно помочь объяснитьэволюцию БАВ.
В первой главе показано, что асимметрия левых лептоновξeL имеет гораздо меньшую величину, чем асимметрия правых: ξeL ξeR во-первых, поскольку сфалеронные переходы уменьшают число левыхлептонов LeL , и, во-вторых, в нашем сценарии при начальных условияхξeL (η0 ) = 0, ξeR (η0 ) 6= 0, ξeL просто не успевает вырасти к моменту ЭФП.Right Leptons−6Right Leptons−6q=0.1, B 20 =10 −8−7B 2 =10 −80k=10 −6−7max−6red −− k max =10−7green −− k max =10blue −− k=10 −8−8red −− q=1green −− q=0.1blue −− q=0.01−8max−9lgξeRlgξeR−9−10−10−11−11−12−12−13−13−1413.51414.5lgη1515.5−1413.5161414.5lgη1515.516Рис.
3.2: Эволюция асимметрии правых электронов ξeR (η) в случае колмогоровского начального спектра (3.9). Левая панель: графики асимметрии правых электронов для разных значений q in Eq. (3.8), и пар разных начальных значений ξeR (η0 ): ξeR (η0 ) = 10−6 и ξeR (η0 ) = 10−14 при одних и тех же(конформных) волновых числах k̃max = 10−6 = kmax /T обозначенных простоkmax . Правая панель: графики асимметрии правых электронов для различных kmax , разных начальных значений ξeR (η0 ) и общего параметра q = 0.1.(0)Удвоенная плотность энергии затравочного поля B02 = 10−8 = 2ρBY .Обсуждение причин, по которым ξeR (η) растет вследствие абелевойаномалии и выходит на насыщение ξeR (η) ≈ constant сделано в первой80главе, где для случая монохроматического спектра плотностиспиральности показана независимость такого уровня от выбора начальныхусловий ξeR (η0 ) = 10−10 или ξeR (η0 ) = 10−4 .
Сходная независимость уровнянасыщения ξeR ≈ const показана здесь для непрерывного (колмогоровского)спектра плотности энергии когда линии сливаются для фиксированногопараметра q в (3.8) ( принимающего значения q = 0.01, 0.1, 1 ), стартуя сразных начальных значений ξeR (η0 ) на левой панели Рис. 3.2, и дляодинаковых k̃max (k̃max = 10−8 ÷ 10−6 ) и одного и того же q = 0.1на правойпанели. Финальный рост асимметрии правых электронов на Рис.3.2объясняется обнулением скорости хиггсовских распадов (3.11) когдаη → ηEW .3.4Эволюция спиральности гипермагнитногополя в случае колмогоровского спектраВ этом разделе мы вычислим спиральность гипермагнитного поля дляпроизвольного начального уровня плотности спиральности, определяемогопараметром q ≤ 1.На Рис.
3.3 видно, что в случае колмогоровского спектра, nBY = −5/3,плотность спиральности h̃Y (η) почти сохраняется, dh̃Y (η)/dη ≈ 0, чтоявляется следствием того, что главный вклад вносят крупномасштабныеR kmaxполя в интеграле h̃Y (η) = kmindk̃ h̃Y (k̃, η) вблизи горизонта при η0 , ( или,−1что то же самое, малые волновые числа k̃ ∼ k̃min ' ˜lH(η0 ) ∼ 10−14 ).81HelicityHelicity80.00507.5−0.005lghYhY−hY(η0)76.5B20=10−7,kmax=10−6−0.01q=0.1, B20=10−7−0.015red −− kmax=10−7green −− kmax=10−8blue −− kmax=10−9−0.02red −− q=1green −− q=0.1blue −− q=0.0165.513.51414.51515.5−0.025−0.0313.5161414.51515.516lgηlgηРис.
3.3: Сохранение плотности спиральности гипермагнитного поля h̃Y (η) =Rdk̃ h̃Y (k̃, η) для случая колмогоровского спектра, nBY = −5/3. Левая панель: различные значения параметра q = 0.01, 0.1, 1 и одно и то же значениеk̃max = kmax = 10−6 . Правая панель: показано чрезвычайно малое отклонениеплотности спиральности от начальной для разных kmax = 10−9 ÷ 10−7 и одинакового q = 0.1. Удвоенная энергия гипермагнитного поля в конформных(0)переменных равна 2ρBY = B02 = 10−7 .Оказывается, что и описывающая диффузию экспонента, и аргументыгиперболических функций Eq. (3.7) не играют почти никакой роли, так чтоспиральность h̃Y (η) более зависит от параметра q (когдаq cosh(...) → q, sinh(...) → 0 ), т. е., плотность спиральности определяется,главным образом, своим начальным значением (3.8),82−1/5.h̃Y (η0 ) ≈ 2q(B̃0Y )2 k̃minОчень слабое уменьшение плотности спиральности dh̃Y /dη < 0 (не заметноена Рис.
3.3), происходит из-за отрицательной производной диффузнойэкспоненты в выражении (3.7) и обеспечивает рост асимметрии правыхэлектронов ξeR что видно на Рис.3.2 для разных начальных уровнейспиральности q, т.е. спиральное поле "раскручивает"асимметрию лептонов,как это видно по первому слагаемому в уравнении (3.11). Интеграл в (3.11),содержащий производную dh̃(k̃, η)/dη ∼ −(2k̃ 2 /σc ) exp[−2k̃ 2 (η − η0 )/σc ],устроен таким образом, что его значение зависит от верхнего предела k̃max ,как это видно на правой панели Рис.3.2 для разных k̃max и фиксированногоq.Заметим, что в отличие от случая монохроматического спектра,проиллюстрированного Рис.3.1, линии плотности спиральности для h̃Y (η)построенные для разных q, на левой панели Рис.3.3 остаютсяпараллельными, не обнаруживая тенденции к набору максимальной приспиральности q = 1.
Это происходит из-за того, что спектр (3.7) содержитмножитель 2ρ̃BY (k̃, η0 )/k̃ ∼ k̃ −8/3 для колмогоровского показателя степениnBY = −5/3, так что крупномасштабные (соответствующие малымRволновым числам) вносят основной вклад в интеграл h̃Y (η) = dk̃ h̃Y (k̃, η).И даже для монохроматического спектра h̃Y (k̃, η) ∼ δ(k̃ − k0 ), графики дляменьших k0 не успевают достичь максимальной спиральности h̃ = 2ρ̃BY /k0до момента ЭФП - см.
синюю линию (k0 = 10−8 ) на левой панели Рис. 3.1.833.5Эволюция БАВ для колмогоровскогоспектра плотности энергиигипермагнитного поляЭволюция БАВ отпределяется в нашей модели законом ХуфтаB(t)/3 − Le (t) = const 2 где барионное число B(t) "сидит"в гипермагнитномполе,Z tdLeR dLeL dLνeL0B(t) = 3dt++000dtdtdtt0Z00 Z tt3g 2dt0= 2(EY · BY )−3Γsph T LeL dt ,8π t0st0(3.12)в конформных переменных БАВ зависит от лептонных асимметрий ξeR,eL (η),B(η) = 5.3h dξ (η 0 )00eR×10dη+ Γ(η ) ξeR (η )0dηη0Zi6 × 107 η000−ξeL (η ) −ξeL (η )dη .ηEWη0−3Zη0(3.13)Рис. 3.4 демонстрирует рост БАВ, обеспечиваемый лептогенезисом вгипермагнитном поле (∼ dξeR (η)/dη > 0).Важно, что для больших значений асимметрии правых электроновξeR (η0 ) = 10−8 ÷ 10−6 показанных на Рис.
3.2, производная асимметрииоказывается отрицательной: ∼ dξeR (η)/dη < 0. Это соответствует генерацииантиматерии, как видно из выражения (3.13), B < 0. Следовательно, такиеначальные значения асимметрий должны быть исключены. Заметим также,2Обоснование выбора глобальных зарядов дано в [54].84Baryon Asymmetry of UniverseBaryon Asymmetry of Universe−9−9.5−9.5B20=10−7 ,kmax=10−6q=0.5, B20=10−7red −− q=1−10−10 green −− q=0.1blue −− q=0.01−10.5lgBAUlgBAU−10.5red −− kmax=10−6green −− kmax=10−7blue −− kmax=10−8−11−11−11.5−12−11.5−12.5−1313.51414.51515.5−1213.516lgη1414.51515.516lgηРис. 3.4: Эволюция БАВ перед ЭФП в зависмости от конформного времениη для колмогоровского (nBY = −5/3) начального спектра плотности энергиигипермагнитного поля (3.9).
Левая панель: линии для kmax = 10−6 , и различных уровнях начальной плотности спиральности в(3.8): q = 0.01, q = 0.1and q = 1. Удвоенная плотность энергии гиперполя B02 = 10−7 . Праваяпанель: линии соответствуют различным масштабам гипермагнитных полей−1ΛBY = kmax, которые определяются волновыми числами kmax при фиксиро-ванном уровне начальной плотности спиральности q = 0.5 в выражении(3.8).что это происходит, когда вклад хиггсовских распадов превышает вкладгипермагнитного поля в лепотгенезис через абелеву аномалию ( сотрицательной производной dh̃Y /dη ∼ −EY · BY < 0 и соответствующимположительным вкладом гиперполя в уравнении (1.10). И наоборот, для85малых начальных значений асимметрии (здесь - ξeR = 10−14 ) вкладгипермагнитной спиральности оказывается больше хиггсовских распадов,так что производная dξeR /dη положительна, и БАВ достигает наблюдаемыхзначений Bobs ' 10−10 по крайней мере для достаточно больших k̃max и q налевой панели Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
