Диссертация (1102711), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Мы выберем начальную плотность энергии гипермагнитного поля(0)ρ̃BY = 10−8 так, чтобы она соответствовала сильному затравочному полю√B0Y = 10−4 2T02 ∼ 1024 G. Подчеркнем, что такое поле не влияет нафридмановский закон расширения Вселенной, поскольку ρ̃BY ργ ∼ T 4 .33−4−4−4.5−5−5−6−5.5−7−6−8−6.5−9−1013.8−71414.214.414.614.81515.215.415.6−7.513.81414.214.414.614.81515.215.415.6Рис. 1.1: Эволюция правой асимметрии ξeR (η)для монохроматического спектра (1.14). Левая панель: рост асимметрии для малых начальных значенийξeR (η0 ) = 10−10 ; Правая панель: падение асимметрии для больших начальных значений ξeR (η0 ) = 10−4 . Красная линия соответствует волновому числуk̃0 = 10−6 , зеленая - k̃0 = 10−7 , синяя - k̃0 = 10−9 .1.3.2Решение кинетических уравнений длямонохроматического спектра(1.14)На левой панели Рис.
1.1, и на Рис. 1.2 показаны решения кинетическихуравнений (1.10),(1.11) - асимметрии правых и левых электронов ξeR (η),ξeL (η), удовлетворяющие начальным условиям (1.13) и эволюционирующиев полностью спиральном начальном гипермагнитном поле. На Рис. 1.1можно видеть резкий рост асимметрии правых электронов вследствиеабелевой аномалии, когда начальные значения асимметрии малы:ξeR (η0 ) = 10−10 при T0 = TRL = 10 T eV (ср. с [48]).С другой стороны, можно выбрать большие начальные значения лептоннойасимметрии, например, ξeR (η0 ) ' 10−4 .
В частности, из рассмотрения ν34MSM-модели [21] следует, что лептонная асимметрия больше барионной:∆L/∆B ≥ 3 × 105 . Хотя требуемая в [21] лептонная асимметрия обязанасущестовать при температурах O(1 GeV ), соответствующих хиггсовскойфазе после ЭФП, можно предположить, что такая лептонная асимметриясуществовала также и в симметричной фазе. В этом случае (большихначальных значений) мы получим графики падения БАВ.Сравнение левой и правой панелей Рис. 1.1 показывает замечательное(satur)совпадение уровня насыщения ξeR ≈ Ξe, остающегося одним и тем жедля одинаковых волновых чисел.
Отсутствие зависимости ξeR (η) при η η0от начальных значений ξeR (η0 ) следует из аналитического решениялинеаризованного (второго) уравнения системы (1.16):dξeR+ (Γ + ΓBY ) ξeR = Q,dη(1.25)где мы пренебрегли асимметрией левых электронов (и нейтрино) ξeL (η) ≈ 0,связывающей уравнения в пару (1.16) из-за ее малости: ξeL ξeR . Здесь00Q = 6α k̃0 B̃Y2 (η)/πσc ≈ constant, ΓBY = 6α 2 B̃Y2 (η)/π 2 σc ≈ C2 когдаB̃Y (η) ≈ C3 , поскольку гипермагнитное поле почти вморожено в плазмуBY = C3 T 2 . Тогда при η η0 , когдаΓBY ηEW 1 мы находим (1.25):−(Γ+ΓBY )(η−η0 )ξeR (η) = ξeR (η0 )e≈hiQ−(Γ+ΓBY )(η−η0 )+1−e≈Γ + Γ BYQQ'= Ξ(satur),eΓ + Γ BYΓBY(1.26)и на последнем шаге в (1.26) мы рассматриваем случай сильных35гипермагнитных полей ΓBY Γ, для которых отношение Q/ΓBY не зависитот значения BY и в точности равно значению уровня насыщения лептонной(satur)асимметрии из (1.19), Ξe0= π k̃0 /α , что видно на обеих панелях. Этопозволяет нам получить одинаковые уровни насыщения ξeR (η) дляразличных начальных условий ξeR (η0 ) = 10−10 и ξeR (η0 ) = 10−4 .На Рис.
1.2 виден незначительный рост асимметрии левых лептонов ξeL (η)(стартующей с нуля - ξeL (η0 ) = 0), которая остается на низком уровневплоть до ЭФП ξeL ξeR , в соответствии с оценкой (1.17) и выходит нанасыщение, ∂t ξeL,eR ≈ 0. Подчеркнем, что в начальный момент T ∼ T0 когдаξeL ≈ 0, влияние сфалеронных переходов на эволюцию пренебрежимо мало,в силу малости асимметрии левых лептонов.
В результате ξeL (η) внекоторый момент становится даже меньше нуля из-за того, что абелевскаяаномалия вносит отрицательный вклад во второе уравнение системы (1.16).Ясно, что соответствующее отрицательное слагаемое в первом уравнениисистемы (1.16) является определяющим, особенно для больших волновыхчисел ∼ k̃0 = 10−6 , что хорошо демонстрирует отрицательный пик на Рис.1.2. Далее для отрицательных значений ξeL < 0 начинает работатьположительный вклад сфалеронов ∼ −Γsph ξeL в (1.16), резко меняющийзнак производной dξeL /dη > 0, и "забрасывающий"левую асимметрию вобласть положительных значений ξeL > 0.
Последующий режим насыщенияξeL > 0 наступает из-за того, что сохраняется спиральность ∼ dh̃Y /dη ≈ 0(внутри скобок в (1.16)) слегка нарушается благодаря теперь ужеотрицательному влянию сфалеронов вблизи момента ЭФП36ξeL1.5x 10−10k0=10-610.5k0=10-70k0=10-9−0.5−1−1.5−213.81414.214.414.614.8lgη1515.215.415.6Рис. 1.2: Эволюция асимметрии левых электронов ξeL (η) для монохроматического спектра (1.14). Волновому числу k̃0 = 10−6 соответствует краснаялиния, k̃0 = 10−7 - зеленая, а k̃0 = 10−9 - синяя.η ∼ ηEW ,dξeL /dη < 0.На Рис.
1.3 построена эволюция разности асимметрий правых и левыхлептонов ∆ξe (η) = ξeR (η) − ξeL (η), которая является важным начальнымпараметром в задаче исследования кирального магнитного эффекта ужепосле ЭФП, ∆µ(ηEW )/T ≡ ∆ξe (ηEW ) [45, 62].Таким образом мы подтвердили рост параметра киральной асимметрииyR − yL = 104 ∆ξe , полученный в работе [48] для частного случая волныЧерн-Саймонса и больших волновых чисел k̃0 = 10−7 ÷ 10−6 .Эволюция гипермагнитной спиральности для мод k̃0 = constНайденная из уравнения (1.7) эволюция безразмерной плотностиспиральности h ≡ h̃Y (k̃0 , η) = hY (k̃0 , η)/T 3 показана на Рис.1.4 . Можно37lg∆ξ−4k0=10-6−5k0=10-7−6−7k0=10-9−8−9−1013.81414.214.414.614.81515.215.415.6lgηРис.
1.3: Параметр киральной асимметрии ∆ξe (η) = ξeR − ξeL в логарифмической шкале для монохроматического спектра спиральности (1.14). Волновомучислу k̃0 = 10−6 соответствует красная линия, k̃0 = 10−7 - зеленая, а k̃0 = 10−9- синяя.видеть падение плотности спиральности для самого большого волновогочисла k̃0 = 10−6 . Чем больше длина волны k̃0−1 , тем меньше влияниедиффузии: плотность спиральности почти не меняется. На левой панелиРис.1.4 мы откладываем по оси y lgh̃Y (η) = lgh̃Y (η0 ) + A(η)k̃0 − B(η)k̃02 , гдеA(η), B(η) взяты из формулы (1.8). Начальные значения спиральности на2левой панели Рис.1.4, равны lgh̃Y (η0 ) = lg[(B̃Y0 ) /k̃0 ], и определены дляполностью спирального гипермагнитного поля со значением энергииполя(B̃0Y )2 = 2 × 10−8 всюду в первой главе.
Начальное значениеh̃Y (η0 ) = (B̃0Y )2 /k̃0 тем больше, чем меньше величина k̃0 при фиксированнойэнергии. На правой панели Рис.1.4 построены зависимости от времени lgηнормализованной спиральности h̃Y (η)/h̃Y (η0 ) вычисленные для больших38lgh51k0=10-90x 10−30.5−50−10−0.5−15−2513.8−1k0=10-6−201414.214.414.614.81515.215.4−1.513.815.61414.214.414.614.81515.215.415.6lgηРис. 1.4: Поведение плотности спиральности h̃Y (η) в случае монохроматического спектра (1.14). Левая панель: h̃Y (η) для начального значения правойасимметрии ξeR (η0 ) = 10−10 .
Волновому числу k̃0 = 10−6 соответствует красная линия, k̃0 = 10−7 - зеленая, а k̃0 = 10−9 - синяя. Правая панель: эволюция относительной плотности спиральности h̃Y (η)/h̃(η0 ) для монохроматического (1.14) и большого начального значения асимметрии правых лептоновξeR (η0 ) = 10−4 .
Волновому числу k̃0 = 10−8 соответствует красная линия,k̃0 = 10−9 - зеленая, а k̃0 = 10−10 - синяя.начальных значений ξeR (η0 ) = 10−4 . Для k̃0 = 10−7 первичный ростплотности спиральности происходит еще резче, чем для k̃0 = 10−8 (ипопросту не уместился бы на графике).Для случая ξeR (η0 ) = 10−4 зависимость от времени кирального параметра∆ξe и плотности спиральности hY весьма похожи на свои аналоги ∆µ/T andHk для максвелловских магнитных полей в [45].391.4Непрерывный спектр плотностиспиральностиЗапишем плотность спиральности h̃Y (η) =Rинтеграл по всему спектру Фурье h̃Y (η) =R k̃maxdk̃ h̃(k̃, η) как безразмерный0dk̃ h̃(k̃, η).
Нижний пределинтегрирования k̃ → 0 мы выбираем из соображений ненарушения−1−1= 10−15 при, где lH - радиус горизонта ˜lHпричинности: k̃ > k̃min = ˜lHT = TEW . Плотность спиральности h̃Y (η) может быть найдена изэволюционного уравнения (1.6):Zk̃maxh̃Y (η) =k̃min =0(0)h̃Y (k̃, η0 ) exp1ησ Ξsat (k̃)Zη 0Ξe (η ) − Ξ (k̃) dη dk̃.0satη0(1.27)00Величина Ξsat (k̃) = π k̃/α ≡ 4π 2 k̃/g 2 соответствует уровню насыщения длякомбинации лептонных асимметрий Ξe = ξeR + ξeL /2 для текущеговолнового числа k̃ . Для непрерывного спектраh̃Y (k̃, η0 ) = C k̃ ns(1.28)мы вычисляем плотность спиральности из (1.27) какZk̃maxnshk̃ exp A(η)k̃ − B(η)k̃h̃Y (η) = C2idk̃ = CIns (η).(1.29)0Здесь функции A(η), B(η) взяты из (1.8).
Множитель C оценивается изсоотношения для полностью спирального поляh̃Y (k̃, η0 ) = C k̃ ns = 2ρ̃BY (k̃, η0 ). Используя определение для начальной40Rгипермагнитной энергии dk̃ ρ̃BY (k̃, η0 ) = (B̃0Y )2 /2 получаем формулуR k̃(0)C 0 max k̃ ns +1 dk̃ = (B̃0Y )2 = 2ρ̃Y = 2 × 10−8 . Далее остается лишьварьировать значения k̃max в верхнем пределе интеграла.
Окончательно,C = (ns + 2)(B̃0Y )2 /(k̃max )ns +2 .Для непрерывного начального спектра (1.28) мы можем переписатькинетические уравнения для лептонных асимметрий (1.10), (1.11)следующим образом:0 0dξeRα6α CξeLIns +2 (η) −=ξeR +Ins +1 (η) − Γ(η)(ξeR − ξeL ), (1.30)dηπσcπ200 dξeL3α CαξeLΓsph=−Ins +2 (η) −ξeR +Ins +1 (η) −Γ(η)(ξeL −ξeR )−ξeL (η).dη2πσcπ22(1.31)Интегралы I(ns +2),(ns +1) (η) суть функции лептонных асимметрий ξeR , ξeL ,связанные через A(η) в (1.29); таким образом, система уравненийоказывается нелинейной и будет исследоваться численно.На Рис.
1.5 показана эволюция асимметрии правых электронов ξeR (η)найденная как решение системы (1.30), (1.31) с начальными условиямиξeR (η0 ) = 10−10 , ξeL (η0 ) = 0 в случае непрерывного спектра (1.28) приns = 3. Асимметрия ξeR растет для всех рассмотренных верхних пределов винтеграле (1.29) и выбранных начальных значений.
Сравнивая линии наРис.1.5 с соответствующими линиями на Рис. 1.1, мы можем обнаружитьуменьшение асимметрий ( ≈ на два порядка) вследствие работы обратного41lgξeR5kmax=10-75kmax=10-855kmax=10-6513.51414.51515.516lgηРис. 1.5: Эволюция асимметрии правых электронов ξeR (η) для непрерывногоспектра (1.28) и ns = 3. Все три линии для различных верхних пределов(1.29): k̃max = 10−6 , 10−7 , 10−8 стартуют с начальных значений ξeR (η0 ) =10−10 .каскада на модах k̃max ≥ k̃ → 0, в случае непрерывного спектра(1.28) вотличие от монохроматического (1.14). Интегрируя по всему спектру (1.29)вместо δ-функции, входящей в (1.14), производную плотностиспиральности, получим разные графики для k̃0 = 10−6 на Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
