Диссертация (1102711), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Во втором разделе мывоспроизводим схему сценария, развитую в работах [47, 48, 49], стартуя собъяснения тока (3.1), возникающего благодаря черн-саймоновскойаномалии. Здесь мы расширяем наш подход на произвольную начальнуюспиральность гипермагнитного поля. Далее мы показываем, как в случаемонохроматического спектра спиральность, являясь в начале парциальной,стремится стать максимальной вследствие законов сохранения,возникающих в уравнениях связи между плотностью энергии и плотностьюспиральности поля. В следующем разделе мы переходим к рассмотрениюболее реалистичного колмогоровского спектра, формулируем начальныеусловия для плотности спиральности и лептонных асимметрий.
Дальше мывыписываем систему кинетических уравнений лептогенезиса для первогопоколения, содержащую правый синглет eR и левый дублет L = (νeL eL )T вовнешнем гипермагнитном поле, описываемом эволюционными уравнениямииз предыдущего раздела. Наконец, мы вычисляем плотность спиральности70гипермагнитного поля и барионную асимметрию Вселенной (БАВ). Главазавершается обсуждением полученных результатов.3.2Произвольная спиральностьгипермагнитного поля перед ЭФППсевдовектор тока J, индуцированный затравочным гипермагнитным полемBY = ∇ × Y входит в нарушающий четность черн-саймоновский член влагранжиане стандартной модели (СМ) для гиперзарядового поля Yµ ,LCS = Y · J. Это является следствием поляризационного эффекта в горячейэлектрослабой плазме [57, 47],0g2 µeL J = 2 µeR +BY ,4π2(3.1)0где g = e/ cos θW - калибровочная константа связи в СМ, θW - уголВайнберга, значение которого определено экспериментально: sin2 θW = 0.23;µeR и µeL - химические потенциалы правого электронного синглета eR илевого дублета L = (νeL eL )T соответственно.
Ток, о котором идет речь,является добавочным к омическому току JOhm = σcond (EY + V × BY ), иприводит к нестабильности гипермагнитного поля в модифицированномуравнении Фарадея в СМ.Кратко напомним процедуру, описанную в [57, 47], приводящую ксуммированию химических потенциалов в уравнении (3.1) когдачерн-саймоновский член LCS = Y · J выведен в СМ. Статистическое среднее71тока в лагранжиане СМ равно000fR (g )hēR γµ eR iY µ + fL (g )hēL γµ eL iY µ + fL (g )hν̄eL γµ νeL iY µ , где0000fR (g ) = g yR /2, fL (g ) = g yL /2 играет роль "электрического"заряда,относящегося к группе UY (1), yR = −2, yL = −1 - гиперзаряды правого илевого электронов (и нейтрино вместе с левым электроном), соответственно,вносящие вклады в макроскопический 3-векторный (∼ JOhm ) и3-псевдовекторный (∼ J) токи.
Этот последний при вычислении среднегоR +∞0 P02fR,L h¯lR,L γ3 γ5 lR,L i ∼ fR,L (g ) ∞n=0 [| fR,L (g ) | BY /(2π) ] −∞ dpz (...), гдеn = 0, 1, ... - числа Ландау, BY = (0, 0, BY ) - затравочное гипермагнитное02, и для суммы лептонныыхполе, оказывается пропорциональным −g 2 yR,L0токов выше получаем J ∼ g 2 [4µeR + µeL + µνeL ]BY .
Так как для левогодублета L = (νeL eL )T химпотенциалы равны µeL = µνeL возникает сумма(µeR + µeL /2) в выражении для тока (3.1). Обратим внимание, что как и длякирального магнитного эффекта [62] ток (3.1) отличен от нуля для лептонов(включая нейтрино) лишь для главного уровня Ландау n = 0, см. [57].Уравнение Фарадея, выводимое в МГД из максвелловского уравнения стоком (3.1) добавленным к омическому JOhm = σcond (EY + v × BY ), имеетвид:∂BY= αY (t)∇ × BY + ηY (t)∇2 BY ,∂tгде при температурах TRL > T > TEW коэффициент гипермагнитнойспиральности αY получается из тока (3.1),72(3.2)0g2 µeL αY = 2µeR +,4π σcond2(3.3)и ηY = (σcond )−1 - коэффициент гипермагнитной диффузии, аσcond (T ) ' 100T - проводимость горячей плазмы.Из уравнения Фарадея мы можем получить эволюционные уравнения дляпопарных произведений комплексносопряженных компонентФурье-представления ∂t ρBY (k, t) ∼ [ḂY (k, t) · B∗Y (k, t) + Ḃ∗Y (k, t) · BY (k, t)],RRгде ρBY (t) = (2V )−1 (d3 k/(2π)3 ) | BY (k, t) |2 = dkρBY (k, t)) = BY2 (t)/2 плотность гипермагнитной энергии,∂t hY (k, t) ∼ [Ẏ(k, t) · B∗Y (k, t) + Y(k, t) · Ḃ∗Y (k, t)] откудаRRhY (t) = V −1 (d3 k/(2π)3 )[Y(k, t) · B∗Y (k, t)] = hY (k, t)dk плотностьгипермагнитной спиральности.
Ниже мы будем использовать конформное√время η = M0 /T где M0 = MP l /1.66 g ∗ , MP l = 1.2 × 1019 GeV планковская масса, g ∗ = 106.75 - число релятивистских степеней свободы вгорячей плазме до ЭФП. Общая система эволюционных уравнений дляспектральной плотности спиральности h̃Y (k̃, η) и плотности энергииρ̃BY (k̃, η), подчиняющихся неравенству ρ̃BY (k̃, η) ≥ k̃ h̃Y (k̃, η)/2 [59] имеетвид [54] (1.32).Для частного случая максимальной спиральности h̃Y (k̃, η) = 2ρ̃BY (k̃, η)/k̃,рассмотренного в первой главе ( соотв.
[49]) система (1.32) сводится кодному уравнению:73dh̃Y (k̃, η)2k̃ 2 h̃Y (k̃, η)=−+dησc02α [ξeR (η) + ξeL (η)/2]k̃πσc×h̃Y (k̃, η).0(3.4)0Здесь α = g 2 /4π определяется константой связи в СМ,σc = σcond a = σcond /T ≈ 100 - безразмерная проводимость плазмы;ξeR (η) = µeR (T )/T and ξeL (η) = µeL (T )/T - асимметрии правых и левыхэлектронов, соответственно.3.2.1Стремление спиральности к максимальной длямаломасштабных гипермагнитных полейУмножая первое уравнение системы (1.32) на (k̃ 2 /4)h̃Y , второе уравнение на ρBY , и вычитая одно из другого, мы исключим лептонные асимметрии из(1.32) и получим обыкновенное дифференциальное уравнение:ddηρ̃2BY −h̃2Y k̃ 24!2=−4k̃σcρ̃2BY −h̃2Y k̃ 24!.(3.5)Учитывая большое конформное время η → ηEW = 7 × 1015 и значениепроводимости σc = 100, найдем, что вблизи момента ЭФП решение (3.5)74h̃2Y (k̃, η)k̃ 2−4!!222h̃ (k̃, η0 )k̃4k̃= ρ̃2BY (k̃, η0 ) − Yexp −(η − η0 )4σc!24k̃(η − η0 ) ,= ρ̃2Y (k̃, η0 )(1 − q 2 ) exp −σcρ̃2BY (k̃, η)(3.6)стремится к максимальной спиральности гипермагнитного поля,h̃Y (k̃, η) = 2ρ̃BY (k̃, η)/k̃, вне зависимости от начальных условий в моментT0 = TRL , определенных в (3.8) ниже.
Так, для больших значений волновыхчисел k̃ ∼ 10−6 , или, что то же самое, для мелкомасштабных полейΛBY = k̃ −1 ' 106 T −1 ко времени η ∼ ηEW = 7 · 1015 в выражении (3.6)экспоненциальный множитель exp(−4k̃ 2 ηEW /σc ) = exp(−280) ≈ 0.На левой панели видно, что для больших масштабов поля ΛBY = k0−1 ,соответствующих малым волновым числам k0 = 10−8 (синяя линия)плотность спиральности не успевает достичь максимальной, для которойhY → 2ρBY /k0 , до конца интервала в момент ηEW = 7 × 1015 . Это означает,что в общем случае непрерывного (здесь - колмогоровского) спектра1сначальной плотностью энергии ρBY (k̃, η0 ) ∼ k −5/3 , трудно ожидать ростаспиральности к максимальной за время η0 ≤ η ≤ ηEW .Также есть опасность расширения области рассматриваемого спектра0 ≤ k̃ ≤ k̃max , до слишком больших волновых чисел k̃max .
Мы хотим в нашеймодели избежать рассмотрения мелкомасштабных полей λv ΛBY , чтобы1Подчеркнем, что, хотя мы и рассматриваем классический колмогорвский спектр, реальный спектрможет быть сложнее75−8−8x 1010.9q=0.1, B20=10−80.8red −− q=0.1green −− q=0.8blue −− q=0.90.70.60.5Y0.5Yρ2B −(khY/2)20.6B20=10−8k0=10−60.8red −− k0=10−6green −− k0=10−7blue −− k0=10−80.7x 100.9ρ2B −(khY/2)210.40.40.30.30.20.20.10.1013.51414.51515.5013.516lgη1414.51515.516lgηРис. 3.1: Стремление плотности спиральности к максимальной (3.6). Левая панель: графики соответствуют различным значениям волновых чиселk̃ = k/T = k0 монохроматического спектра при фиксированном параметре q = 0.1 в (3.8).
Правая панель: графики для разных q и одного и того(0)же k̃ = k0 = 10−6 . Удвоенная плотность энергии поля B02 = 10−8 = 2ρBY ,соответствует квадрату безразмерной напряженности гипермагнитного поля(0)(0)B̃Y = BY /T 2 .не решать вдобавок к уравнению Фарадея (3.2) уравнения Навье-Стоксадля движения плазмы. Во-вторых, как показано в работах [47, 48], в случаемонохроматического спектра при слишком больших волновых числах k0барионная асимметрия вырастает слишком сильно к моменту ЭФП,значительно превышая наблюдаемое значение БАВ Bobs = 10−10 .76Подставляя спектральную плотность энергии гипермагнитного поляρ̃BY (k̃, η) из соотношения (3.6) в первое уравнение для dh̃Y /dη системы (2.2)без труда запишем решение!Z η0h2ρ̃BY (k̃, η0 )2α k̃00h̃Y (k̃, η) =sinhΞ(η )dηπσc η0k̃"!#Z η0i2−2k̃ (η − η0 )2α k̃00exp+q coshΞ(η )dη,πσc η0σc(3.7)где подынтегральные выражения в аргументах гиперболических функцийΞ(η) = ξeR (η) + ξeL (η)/2, будут найдены из кинетических уравнений дляасимметрий ξeR (η), ξeL (η), в разделе 3.3.2.2Начальные условияМы выберем общие начальные условия для плотности спиральностигипермагнитного поля, подчиняющегося неравенству h(t, k) ≤ 2ρB (t, k)/k[59] и согласующиеся с соотношением (3.7):h̃Y (k̃, η0 ) = q2ρ̃BY (k̃, η0 )k̃!,0 ≤ q ≤ 1,где значения q = 0 (q = 1) соответствуют бесспиральному (полностьюспиральному) полям соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
