Диссертация (Физическое и математическое моделирование теплообмена в керамических конструкционных материалах), страница 9

Математическая модель двухмерного нестационарного теплообмена впластине конечных размеровМатематическая формулировка задачи имеет следующий вид:C (T )TTT( (T ))( (T )),xxyyxгр  x  l x / 2,T ( x, y )  T0 ( x, y ),y  0,qпогл   (T )y  ly ,  0,0  y  ly ,  0,(2.81)(2.83)T,y t (T  Tair )   (T )(2.82)(2.84)T,yx  l x / 2,T 0,xx  xгр , гр (T  Tair )   (T )(2.85)(2.86)T,x(2.87)где lx/2, хгр – координаты границ образца по ширине;αt , αгр – коэффициенты теплоотдачи тыльной и левой границе образца соответственно.2.4.

Применение математических моделей для минизации методическойпогрешности2.4.1. Применение модели одномерной нестационарной теплопроводностипри выборе толщины образца и режима нагрева его поверхностиОдним из критериев выбора являлась величина методической составляющей ɛм приведённой погрешности измерений, которую рассчитывали сравнением априори известных значений коэффициента теплопроводности керамического образца на выборке из 6 точек в области исследуемых температурс результатами расчётов этой характеристики, полученных с помощью ICP-3для тех же температур. Файлы исходных данных для ICP-3 формировали порезультатам решения прямой задачи нестационарной теплопроводности для53одномерной математической модели, ТФС которой соответствовали предполагаемым (табличным) значениям исследуемого материала.

Расчёты проводили для каждого варианта граничных условий: по темпу нагрева фронтальной поверхности образца, коэффициенту теплоотдачи на его тыльной поверхности и толщине образца. Затем рассчитывали с помощью программыICP-3 коэффициенты теплопроводности материала для заданной выборкитемператур.

Последующими вычислениями определяли среднее значение коэффициента теплопроводности этого материала λср по табличным даннымдля выборки из 6 температурных точек. Методическую погрешность результата измерений ɛм рассчитывали, как отношение среднеквадратического отклонения между табличными и рассчитанными значениями коэффициентовтеплопроводности к среднему табличному значению λср.

Расчет проводили поформулам статистической обработки результатов измерений [69]:n 6n 6ñð  (i 1nti,pi ti ) 2 м  2,57  ( i 1) 0,5 / ср ,n  (n  1)(2.88)где λpi, λti – значения расчётного и табличного коэффициентов теплопроводности i-ых членов выборок соответственно; n – объём выборки; 2,57 – значение коэффициента Стьюдента для выборки указанного объёма при достоверной вероятности 0,95.Процесс вычисления коэффициентов теплопроводности программойICP-3 является итерационным. Каждой итерации соответствует свой наборкоэффициентов теплопроводности для заданной выборки температур.

Достоверность полученных результатов может быть оценена величиной методической погрешности ɛм. Результаты такой оценки приведены на рисунке 2.4.Из приведённой на рисунке 2.4 зависимости можно сделать вывод, что впределах 2- 5 итераций методическая погрешность не превышает 2 % и в последующих расчётах наиболее достоверные результаты определения теплопроводности соответствуют этой области итерационного процесса.54Рисунок 2.4–Зависимость методической погрешности от номера расчетной итерации программы ICP-3Исходный файл ICP-3 содержит временную последовательность набороврасчетных значений температур в трёх точках образца, расположенных наразном удалении от фронтальной поверхности [2].

Положение промежуточной (второй) точки относительно крайних точек может влиять на точностьопределения конечного параметра λ. Результаты такого исследования длятемпа нагрева фронтальной поверхности 5 К/с образца из кварцевой керамики толщиной 7 мм приведены на рисунке 2.5.2α,ɛλ, %1,81101001,61,41,2y, мм10123456Рисунок 2.5–Зависимость методической погрешности ɛм от глубинырасположения промежуточного датчика температуры в образце y дляразличных значений коэффициента теплоотдачи тыльной поверхности αВлияние темпов нагрева образцов различных толщин на ɛм приведенона рисунке 2.6.55Рисунок 2.6–Зависимость усреднённой по коэффициенту теплоотдачиметодической составляющей погрешности эксперимента ɛм от темпа нагревафронтальной поверхности образцов толщин: 3; 7; 10 ммПриведённые на рисунке 2.6 результаты показывают, что эта составляющая погрешности изменяется в пределах 2,2 – 1,3 % при задаваемых коэффициентах теплоотдачи тыльной поверхности образца от 0,1 до 100Вт/(м2·град) и изменениях толщины образца от 3 до 10 мм.

Такой результатпозволяет ограничить объём дальнейших исследований образцами толщиной7 мм, которая соответствует массовому типоразмеру образцов, применяемыхи для других испытаний.Оценки влияния коэффициента теплоотдачи α тыльной поверхности образцов исследуемых материалов толщиной 7 мм на методическую погрешность ɛм для темпа нагрева 5 К/с приведены на рисунке 2.7.2,5ɛλ , %12,021,531,00,1110100120,5-2-10α, Вт/м²·Кlgα31–кварцевая керамика; 2 – нитрид кремния; 3 – стеклокерамикаРисунок 2.7–Зависимости методической погрешности эксперимента εмот α тыльной поверхности образцов исследуемых материалов56Особенность разработанной одномерной модели состоит в том, что впроцессе расчета температур вычисляют и граничные условия 2-ого рода дляфронтальной поверхности образца в виде значений плотности поглощаемогоеё теплового потока необходимого для выполнения граничных условий 1-огорода. Величина этого параметра служит для предварительной оценки мощности нагревателей установки радиационного нагрева, необходимой для реализации режима испытаний.

Графические зависимости плотностей тепловогоQпогл, кВт/м2потока от перечисленных выше параметров приведены на рисунках 2.8 , 2.9.800hy=4мм700Vt , K/c10060050075400503002520051000-20,1110100-101210003800hy=7мм700Vt , K/cа)100600Qпогл, кВт/м2α, Вт/м²/Кlg α450075400503002520051000-20,1110100-10125710003α, Вт/м²/Кlg α4б)Qпогл, кВт/м2800hy=10мм700Vt , K/c10060050075400503002520051000-20,1110100-101210003α, Вт/м²/Кlg α4в)Рисунок 2.8– Зависимости максимальной плотности теплового потокаqпогл, поглощённого образцом кварцевой керамики различной толщины hy итемпов нагрева фронтальной поверхности Vt от коэффициента теплоотдачина тыльной поверхности αПолученные зависимости показывают, что только в области темповнагрева 5 град/с условия теплоотдачи влияют на плотность теплового потока.Это влияние становится заметным, начиная с величины αт близкой к условиям естественной конвекции (10 Вт/(м2·град)).

Т.е. условия теплопереноса вобразце в процессе испытаний поддаются регулированию. При темпах нагрева выше 25 град/с плотность теплового потока, необходимого для выполнения режима испытаний, существенно возрастает. Сам процесс становитсябыстропротекающим настолько, что граничные условия теплообмена натыльной поверхности не оказывают на него влияния [69,72,73].Расчёты,выполненныепотрёхмерноймоделирадиационно–кондуктивного теплообмена, показали, что обеспечение плотности поглощённого образцом теплового потока до 200 кВт/м2 может быть реализованоблоком однорядных ламповых нагревателей сравнительно простой конструкции.

С точки зрения мощности источников, необходимой для испытаний, режим нагрева фронтальной поверхности образца в пределах 2,5–10 град/с является достижимым.58Проведённые исследования позволяют сузить рамки дальнейшей работы, ограничив её продолжение темпом нагрева фронтальной поверхности образца в 5 град/с.250q ,кВт/м2225200121753150125100-20,1110100-10121000 α, Вт/м²·К3lgα41 – стеклокерамика; 2 – нитрид кремния; 3 – кварцевая керамикаРисунок 2.9– Зависимости максимальной плотности теплового потока,поглощённого образцами исследуемых материалов толщиной 7 мм, от коэффициента теплоотдачи на тыльной поверхности α для темпа нагрева 5К/с.Эти данные, не являющиеся полными и окончательными, указывают навозможность применения решений прямой и обратной задач теплопроводности для оптимизации теплофизического эксперимента по температурным режимам и размерам образца в области значений предполагаемых свойств исследуемого материала.

Полученные результаты существенно уточняют факторы, обеспечивающие применение программы ICP-3, изложенные в работах[2,24] и относящиеся в большей степени к математической стороне решенияобратной задачи теплопроводности. Изложенный выше подход дает возможность определить и минимизировать методическую погрешность эксперимента за счёт выбора толщины и режима одностороннего нагрева образца исследуемого материала.2.4.2.

Применение модели одномерной нестационарной теплопроводностидля выбора формы образца59В теплофизических исследованиях методами нестационарных тепловыхрежимов нагрева получили применение образцы простых форм: пластиныили цилиндры. В связи с необходимостью устанавливать в них датчикитеплового состояния (термопары), образцы в действительности представляютсобой набор элементов, собранных в виде указанных выше форм сзакреплёнными в них первичными преобразователями.

Такими элементамимогут быть тонкостенные диски или пластины с вертикальными пазами длятермопар. Целесообразность исследования такой формы представляетпрактический интерес, т.к. образец, сформированный из уложенных друг надруга пластин, конструктивно изначально имеет ряд недостатков, которыемогут повлиять на точность определения ТФХ материала. К их числу следуетотнестинеобходимостьплоскопараллельностиобеспеченияоченьвысокойстепении чистоты обработки поверхностейэлементовобразца, контактирующих друг с другом.