Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 9

В качестве управления КА с ЭРДУ будемрассматривать (пока) некоторую абстрактную вектор-функциюu t  : t    Rm ,(1.2.1)принимающую значения из множества U пространства Rm (определяющего ограничения науправление) на рассматриваемом временном интервале. Согласно общей теории задачоптимизации управляемых динамических систем [1, 2, 6, 7, 27, 52]u  t   L  , R m  ,т.е. в общем случае, функция u(t) – измеримая (Лебегова) существенно ограниченная.В качестве динамической системы (объекта), как уже было сказано выше, будемрассматривать сам КА, фазовое состояние которого в каждый момент времени можноохарактеризовать с помощью некоторой вектор-функции видаx  t  : t    t0 , t f   R 7 ,(1.2.2)где x – фазовый вектор системы дифференциальных уравнений управляемого движения КА,определяемый (покомпонентно) согласно выражениям (1.1.13) и (1.1.14).

Естественно,соответствующие вектор-функции (1.1.13) и (1.1.14) должны одновременно удовлетворятьсистеме уравнений видаx  f x t  , u t  , t   07xX  R ,(1.2.3)(дифференциальная связь) описывающей движение динамической системы или объекта (внашем случае это система дифференциальных уравнений (1.1.5), (1.1.7) или (1.1.8)) нарассматриваемом отрезке времени Δ, а также некоторым ограничениям типа равенств инеравенств, характеризующих, например, само множество U, или определяющих границыфазового пространства системы X:g  x  t  , u  t  , t   0 k  x  t  , u  t  , t   0, (1.2.4)где функции g :  x, u, t   X  U    R p , k :  x, u, t   X  U    R q обычно полагаютсянепрерывными вместе с частными производными по своим аргументам gx, gu и kx, ku.

Крометого, говоря об ограничениях, налагаемых на пару вектор-функций (x,u), необходимоотметить, что концы траектории динамической системы, рассматриваемой на отрезке времени30Δ должны принадлежать некоторым начальному и конечному многообразию, которые могутбыть определены системой условий типа равенств и неравенств:G 0  t0 , x  t0    0, Κ 0  t0 , x  t0    0, G f t f , x  t f   0, Κ f t f , x  t f   0.(1.2.5)Здесь G0, Gf, K0, Kf – непрерывные вектор-функции, такие, чтоG 0  C1  R  R7 , R k  , G f  C1  R  R 7 , Rl  , K 0  C1  R  R 7 , R p  , K f  C1  R  R 7 , R q  ,x(t0), x(tf) – фазовый вектор КА (1.1.13) или (1.1.14) (здесь индексы «ОМ» и «ОТ» опущены,т.к.

все приведенные соотношения очевидно справедливы в обоих случаях) в моментывремени t0 и tf. Тогда пара функций (x(t),u(t)) будет определять допустимую траекториюдвижения КА с ЭРДУ, если, во-первых, она удовлетворяет системе дифференциальныхуравнений (1.1.5), (1.1.7), (1.1.8) (т.е. дифференциальной связи вида (1.2.3)), а во-вторых,условиям вида (1.2.4) и (1.2.5). Функция x(t) предполагается абсолютно непрерывной на Δ, т.е.x(t)∈AC(Δ,R7).

Обозначим класс допустимых траекторий КА с ЭРДУ, состоящий извсевозможных пар функций (x(t),u(t)) символом Λ. Тогда для любого непрерывного идифференцируемого (по Фреше) функционала (или, по крайней мере, обладающего выпуклымдифференциалом [37, 38]) видаJ  F t0 , x  t0  , t f , x  t f  ,(1.2.6)его минимум ищется в классе допустимых траекторий Λ, и оптимальная траекторияопределяется как x t  , u t  arg min J .Функционалы вида (1.2.6) называются терминальными [1, 2, 7, 11, 14, 23, 27, 37, 38, 52].Забегая вперед, стоит отметить, что в выражении (1.2.6) функция F в подавляющембольшинстве интересующих нас случаев является непрерывной вместе со своими частнымипроизводными по совокупности своих аргументов, что значительно упрощает все дальнейшиерассмотрения.В качестве основных критериев оптимальности, предъявляемых к траекториям КА сЭРДУ при решении различных задач оптимизации многовитковых межорбитальныхперелетов (рассматриваемых в рамках настоящей работы), будем использовать следующиетерминальные функционалы, минимум которых будем искать в классе Λ:J  m  t f  ,(1.2.7)J  t f  t0 ,(1.2.8)J  P t f  .(1.2.9)31Минимизации функционала вида (1.2.7) соответствует максимизация массы КА вконечный момент времени, что, в свою очередь, часто эквивалентно минимизации затраттоплива на выполнение требуемого маневра.

Моменты времени t0 и tf, определяющие границыотрезка времени Δ, на котором рассматривается движение КА с ЭРДУ, в данном случаепредполагаются зафиксированными, или, по крайней мере, зафиксирован сам отрезок Δ.Функционал (1.2.7) рассматривается для обеих математических моделей функционированияЭРДУ, и, как будет показано далее, порождает две различные задачи оптимальногоуправления («ОТ» и «ОМ»).Минимизация функционала вида (1.2.8), очевидно, отвечает минимизации времениперелета КА с ЭРДУ. Другими словами, следуя общепринятой терминологии задачоптимального управления, функционалу (1.2.8) соответствует т.н. задача быстродействия.Моменты времени t0 и tf в наиболее общем случае предполагаются незаданными, т.к.возможны различные варианты постановки задачи оптимизации межорбитального перелетадля рассматриваемого функционала (1.2.8), при которых необходимо обеспечить привязку кнекоторому истинному (физическому) моменту времени.

Например, в том случае, когда прирешении задачи быстродействия также необходимо определить и оптимальный моментвремени старта (конкретную календарную дату и время) КА с некоторой начальной орбиты,параметры которой известны. В случае же рассмотрения более простых межорбитальныхперелетов типа орбита-орбита, орбита-заданная неподвижная точка и т.д., при которыхкраевые условия не являются функциями времени, или же, когда вовсе отсутствуетнеобходимость привязки к реальному физическому времени (большинство модельных задач),выбор значения момента времени t0 не оказывает влияния на решение задачи.

В данном случаемомент времени t0 может быть выбран произвольным; обычно его полагают равным нулю.Функционалы (1.2.7) – (1.2.8) являются основными критериями качества длярассматриваемых в настоящей работе задач оптимизации траекторий межорбитальныхперелетов КА с ЭРДУ. Помимо них, в работе также рассматривается функционал (1.2.9)которому соответствует своя, особая задача оптимизации. Так, решению соответствующейзадачи оптимального управления с функционалом (1.2.9) отвечает определение минимальновозможного значения тяги ЭРДУ, потребного для осуществления заданного маневра.Подобная задача впервые была рассмотрена автором работ [25, 26], и получила название«задачи о минимальной тяге». Функционал (1.2.9) также будет рассматриваться только длямодели нерегулируемого двигателя. Моменты времени t0 и tf в данном случае считаютсязафиксированными.Очевидно, что функционалы (1.2.7) – (1.2.8) непрерывны и дифференцируемы, иучитывая приведенные выше общие соображения совершенно ясно, что соответствующая32каждому из них проблема оптимизации траекторий КА с ЭРДУ может быть формализованакак отдельная задача оптимального управления.

Кроме того, рассмотрение двух разныхматематических моделей функционирования ЭРДУ (для задач с функционалом (1.2.7)), в своюочередь, также приводит к двум отдельным задачам оптимального управления.Далее,непосредственнопереходимкзаписиусловийоптимальностидлярассматриваемых типов задач траекторной оптимизации, используя принцип максимумаПонтрягина.

Следуя его общему формализму, получим соответствующие выраженияоптимального управления для обеих математических моделей функционирования ЭРДУ, внезависимости от вида конкретного функционала (1.2.7) – (1.2.9). Это, в свою очередь, возможновследствие рассмотрения задач траекторной оптимизации, формализованных именно впостановке Майера (что представляется весьма удобным в данном конкретном случае, ввидуналичия различных дифференциальных связей).

Здесь, правда, важно отметить следующее.Задача определения минимальной потребной тяги (1.2.9), как уже говорилось выше,рассматривается исключительно в контексте модели нерегулируемого двигателя. Вполнеочевидно, что ей будет отвечать тот же вид оптимального управления, что и длясоответствующих ОТ-задач с функционалами (1.2.7) и (1.2.8). Однако, по своей сути, задачана минимум тяги представляет собой задачу определения оптимального значения одного изпараметровсистемыдифференциальныхуравнений,описывающихдвижениерассматриваемой динамической системы (КА с ЭРДУ) и не являющегося компонентом еефазового вектора x (1.1.13).

Для ее формализации в качестве «обыкновенной» задачиоптимального управления, как и в работах [25, 26], будем использовать подход, впервыепредложенный Болтянским, обоснование которого может быть найдено, например, в книге [6].Сутьэтогоподходасостоитвискусственномрасширениифазовоговектораxрассматриваемой системы дифференциальных уравнений управляемого объекта, путемприсоединения к нему интересующего нас параметра. Таким образом, приходим кобыкновенной задаче оптимального управления, в которой параметр дифференциальной связирассматривается уже в качестве фазовой координаты, явно входящей в выражение дляцелевого функционала (1.2.9).