Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 8

Таким образом, δ принимает значения или равные нулю, илиединице. Забегая вперед, отметим, что параметр δ(t) будет рассматриваться в качествеуправления. Дифференциальное уравнение (1.1.7) получило индекс ОТ – т.е. оно отвечаетслучаю ограниченной тяги. Здесь и в дальнейшем будем придерживаться этого обозначения,характеризующего случай нерегулируемого двигателя, согласно терминологии автора работ[46-49].Дифференциальное уравнение относительно массы КА для второй математическоймодели функционирования ЭРДУ определяется следующим образом:d OMm2 a 2m ,dt2Nr(1.1.8)где m – масса КА (кг), Nr – реактивная мощность струи ЭРД (Вт), a – модуль векторареактивного ускорения (м/с2). Выражение (1.1.8) может быть получено следующим образом.Реактивная мощность определяется согласно следующему выражению:Nr Pw,2(1.1.9)тяга ЭРДУ P в рассматриваемом случае может быть выражена через величину модуляреактивного ускорения a, т.е. P=ma. Записав стандартное выражение для массового расхода q,получимdPmam  q    ,dtww26и учитывая выражение (1.1.9) приходим к (1.1.8).

Индекс ОМ дифференциального уравнения(1.1.8) характеризует случай рассмотрения модели функционирования ЭРДУ как идеальнорегулируемого двигателя ограниченной мощности. Забегая вперед, отметим, что в данномслучае в качестве управляющего параметра (определяющего массовый расход) фактическирассматривается текущее значение модуля реактивного ускорения a(t), который определяетсяследующим образом:a  ar , an , abE,(1.1.10)где ar, an и ab – радиальная, трансверсальная и бинормальная компоненты реактивногоускорения в орбитальной системе координат.В случае рассмотрения модели нерегулируемого двигателя компоненты реактивногоускорения в осях орбитальной системы координат определяются следующими выражениями:Psin   cos   , mPOTTa   cos   cos   , mPOTWa   sin   .mSa OT  (1.1.11)В свою очередь, они также получают индекс «ОТ».

В выражениях (1.1.11) ϑ – угол тангажаКА, определяемый как угол между проекцией вектора тяги на мгновенную плоскость орбитыКА и положительным направлением трансверсальной оси T0 орбитальной СК; ψ – уголрысканья, т.е. угол между вектором тяги КА и мгновенной плоскостью орбиты.Положительное направление угла рысканья отсчитывается в сторону орта вектора площадей.Диапазон его значений составляет [-90o,90o] градусов. Положительное направление углатангажа отсчитывается в сторону орта орбитальной системы координат S0. Угол тангажаизменяется в диапазоне [-180o,180o]. Заданием пары значений (ϑ, ψ) непосредственноопределяется направление вектора реактивного ускорения тяги ЭРДУ в каждый моментвремени.В случае рассмотрения модели идеально-регулируемого двигателя ограниченноймощности, компоненты реактивного ускорения определяются как (согласно введеннымобозначениям в (1.1.2))S a OM  ar , Ta OM  an , Wa OM  ab .27(1.1.12)При этом они также наследуют индекс «ОМ», характеризующий математическую модельфункционирования ЭРДУ.

В данном случае направление вектора реактивного ускорения длялюбого момента времени непосредственно определятся заданием тройки (ar,an,ab)T.Таким образом, система дифференциальных уравнений в равноденственных элементах(1.1.5) совместно с дифференциальным уравнением для массы КА в виде (1.1.7) или (1.1.8) (взависимости от модели функционирования ЭРДУ), и соотношениями, определяющимикомпоненты реактивного ускорения ((1.1.11) или (1.1.12) соответственно) и прочихвозмущающих ускорений (1.1.3), вместе определяют математическую модель управляемогодвижения центра масс КА с ЭРДУ.Фазовый вектор x системы дифференциальных уравнений управляемого движения КАс ЭРДУ будем обозначать:x  X  R 7 , x  xOT   p, ex , ey , ix , i y , l , mOT T(1.1.13)в случае рассмотрения модели нерегулируемого двигателя, иx  X  R 7 , x  xOM   p, ex , ey , ix , iy , l , mOM  ,T(1.1.14)для модели идеально-регулируемого двигателя ограниченной мощности. В приведенныхвыражениях символом X обозначено фазовое пространство системы.Действующие на КА с ЭРДУ возмущающие ускорения (1.1.3), порождаемые силами,отличными от тяги ЭРДУ, подробно будут описаны в ходе последующего изложения.

Наданном этапе их рассмотрения, просто будем считать, что в общем случае они могут бытьопределены в следующем виде:S  S  x, t  , T  T  x, t  , W  W  x, t  ,(1.1.15)т.е. представлены как непрерывные вместе со своими частными производными посовокупности переменных функции от фазовых координат КА и времени. Таким образом,полагаем, чтоS  , T  , W   C1   X  R  , R  .(1.1.16)Данное предположение важно, так как оно позволяет качественно охарактеризовать правыечасти системы дифференциальных уравнений управляемого движения КА с ЭРДУ с точкизрения их непрерывности и дифференцируемости на элементах пространства X×R, но в то жевремя и накладывает ограничения на используемую модель возмущений.

Следовательно, еслипредположение (1.1.16) справедливо, то и сами правые части системы дифференциальныхуравнений управляемого движения центра масс КА (1.1.5), (1.1.7) или (1.1.8) также являютсянепрерывными функциями вместе со своими частными производными (по своим аргументам)28на элементах (x,t) пространства X×R, за исключением лишь случаев вырожденнойпрямолинейной (p=0) и обратно-экваториальной орбит, о чем уже говорилось ранее.1.2 Уравнения оптимального движения космического аппарата сэлектроракетной двигательной установкойЗадача оптимизации траекторий КА с ЭРДУ при выполнении им любого сложногопространственного маневра, к которым, например, можно отнести перелет между двумяпроизвольно ориентированными орбитами, относится к классу задач оптимизацииуправляемых динамических систем.

Ее решение сводится, таким образом, к отысканиюлокального (или глобального) минимума (максимума) для наперед заданного функционала,определенногонамножестверешенийуправляемойдинамическойсистемы,удовлетворяющим некоторому набору условий [1, 2, 27]. В общем случае, данные условиямогут быть как внутренними (с точки зрения динамики самого процесса управления), так играничными (внешними). К первым принято относить т.н. поточечные ограничения (условияв виде равенств и неравенств) налагаемые на управляемую систему. Они определяют фазовые(т.е. налагаемые только на фазовый вектор системы) и смешанные (т.е. налагаемые на фазовыйвектор и управление одновременно) ограничения, или только ограничения на управление. Ковторому типу условий (граничным), относятся ограничения (также в виде равенств инеравенств), формирующие т.н. концевой блок задачи, т.е.

терминальные многообразия,которым должны принадлежать концы траектории управляемой динамической системы.Таким образом, рассматривая в качестве управляемой динамической системы КА с ЭРДУ, а вкачестве ее решения – траекторию аппарата, удовлетворяющую ряду ограничений (т.е.допустимую), приходим к некоторой постановке задачи оптимального управления [1, 2, 7, 11,14, 23, 27, 37, 38, 52]. Как известно, ее решение дается принципом максимума Понтрягина [11,16, 19, 23, 37, 38, 52]. Его использование позволяет осуществить редукцию рассматриваемойоптимизационной проблемы к краевой задаче.

Ввиду сложности математической модели,описывающей рассматриваемую управляемую динамическую систему (КА с ЭРДУ), решениесоответствующей задачи оптимального управления естественно осуществляется численно.Для того чтобы рассматривать задачи оптимизации траекторий межорбитальногоперелета КА с ЭРДУ как соответствующие задаче оптимального управления, необходимоявным образом задать критерии качества и ограничения, предъявляемые к решенияманализируемойдинамическойсистемы.Сначалапокажем,чторассматриваемаяоптимизационная проблема может быть формализована как задача оптимального управления.29Для этого воспользуемся общими положениями теории оптимизации управляемыхдинамических систем [1, 2, 6, 7, 27, 52].Итак, предположим, что управляемое движение КА с ЭРДУ осуществляется нанекотором временном отрезке Δ=[t0,tf].