Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 11

Однако, получить выражения для правых частейсопряженной системы дифференциальных уравнений в явном виде весьма непросто, ввидугромоздкостиисложностисоответствующихправыхчастейисходнойсистемыдифференциальных уравнений управляемого возмущенного движения центра масс КА сЭРДУ (1.1.5) и (1.1.7) (или (1.1.8)). Забегая вперед, отметим, что рассмотрение данноговопроса,связанногоспрактическимопределениемправыхчастейсистемыдифференциальных уравнений оптимального движения КА, является одним из ключевых врамках настоящей работы. Поэтому, приведем соответствующие выражения для сопряженныхуравнений в неявном виде, за исключением лишь одного уравнения относительно переменной,сопряженной к безразмерной массе КА.

Оно понадобится для анализа ряда возможных особых38случаев решения в рассматриваемых задачах траекторной оптимизации, а также дляуточнения «характера» полученного оптимального управления (1.2.20) – (1.2.22) и (1.2.27)вдоль траектории рассматриваемой динамической системы в зависимости от конкретного видаминимизируемого функционала.Итак, сопряженные уравнения (в неявном виде) в случае рассмотрения моделинерегулируемого двигателя:dψxH OT * dtxOT d tH OT * ;dtt (1.2.30)уравнение для переменной, сопряженной к массе (в явном виде):d mP  2 a12  a2 2  a32 .dtm(1.2.31)Аналогично, сопряженные уравнения для модели идеально регулируемого двигателяограниченной мощности:dψxH OM * dtxOM d tH OM * ,dtt (1.2.32)и, соответственно,222d m N r  a1  a2  a3 .dtm3 m(1.2.33)Стоит отметить, что полученные уравнения (1.2.31) и (1.2.33) относительно сопряженной кмассе переменной записаны в предположении, что выражения (1.1.3), описывающиекомпоненты возмущающих ускорений, тождественно равны нулю или не содержат (в качествепеременной) текущую безразмерную массу КА.

Следовательно, полученные уравнения(1.2.31) и (1.2.33) справедливы, во-первых, при рассмотрении задач траекторной оптимизациибез учета действия возмущений, а во-вторых, когда с учетом рассматриваемой моделивозмущенийH 2 0.mЭти два случая, фактически, и являются основными рассматриваемыми в настоящей работе.Однако, несколько забегая вперед, необходимо особо отметить, что в общем случае прирешении возмущенных задач оптимизации межорбитального перелета КА с ЭРДУвыполнение последнего условия все же не требуется, т.к. формально, оно может оказыватьвлияние только на особые решения (анормальный случай, особые экстремали или39тривиальные экстремали) задачи, что будет видно из дальнейшего анализа в рамках текущегораздела настоящей главы. Особые решения не представляют для нас никакого практическогоинтереса, поэтому приведенное ранее условие не уменьшает общности предлагаемой вдиссертационной работе методики решения возмущенных задач.

Более подробно обиспользуемой модели возмущений также будет сказано в рамках настоящей главы в ходепоследующего изложения.К полученным выражениям для оптимального управления (1.2.20) - (1.2.22), и (1.2.27),оптимального гамильтониана (1.2.23) и (1.2.28) и сопряженной системы (1.2.30) и (1.2.32),согласно основной теореме принципа максимума [2, 11, 14, 37, 38], необходимо добавитьусловия трансверсальности, неотрицательности и нетривиальности. Для того, чтобы записатьэти условия в явном виде, необходимо сформулировать т.н. концевой блок рассматриваемойзадачи оптимального управления, т.е. явно задать некоторый набор ограничений типаравенств и неравенств, определяющих терминальные многообразия вида (1.2.5) к которымбудут принадлежать концы рассматриваемых траекторий КА с ЭРДУ.

Однако, ввиду того, чтов рамках настоящей работы рассматриваются различные варианты задач оптимизациимноговиткового межорбитального перелета, которые могут существенно отличаться междусобой краевыми условиями, на данном этапе рассмотрения представляется удобнымопределять терминальные многообразия в виде (1.2.5), при этом ограничившись лишь тойнеобходимой степенью детализации их рассмотрения, при которой удается выявить основные(общие) свойства решений соответствующих функционалам (1.2.7) и (1.2.8) задачоптимального управления.Итак,составимконцевуюфункциюЛагранжа(терминант),отвечающуюрассматриваемым задачам с функционалами (1.2.7) и (1.2.8).

Естественно, ее вид никак независит от типа используемой дифференциальной связи, и, следовательно, следующиевыражения являются общими для обеих моделей функционирования ЭРДУ. Для функционала(1.2.7), терминант определяется какlm  0m  t f   λ 0 TG0  t0 , x  t0    λ f TG f t f , x  t f   ,TT α1 K 0  t0 , x  t0    α 2 K f t f , x  t f (1.2.34)а для функционала (1.2.8)lT  0  t f  t0   λ 0 TG0  t0 , x  t0    λ f TG f t f , x  t f   .TT α1 K 0  t0 , x  t0    α 2 K f t f , x  t f (1.2.35)В приведенных выражениях (1.2.34) и (1.2.35) числа α0 и вектора α1, α2, λ0, λf есть числовыемножители Лагранжа при функционале и соответствующих ограничениях типа равенств инеравенств вида (1.2.5), описывающих терминальные многообразия, которым должны40принадлежать концы оптимальных траекторий.

Для числовых множителей Лагранжа, вконтексте рассматриваемых в настоящей работе задач оптимального управления, должнывыполняться следующие (очевидные) условия принадлежности:0  R1 , λ 0   0 , 0 ,...01α1  11 , 12 ,...1p2TkT R k , λ f  01 , 02 ,...0l R p , α 2   21 ,  22 ,... 2qT Rq,T Rl ,где числа k, l, p, q ∈ N+\{0} определяют число скалярных равенств и неравенств, описывающихограничения концевого блока. Здесь сразу стоит отметить, что для рассматриваемых внастоящей работе задач оптимизации многовитковых межорбитальных перелетов вподавляющем большинстве случаев краевые условия вида (1.2.5) записываются весьмапросто. Так, например, для случая рассмотрения задачи межорбитального перелета междудвумя фиксированными орбитами, параметры которых известны (перелет типа «орбитаорбита»), терминальные многообразия описываются следующей четверткой вектор функций,множество нулей которых, полностью определяет набор краевых условий для системыдифференциальных уравнений (1.1.5) и (1.1.7) (или (1.1.8)):G0  t0 , β  t0    β  t0   βˆ 0 , G f t f , β  t f   β  t f   βˆ f , K 0  K f  0,β  t0   x  t0  \ l, β  t f   x  t f  \ l , m, β  t0  , βˆ 0  R 6 , (1.2.36)β  t f  , βˆ f  R 5 , где βˆ 0 , βˆ f - вектора, содержащие значения известных компонентов фазового вектора КА вначальный и конечный моменты времени.

При рассмотрении задач траекторной оптимизациис более сложными краевыми условиями, в ходе последующего изложения, их концевой блокбудет представлен в явном виде. Однако, можно выделить как минимум одно условие,характеризующее фазовое состояние КА с ЭРДУ, которое является общим для всехрассматриваемых в настоящей работе постановок задач с функционалами (1.2.7) и (1.2.8). Оносостоит в том, что безразмерная масса КА на правом конце траектории межорбитальногоперелета во всех случаях заранее не задается, и определяется непосредственно при решениисоответствующих задач оптимизации.

Данное условие, сформулированное пока несколько«размыто» и четко не формализованное, тем не менее способствует определению ряда свойствв рассматриваемых задачах оптимизации межорбитального перелета (для функционалов(1.2.7) и (1.2.8)), касающихся непосредственно характера полученного оптимальногоуправления вдоль траектории перелета, а также ряда следствий из условий оптимальности,необходимых при окончательной формулировке краевой задачи принципа максимума.

Длятого, чтобы подчеркнуть их, запишем условия трансверсальности в общем виде, но с учетомусловия для массы КА на правом конце. В случае рассмотрения функционала (1.2.7) они могутбыть записаны следующим образом:41,    p, ex , e y , ix , i y , l , tfll m  t0   m ,  m  t f    m   0 ,m t0m t flmlm t  t0  ,  t t f   .t0t f   t0  lml,  t f   m t0(1.2.37)Для функционала (1.2.8) (задача быстродействия):   t0   m  t0  lTl,  t f   T t0,    p, ex , e y , ix , i y , l ,tflTl,  m  t f    T  0,m t0m t f t  t0    0 λ 0 TG0  t0 , x  t0    α1TK 0  t0 , x  t0   ,t0 t  t f    0 λ f TG f t f , x  t f   α 2 T K f t f , x  t f t f.(1.2.38)Присоединим к ним условия неотрицательности,j  1, 2,...q, 0  0,1  0, i  1, 2,...

p,i 2  0,j(1.2.39)и нетривиальности [2, 14, 16, 23, 27, 37, 38, 52]pq0  1  2  λ 0i 1iji 1E λfE 0.(1.2.40)К которым, в случае наличия в концевом блоке задачи ограничений типа неравенств должныбыть добавлены также условия дополняющей нежесткости в виде:α1TK 0  t0 , x  t0    0, α 2 TK f t f , x  t f   0. (1.2.41)С точки зрения общей теории, условия (1.2.39) - (1.2.41) замыкают систему необходимыхусловий оптимальности в общей регулярной задаче оптимального управления - согласноосновной теореме принципа максимума [2, 14, 16, 23, 27, 37, 38]. В приведенных (в неявномвиде) выражениях для условий трансверсальности (1.2.37) и (1.2.38), соответствующихфункционалам (1.2.7) и (1.28), в явном виде содержатся условия, определяющие значениясопряженной к массе переменной на правом конце оптимальной траектории.

Отсюда видно,что при рассмотрении различных постановок задач оптимизации межорбитального перелетаКА с ЭРДУ для функционала вида (1.2.8) (задача быстродействия), независимо от вида42конкретных краевых условий сопряженная к массе переменная всегда должна быть равнанулю на момент времени окончания перелета. А для задач с функционалом вида (1.2.7) еезначение определяется числовым множителем Лагранжа α0, который должен удовлетворятьусловию неотрицательности (1.2.39), и возможность выбора которого, в свою очередь,обеспечит нормировку сопряженных переменных, что является необходимым для замыканиясоответствующей краевой задачи принципа максимума.Исходя из полученных свойств для сопряженной к массе переменной, можнокачественно уточнить характер оптимального управления вида (1.2.20) – (1.2.22) для задачбыстродействия, рассматриваемых в рамках модели нерегулируемого двигателя ограниченнойтяги.