Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 13

В подавляющембольшинстве случаев, такие решения не представляют практического интереса, т.к. даже еслиони существуют, то могут удовлетворить (1.2.3) – (1.2.5) лишь в случае, например, заданиякакого-то ограниченного набора из очень специфических краевых условий (что известно изтеории [2, 14] и может быть без труда продемонстрировано на примерах для более простыхзадач).

В контексте же рассматриваемой задачи, согласно выражению (1.2.31), еслианормальные решения и существуют, то на них сопряженная к массе переменная всюду вдольэкстремали отрицательна, за исключением только лишь одной точки, соответствующейправой границе отрезка Δ. Тогда функция переключения (1.2.21) всюду неотрицательна, и,следовательно,возможныманормальнымрешениямзадачибудутсоответствоватьэкстремали, на которых или полностью отсутствуют пассивные участки траектории КА (как идля случая функционала (1.2.8)), или же данные экстремали будут особыми (т.е.

отвечающими46некоторому особому управлению), или же попросту будут сводится к тривиальным ||ψ||BV=0(что в рассматриваемом случае можно непосредственно проверить при попытке численногорешения задачи). Определение таких анормальных решений представляется весьма сложнойзадачей и выходит за рамки рассмотрения настоящей работы. Если же при рассмотрениивозможности нормировки α0=0 предположить, что ψm(t)=0 всюду на Δ, то согласно условиями выражениям (1.2.31), (1.2.42) и (1.2.43), вновь приходим к случаю тривиальной экстремали||ψ||BV=0. Таким образом, окончательно, для всех рассматриваемых в настоящей работепостановок ОТ-задач траекторной оптимизации для функционала вида (1.2.7), в качествезначения нормирующего множителя примем, как и в случае задачи быстродействия α0=1.Выбор данного значения для нормирующего множителя Лагранжа также обеспечиваетудобное масштабирование неизвестных параметров краевой задачи принципа максимума приее численном решении.Для задач оптимизации межорбитального перелета с функционалом (1.2.7) прииспользованиимоделиидеально-регулируемогодвигателяограниченноймощностиоптимальное управление и оптимальный гамильтониан определяются выражениями (1.2.27) и(1.2.28), а условия трансверсальности (1.2.37).

Согласно условиям (1.2.37), как и в случаемодели нерегулируемого двигателя ограниченной тяги, значение сопряженной к массепеременной на правом конце отрезка Δ также определяется путем задания соответствующегозначения нормирующего множителя Лагранжа α0 при функционале задачи. Покажем, что вданном случае, использовать в качестве нормировки α0=0 нельзя, и, следовательно,анормальное решение не существует. Для этого обратимся сначала к дифференциальнымуравнениям относительно массы (1.1.8) и сопряженной к ней переменной (1.2.33)(естественно, предполагая их рассмотрение вдоль оптимального решения задачи). Правыечасти обоих уравнений содержат одинаковый множитель вида (a12+a22+a32) в равной степени,в котором a1, a2, a3 определяются согласно выражениям (1.2.13).

В данные выражения (1.2.13)не входят ни безразмерная масса КА, ни сопряженная к ней переменная. Поэтому,рассматривая отдельно от прочих дифференциальные уравнения относительно m и ψm, легкоудается исключить из них множитель (a12+a22+a32), а, следовательно, и другие фазовые исопряженные им переменные. Для этого достаточно всего лишь перейти к рассмотрениюсопряженной к массе переменной ψm как функции от текущей безразмерной массы КА (можнои наоборот). Тогда приходим к следующему дифференциальному уравнению относительноψm:222d m  d m   dt   N r  a1  a2  a3    m3 mdm  dt   dm  47  1  N r  a12  a2 2  a32    m.22 2 m m2mРешение данного дифференциального уравнения может быть представлено в следующемвиде: mm2  const.(1.2.48)Оно представляет собой один из известных первых интегралов для рассматриваемой задачиоптимального управления с идеально-регулируемым двигателем ограниченной мощности,полученный впервые Ирвингом [79] и отмеченный также в работах [47, 49].

Будемиспользовать соотношение (1.2.48) при анализе возможности анормального решения. Итак,предполагая, что масса КА в конечный момент времени всегда представляет собой некотороеконечное положительное число, и при α0=0 сопряженная переменная ψm на правом концеотрезка Δ также равна нулю (согласно условиям трансверсальности (1.2.37)), то из выражения(1.2.48) следует, что вдоль полученной экстремали всюду выполняется условие mm2  0 t  .(1.2.49)Последнее оказывается возможным только при m  t   0,(1.2.50)всюду вдоль оптимальной траектории, исходя из «физического» предположения о том, чтобезразмерная масса КА, изменяясь или оставаясь постоянной при межорбитальном перелетевсюду может принимать только конечные положительные значения. Подобного родаэкстремаль будет возможна лишь при одновременном выполнении условия (1.2.50) иследствий из него: m   m  ...  0 t  ,что с учетом (1.2.33) вновь приводит к условиям (1.2.43), из которых (наиболее вероятно)следует, что ψх=0.

Здесь стоит отметить, что согласно выражениям (1.2.27) оптимальноеуправление в данном случае или вовсе не определено, или не является допустимым (согласно(1.2.25)). Далее, из условия максимума (1.2.29) следует, что всюду на рассматриваемойэкстремали ψt=0. Тогда полученная экстремаль тривиальна, т.е. ||ψ||BV=0. И, следовательно,анормальное решение в рассматриваемой задаче траекторной оптимизации невозможно, анормировка α0=0 неприменима.

Итак, окончательно, в случае рассмотрения задачоптимизации межорбитального перелета для функционала (1.2.7) и модели идеальнорегулируемого двигателя ограниченной мощности будем использовать туже нормировку(1.2.47), что и в случае рассмотрения модели нерегулируемого двигателя ограниченноймощности.Стоит также отметить, что при рассмотрении задач траекторной оптимизации сфункционалом (1.2.7) для обеих применяемых математических моделей функционированияЭРДУ, дифференциальное уравнение относительно сопряженной ко времени переменной ψt, а48также соответствующие ей краевые условия вида (1.2.37), могут быть исключены израссмотрения при решении краевой задачи принципа максимума.

Это следует исходя из техже общих соображений, что уже были приведены выше для случая различных постановокзадач быстродействия. Что же касается условий трансверсальности в целом, то полученные вобщем виде выражения (1.2.37) и (1.2.38) и следствия из них каждый раз будут представленыв явном виде и подробно проанализированы в ходе последующего изложения, прирассмотрениикаждойконкретнойпостановкизадачитраекторнойоптимизациимежорбитального перелета с функционалами (1.2.7) и (1.2.8), различающихся между собойкраевыми условиями вида (1.2.5).Теперь переходим к рассмотрению задачи оптимизации межорбитального перелета сфункционалом (1.2.9). Выше вкратце уже обсуждались некоторые основные особенности,характерные только для этой задачи. Главной из них является следующая: задача на минимумтяги [25, 26] формально представляет собой задачу определения оптимального значенияпараметрадифференциальнойсвязи,формирующейограничениевида(1.2.3)врассматриваемой задаче оптимизации динамической системы (КА).

И в качестве целевогофункционала данной задачи непосредственно выступает сам рассматриваемый параметр. Дляформализации данной задачи в качестве классической регулярной задачи оптимальногоуправления «понтрягинского» типа, будем использовать общий подход, рассмотренный вработах [25, 26], теоретические основы которого могут быть найдены в книгах [2, 5, 6]. Сутьданного подхода состоит в искусственном расширении фазового вектора x системыдифференциальных уравнений динамической системы или объекта отвечающей ограничениювида (1.2.3), путем присоединения к нему в качестве n+1-ой компоненты того самогонеизвестного параметра, оптимальное значение которого должно определяться в результатерешения рассматриваемой задачи оптимизации и входящего, в наиболее общем случае, вограничения вида (1.2.3) – (1.2.5) и целевой функционал.

Таким образом обеспечиваетсяформализация этой задачи как задачи оптимального управления. В рассматриваемом в рамкахнастоящей работы случае в качестве неизвестного параметра дифференциальной связи, копределению которого сводится соответствующая задача траекторной оптимизации дляфункционала (1.2.9), очевидно, выступает тяга ЭРДУ.Итак, следуя изложенному выше подходу, добавим к системе дифференциальныхуравнений (1.1.5) и (1.1.7), описывающих управляемое возмущенное движения КА,следующее формальное условие в виде дифференциального уравнения относительнобезразмерной тяги ЭРДУ:dP 0 t  .dt49(1.2.51)Данное уравнение (1.2.51), очевидно, отвечает базовому (в рамках настоящей работы)предположению о неизменности значения параметра Р на решениях рассматриваемойдинамической системы в случае использования модели нерегулируемого двигателяограниченной тяги.

Тогда фазовый вектор новой «расширенной» системы дифференциальныхуравнений (1.1.5), (1.1.7) и (1.2.51):x1  X  R 71, x1  x1OT   p, ex , ey , ix , i y , l , mOT , P  .T(1.2.52)Теперь вновь можно воспользоваться принципом максимума. Функция Понтрягинарассматриваемой задачи:H P OT  H P OT 1  H 2  H 3   t ,PPdP  (1.2.53)OTH P 1   a1 sin( ) cos( )  a2 cos( ) cos( )  a3 sin( )   m   P.mwdt В приведенном выражении (1.2.53) H2 и H3 определяются также, как и в (1.2.12) или (1.2.26).Часть функции Понтрягина НРОТ1, зависящая от управления UОТ, содержит слагаемое в видепроизведения сопряженной к новой фазовой переменной P функции и правой части уравнения(1.2.51), очевидно, равное нулю. Следовательно, НРОТ1=НОТ1, и оптимальное управление врассматриваемой задаче также определяется выражениями (1.2.20) – (1.2.22), а оптимальныйгамильтониан совпадает с (1.2.23).