Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 12

Обратимся к выражению (1.2.21), описывающему функцию переключения П(t),характеризующую текущий режим работы ЭРДУ, а также к дифференциальному уравнениюдля сопряженной к массе переменной (1.2.31). Вполне очевидно, что правая часть последнегоможет принимать всегда только неотрицательные значения. Следовательно, сопряженная кмассе переменная представляет собой монотонно неубывающую на отрезке времени Δфункцию, значение которой на его правом конце всегда равно нулю.

Отсюда следует, чтосопряженная к массе переменная вдоль оптимального решения или отрицательна всюду наполуинтервале [t0, tf), или тождественна равна нулю всюду на Δ. Тогда в первом случае,функция переключения П(t) согласно выражению (1.2.21) может принимать толькоположительные значения на рассматриваемом отрезке времени Δ.

И согласно полученнымвыражениям для оптимального управления (1.2.20), параметр δ, характеризующий работуЭРД, всюду вдоль рассматриваемой оптимальной траектории равен единице, т.е. двигательКА всегда включен. Во втором случае, когда ψm(t)=0 всюду на Δ, функция переключенияможет принимать на рассматриваемом отрезке времени только значения равные нулю,согласно выражениям (1.2.21) и (1.2.31).

Что приводит в данном случае к необходимостирассмотрения возможности т.н. особых управлений, а это, как уже было оговорено ранее,выходит за рамки настоящей работы. Однако стоит отметить, что сама возможностьреализация подобного особого режима управления вдоль всей оптимальной траекториималовероятна, т.к. при этом необходимо, (опять же, согласно выражениям (1.2.21) и (1.2.31)),одновременное выполнение следующей группы условий:  0,   0, t  ,(1.2.42)где (1.2.42), условия, соответствующие участку особого управления, а такжеa12  a2 2  a32  0,(1.2.43)которое должно выполнятся на всем рассматриваемом отрезке времени, т.к.  m  0 (вплоть допроизводных старшего порядка). Из последнего, в свою очередь вытекает, что43a1  a2  a3  a1  a2  a3  ...  0.(1.2.44)И тут остается совсем немного вариантов для рассмотрения, т.к. в силу (1.2.43) и согласновыражениям (1.2.44), получаем, что если такая особая экстремаль и возможна, то скорее всего,она окажется тривиальной, т.е.

для которой не выполнены условия (1.2.40) и, следовательно,||ψ||BV=0 вдоль рассматриваемой экстремали. А такие решения не представляют никакогопрактического интереса. Таким образом, для любых рассматриваемых в настоящей работепостановокзадачтраекторнойоптимизациинаминимизациювремениперелета,результирующие оптимальные траектории КА с ЭРДУ не будут иметь пассивных участковдвижения.Продолжаякачественноерассмотрениезадачтраекторнойоптимизациидляфункционала (1.2.8), приведем здесь также общий вид необходимых условий оптимальностидля всех вариантов задач быстродействия, рассматриваемых в настоящей работе. Используясоответствующее условие максимума (1.2.29) для модели нерегулируемого двигателясовместно с условиями трансверсальности (1.2.38) для сопряженной переменной ψt, удаетсяполучить необходимые условия оптимальности для определения оптимальных значениймоментов времени t0 и tf в общем виде.

Для удобства их представления перепишем условиемаксимума (1.2.29) в следующем виде: a2 a 2 a 3  23H OT *   P  1 m   H 2  H 3   t  H OT *   t  0 t  .mw(1.2.45)HOT *Тогда, в соответствии с введенным в выражении (1.2.45) обозначением НОТ*, получаемследующие условия оптимальности на границах отрезка времени Δ:H OT *  0 λ 0 TG0  t0 , x  t0    α1TK 0  t0 , x  t0  t0t0H OT *  0 λ f TG f t f , x  t f   α 2 T K f t f , x  t f t f 0.  0,tf(1.2.46)Полученные условия (1.2.46), как правило, могут быть существенно упрощены прирассмотрении конкретных постановок задач траекторной оптимизации с функционалом(1.2.8), что будет показано в ходе дальнейшего изложения. Здесь также необходимо принятьво внимание следующее.

В рамках настоящей работы, при наиболее общем случаерассмотрения задачи оптимизации межорбитального перелета, предполагается, что системадифференциальных уравнений управляемого возмущенного движения КА не являетсяавтономной, т.е. ее правые части зависят от времени (согласно выражениям (1.1.3)).Следовательно, правая часть дифференциального уравнения для ψt отлична от нуля (1.2.30), и44сопряженная ко времени переменная в общем случае не является константой нарассматриваемом отрезке времени Δ. Значения ψt на концах этого отрезка определяются,согласно условиям трансверсальности (1.2.38), с точностью до постоянной α0 - множителя, прифункционале (1.2.8) задачи, выбор которого в соответствии с условием нетривиальности(1.2.40) обеспечивает нормировку сопряженных переменных.

Прочие же числовые множителиЛагранжа, входящие в выражения (1.2.46), как правило исключаются из рассмотрения спомощью следствий из условий трансверсальности при окончательной редукции задачиоптимального управления к краевой задачи принципа максимума, либо не оказывают влиянияна ее решение. Таким образом, сама по себе функция ψt(t) может быть полностью исключенаиз рассмотрения при решении задач траекторной оптимизации для функционала (1.2.8), т.к.она не входит ни в полученные выражения для оптимального управления (1.2.20) – (1.2.22),ни в правые части системы дифференциальных уравнений относительно компоненты векторфункции ψх (1.2.30).

При этом используется лишь информация о ее значениях на концахотрезка Δ, определяемых с точностью до постоянной α0, формализованная в виде условий(1.2.46). В качестве значения нормирующего множителя, для всех рассматриваемыхпостановок задач оптимизации межорбитального перелета с функционалом (1.2.8) примем0  1.(1.2.47)Выбор же α0=0 в качестве значения нормирующего множителя приводит к необходимостирассмотрения случая возможности существования т.н. анормального решения [1, 2, 11, 27, 37],которое для большинства задач в постановке быстродействия или не существует вовсе, т.к.сводится к тривиальной экстремали ||ψ||BV=0 (что в рассматриваемом случае ввиду сложностиограничений (1.2.3) – (1.2.4) может быть проверено посредством попытки численного решениязадачи), или же, в редких случаях, существует лишь для некоторого особого конечного наборапараметров дифференциальной связи (1.2.3) и краевых условий задачи, а потому, непредставляет никакого практического интереса.

Забегая вперед, стоит также отметить, чтонормировка (1.2.47) оказывается достаточно удобной при численном решении краевой задачи,т.к. она обеспечивает практически равное масштабирование для ее неизвестных параметров.Теперь обратимся к общему качественному рассмотрению задач оптимизации дляфункционала вида (1.2.7). Начнем со случая модели нерегулируемого двигателя ограниченнойтяги, оптимальное управление для которого определяется согласно выражениям (1.2.20) и(1.2.22). Из представленных выше условий трансверсальности (1.2.37) следует, что значениесопряженной к массе переменной на правом конце траектории определяется путемсоответствующего задания множителя Лагранжа при функционале задачи α0, который, в своюочередь, как уже было сказано выше, должен удовлетворять условию неотрицательности(1.2.39). Более того, выбор значения данного множителя непосредственно определяет45нормировку сопряженных переменных в рассматриваемой задаче для функционала (1.2.7).Поэтому в первую очередь необходимо проверить допустимость той или иной возможнойнормировки.

Сделать это не представляет особого труда. Итак, в качестве значениянормирующего множителя α0, согласно условию неотрицательности, можно выбрать любоеположительное число или ноль. Если принять рассматриваемый множитель равнымположительной постоянной, то согласно условию трансверсальности (1.2.37), функциипереключения (1.2.21) и дифференциального уравнения относительно сопряженной к массепеременной (1.2.31), всюду на оптимальном решении всегда ψm(t) или монотонно не убываетна Δ, или в крайнем случае, остается равной самой этой постоянной. При этом, очевидно, чтов данном случае на рассматриваемых экстремалях ||ψ||BV≠0, т.е. не нарушаются условиянетривиальности (1.2.40).

Таким образом, использование в качестве значения нормирующегомножителя положительной постоянной возможно. Ее значение может быть заданопроизвольным положительным числом - это никак не повлияет на решение рассматриваемойзадачи ввиду линейности и однородности системы дифференциальных уравненийотносительно сопряженных переменных (а также и гамильтониана задачи). Что же касаетсяхарактера оптимального управления, определяемого в рассматриваемом случае выражениями(1.2.20), (1.2.22), то согласно приведенным рассуждениям, а также выражению (1.2.21),функция переключения П(t) может принимать как положительные, так и отрицательныезначения, что в свою очередь обеспечивает наличие как пассивных, так и активных участковдвижения КА вдоль оптимальной траектории межорбитального перелета. Если же принятьмножитель α0 равным нулю, то в случае выбора такой нормировки, непосредственно приходимк рассмотрению возможности существования анормального решения данной задачи, т.е.решения, не зависящего от минимизируемого функционала (1.2.7), но удовлетворяющего(если, конечно, оно существует) всем условиям вида (1.2.3) – (1.2.5).