Диссертация (Оптимизация многовиткового межорбитального перелета космического аппарата с электроракетной двигательной установкой с учетом действия возмущений), страница 7

Так, использование различных видов уравнений в оскулирующихэлементах позволяет качественно описывать (численно или аналитически) длительныепроцессы эволюции орбит под действием возмущений различной природы. Потому что, вопервых, фазовый вектор рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (1.1.1) вобщем случае представляет собой ту или иную комбинацию из т.н.

классических кеплеровскихэлементов, что наглядно характеризует изменение именно параметров орбиты материальноготела, а не кинематических характеристик его движения. Во-вторых, сама форма уравнений воскулирующихэлементахпредоставляетвозможностьширокогопримененияасимптотических методов [12] для анализа долговременной эволюции орбиты материальноготела. Общая структура правыхчастейсистемы дифференциальныхуравненийвоскулирующих элементах (1.1.1) всегда позволяет выделить из ее фазового вектора быстро имедленно-изменяющиеся переменные.

А это приводит к возможности рассмотренияразличных схем осреднения с последующим уточнением для поиска ее приближенных(точнее, асимптотически стремящихся к точным) решений. В частности, данный прием(осреднение) может быть использован как при аналитическом рассмотрении эволюции орбитыматериального тела под действием возмущений, так и при численном моделировании егодвижения (естественно, с использованием уравнений вида (1.1.1)) [12, 49, 93].Численное моделирование управляемого движения КА под действием малого (посравнению с гравитационным) реактивного ускорения, в первую очередь, сводится к решениюсоответствующейзадачиКоши,посредствомчисленногоинтегрированиясистемыдифференциальных уравнений (1.1.1) для заданных начальных условий.

Использованиесистемы в оскулирующих элементах в данном случае, кажется более предпочтительным, чемчисленное интегрирование уравнений относительного движения КА, записанных, например,в прямоугольной декартовой системе координат. Так как в процессе интегрирования всекомпонентыфазовоговекторапоследнейбудутпретерпеватьмногократныекороткопериодические изменения по своей амплитуде с сопутствующей им сменой знака. Аэто сказывается на общей устойчивости и производительности вычислительного процесса [12,49].22Таким образом, в силу приведенных выше соображений, для описания управляемогодвижения КА с ЭРДУ в близкой окрестности центра притяжения предлагается использоватьдифференциальные уравнения возмущенного движения вида (1.1.1).

При этом считаем, чтодействующее на КА реактивное ускорение от силы тяги ЭРДУ естественно отождествляется свозмущающим. Данный подход к описанию такого движения является по сути общепринятым,и используется в работах [29, 30, 42-44, 46-49, 54, 55, 75, 77, 93-96] и книгах [13, 22, 53].В ходе всего последующего изложения будем обозначать компоненты реактивногоускорения в правых частях системы уравнений (1.1.1) следующим образом:Sa , Ta , Wa ,(1.1.2)где Sa, Ta, и Wa – соответственно радиальная, трансверсальная и бинормальная компонентывектора реактивного ускорения, записанного в орбитальной системе координат. Наличиепрочих действующих на КА сил (тяготение других тел, аэродинамическая сила, сила световогодавления и др.), помимо доминирующей гравитационной (ньютоновской) силы и силы тягиЭРДУ, порождает соответствующие им возмущающие ускорения. Для них будемиспользовать следующие обозначения:mmmS   S , T   T , W  W   , jj 1 jj 1j(1.1.3)j 1где SΦ(j), TΦ(j), WΦ(j) – соответственно радиальная, трансверсальная и бинормальная компонентывозмущающегоускорения,приобретаемогоКАотj-ойвозмущающейсилы.Ихалгебраические суммы обозначим просто как SΦ, TΦ, WΦ.

Таким образом, компонентысуммарного возмущающего ускорения (включая реактивное (1.1.2)), действующего на КА ворбитальной системе координат, определяются какS   Sa  S , T   Ta  T , W   Wa  W .Следует отметить, что система дифференциальных уравнений (1.1.1) имеет рядособенностей, которые необходимо учитывать при численном моделировании управляемогодвижения КА. Так, например, при значении эксцентриситета e=0, правые частидифференциальных уравнений для ω и τ вырождаются. Следовательно, оказываетсяневозможным рассмотрение эволюции элементов орбиты КА с течением времени, в процессекоторой эксцентриситет становится нулевым, или в случае если начальная орбита круговая.При значении наклонения i=0 долгота восходящего узла становится неопределенной, а вправых частях соответствующих дифференциальных уравнений для Ω и ω появляютсяособенности. Таким образом, оказывается невозможным рассмотрение эволюции элементоворбиты КА, в ходе которой наклонение переходит через ноль.

Кроме того, для определениясвязи текущего момента времени с угловым положением КА на оскулирующей орбите,23определяемым истинной аномалией υ, требуется на каждом шаге численного интегрированиярешать уравнение Кеплера. Для того чтобы избежать трудностей в процессе численногомоделирования, связанных с отмеченными особенностями системы (1.1.1), необходимокаким-то образом перейти к новой эквивалентной ей системе дифференциальных уравнений воскулирующих элементах, свободной от них.

Это достигается путем выбора новыхспециальных элементов орбиты, которые задаются в виде некоторой композиции изклассических кеплеровых элементов. В ряде случаев это осуществляется сравнительнопростыми способами. Так, например, для классических «планетных» задач небесноймеханики, где рассматривается преимущественно эллиптическое движение, случай малыхнаклонений удается реализовать за счет замены переменных i и Ω на p=tg(i)sin(Ω) иq=tg(i)cos(Ω) (эту замену предложил сам Лагранж) для системы дифференциальных уравненийоскулирующих элементов в т.н. переменных Лагранжа [17, 18].

Для случая малыхэксцентриситетов также может быть получен свой вариант уравнений, не имеющихособенностей. Это достигается соответствующей заменой элементов e и π на элементыh=ecos(π) и k=esin(π). Объединяя оба случая, удается получить систему дифференциальныхуравнений для оскулирующих элементов не имеющую особенностей при нулевом наклонениии эксцентриситете [18].

Однако, и она, в свою очередь, имеет ряд особенностей при значенияхнаклонения равном (π/2). Это также может иметь значение при рассмотрении различных задачорбитального маневрирования ИСЗ. Система дифференциальных уравнений в оскулирующихэлементах, свободная от особенностей при значениях наклонения i=0 и i=(π/2) и при нулевомэксцентриситете, была получена в работе [69] посредством цепочки последовательныхканонических преобразований применительно к системе уравнений в элементах Лагранжа (неимеющей особенностей при i=e=0). Она получила название системы дифференциальныхуравненийвравноденственных элементах. Связьравноденственныхэлементовиклассических кеплеровских определяется следующим образом:p  p,ex  e cos      , ey  e sin      , i ix  tan   cos    , 2ii y  tan   sin    , 2l      .24(1.1.4)В выражениях (1.1.4) ex, ey, ix, iy – «компоненты» вектора эксцентриситета и наклонения, l –истинная долгота.

Система дифференциальных уравнений возмущенного движения вравноденственных элементах (безр.) определяется следующим образом: dpp3 2 2T ,b1 dt dex p1 2 1  b1  cos(l )  ex  T   b1 sin(l ) S   ey b2 W  ,dtb112 dep y 1  b1  sin(l )  ey  T   b1 cos(l ) S   ex b2 W  ,dtb112 dix  1 p b cos(l ) W  , dt 2 b1 312 di y 1 p dt 2 b b3 sin(l ) W ,1 dl b121 2 b2W ,  32  pb1 dt p(1.1.5)здесь b1, b2, и b3 даются следующими выражениями:b1  1  ex cos  l   ey sin  l  , b2  ix sin  l   i y cos  l  ,22b3  1  ix  i y .(1.1.6)Из приведенных выражений (1.1.4) видно, что при значении угла наклонения i равном π(максимальном), равноденственные элементы ix, iy одновременно принимают значения равные ±∞ при   0,2  \  k , k  0,..4 ; в противном случае, какая либо из компонент вектора2наклонения вовсе не определена, в то время как другая может принимать значение ±∞.

Такимобразом, правые части системы дифференциальных уравнений в равноденственных элементахтакже имеют особенности, но лишь при значении наклонения равном π, которомусоответствует довольно экзотический тип орбиты – экваториальная с обратным направлениеморбитального движения.Таким образом, окончательно, для описания управляемого движения центра масс КА сЭРДУ будем использовать систему дифференциальных уравнений в равноденственныхэлементах (1.1.5), также как это делается в работах [29, 30, 42-44, 46-49, 54, 55, 75, 77, 93-96].Для того чтобы замкнуть систему (1.1.5) к ней необходимо присоединить дифференциальноеуравнение относительно массы КА.

Правая часть данного уравнения будет разниться взависимости от используемой математической модели функционирования ЭРДУ. Внастоящей работе рассматривается две модели функционирования. Первая из нихсоответствует т.н. нерегулируемому двигателю [13]. В этом случае, величина тяги ЭРД вместе25со скоростью истечения рабочего тела предполагаются постоянными. Двигатель может бытьтолько включен или выключен. Эта модель является наиболее реалистичной. Вторая из нихсоответствует т.н. идеальному двигателю ограниченной мощности [13].

В этом случаепредполагается лишь постоянство реактивной мощности струи ЭРД. Регулирование величинытяги и скорости истечения подчиняется лишь общему ограничению на мощность (при этомполагается, что величины тяги и скорости истечения принимают только неотрицательныезначения).

Эта модель функционирования будет использоваться преимущественно каквспомогательная при решении ряда задач оптимизации траекторий управляемого движенияКА с нерегулируемым двигателем. Дифференциальное уравнение относительно текущеймассы КА в случае первой математической модели функционирования ЭРДУ даетсяследующим выражением:d OTPm   ,dtw(1.1.7)где P – фиксированное значение тяги ЭРДУ (Н), w – фиксированная скорость истечениярабочего тела (м/с). Параметр δ (безр.) определяет режим работы нерегулируемого двигателя,т.е. включен он или выключен.