Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями), страница 9

Тогда по определению алгебраической суммыМинковского, существуют 11 , 12 ∈ X1 и 21 , 22 ∈ X2 такие, что 1 = 11 + 21 , 2 = 12 + 22 .Поскольку X1 , X2 ∈ U2 , то11 + (1 − )12 ∈ int X1 , 21 + (1 − )22 ∈ int X2 .Следовательно, 1 + (1 − ) 2 = (11 + 21 ) + (1 − )(12 + 22 ) ∈ int Y,т.е. Y является строго выпуклым.Получаем, Y ∈ U2 .Лемма 2.5. Пусть X1 , X2 ∈ U2 , Y = X1 + X2 , * ∈ Y. Тогда) Представление вида * = 1* + 2* , где 1* ∈ X1 , 2* ∈ X2 , единственное;) 1* ∈ X1 , 2* ∈ X2 ;) N( * , Y) = N(1* , X1 ) ∩ N(2* , X2 ).—60—Доказательство леммы 2.5.

− ) Пусть ∈ N( * , Y). Введем следу-ющие обозначения:1* = X1 (),2* = X2 ().Тогда в силу леммы 2.2 верно 1* ∈ X1 , 2* ∈ X2 .(, 1* + 2* ) = (, 1* ) + (, 2* ) = max(, 1 ) + max(, 2 ) =12 ∈X1 ∈X2max(, 1 + 2 ) = max(, ).1∈Y ∈X12 ∈X2По определению опорного вектора Y () = 1* + 2* .

Тогда в силу леммы2.2 * = 1* + 2* .Продемонстрируем, что данное представление единственное. Предполо′′′′′жим, что существуют 1 ∈ X1 , 2 ∈ X2 такие, что 1 ̸= 1* и 1 + 2 = * .′Тогда в силу следствия 2.2 ̸∈ N(1 , X1 ), т.е.′(, 1 ) < (, 1* ).′′(, * ) = (, 1 + 2 ) < (, 1* ) + max(, 2 ) = (, 1* ) + (, 2* ) = (, * ).2 ∈X2Получаем противоречие. Представление * = 1* + 2* единственное.) Как показано в доказательстве пунктов − ), верно включениеN( * , Y) ⊂ N(1* , X1 ) ∩ N(2* , X2 ).Пусть ′ ∈ N(1* , X1 )∩N(2* , X2 ).

Тогда по определению опорного векторасправедлива цепочка равенств(′ , * ) = (′ , 1* ) + (′ , 2* ) = max(′ , 1 ) + max(′ , 2 ) =12 ∈X1 ∈X2max (′ , 1 + 2 ) = max(′ , ),1 ∈X12 ∈X2∈Yто есть ′ ∈ N( * , Y). Верно включениеN(1* , X1 ) ∩ N(2* , X2 ) ⊂ N( * , Y).Окончательно,N( * , Y) = N(1* , X1 ) ∩ N(2* , X2 ).—61—2.3.Критерий оптимальности в задаче быстродействияРассмотрим критерий оптимальности управления и свойства оптимальных траекторий, сформуллированные в виде принципа максимума, для случая,когда выполнено условие 0 ∈ X( , 0).Теорема 2.1.

Пусть 0 ∈ X( , 0), траектория {* ()}=0опти-мальна в задаче быстродействия для системы (A, U). Тогда) * () ∈ X( − , ), = 0, ;) N(* (), X( − , )) ⊂ ()N(* ( + 1), X( − − 1, + 1)), = 0, − 2;) оптимальная траектория единственна.Доказательство теоремы 2.1.

Включение * (0) ∈ X( , 0) вернов силу условия теоремы. Предположим, что для некоторого = 1, − 2выполнено* () ∈ X( − , ).Тогда в силу следствия 2.1()X( − , ) = X( − − 1, + 1) + (−U()).Так как в силу ) леммы 2.3 ()* () ∈ (()X( − , )), то согласнолемме 2.5 существует пара * ( + 1) ∈ X( − − 1, + 1) и * ∈ (−U())такие, что()* () = * ( + 1) + * .Обозначив через * () = −* , получим, что * () ∈ U(),(2.3)* ( + 1) = ()* () + * ().) Причем в силу пункта ) леммы 2.5 * ( + 1) ∈ X( − − 1, + 1).) В силу пункта ) леммы 2.5N(()* (), ()X( − , )) == N( ( + 1), X( − − 1, + 1)) ∩ N( , −U()).**(2.4)Откуда согласно пункту ) леммы 2.3(−1 ()) N(* (), X( − , )) ⊂ N(* ( + 1), X( − − 1, + 1)).—62—) В силу пункта ) леммы 2.5 представление (2.3) единственно.Теорема доказана согласно методу математической индукции.

−1Будем называть семейство векторов {(0)}сопряженными векто=0рами системы (2.1), если для каждого = 0, − 1 выполнено условие−() ∈ N(* (), X( − , )).Теорема 2.2. Пусть 0 ∈ X( , 0). Тогда семейство сопряженныхвекторов удовлетворяет рекуррентным соотношениям( + 1) = (−1 ()) (), = 0, − 2.− (0) ∈ N(0 , X( , 0)).Доказательство теоремы 2.2. Согласно пункту ) теоремы 2.1 длякаждого = 0, − 2−( + 1) = −(−1 ()) () ∈ (−1 ()) N(* (), X( − , )) ⊂⊂ N(* ( + 1), X( − − 1, + 1)).Теорема 2.3. Пусть набор управлений {* ()}=0оптимален в задаче быстродействия для системы (2.1), 0 ∈ X( , 0). Тогда−1) * () = arg max((−1 ()) (), ), = 0, − 1,∈U()) оптимальное управление единственно.Доказательство теоремы 2.3.

) Согласно пункту ) леммы 2.3 длякаждого = 0, − 1 верно−(−1 ()) () ∈ (−1 ()) N(* (), X( −, )) = N(()* (), ()X( −, )).Тогда, учитывая (2.4),−(−1 ()) () ∈ N(* , −U()),или же(−1 ()) () ∈ N(* (), U()).—63—Тогда в силу леммы 2.2* () = U() ((−1 ()) ()) == arg max((−1 ()) , ), = 0, − 1.∈U()) Согласно пункту ) леммы 2.5 разложение (2.3) единственно. Тогдасуществует единственное оптимальное управление * () = −* на каждом шаге.Теперь рассмотрим случай0 ∈ int X( , 0) ∖ X( − 1, 0).(2.5)Условие (2.5) приводит к ситуации, когда применение леммы 2.5, которая лежит в основе теорем 2.1-2.3, оказывается невозможным.

При попытке формально использовать предложенный принцип максимума к случаю (2.5) не удаетсяопределить начальное значение вектора сопряженной системы 0 аналогичноусловию, предложенному в теореме 2.2. Это обусловлено тем, что невозможнопостроить нормальный конус N(0 , X( , 0)) для рассматриваемого случая.Тем не менее существует способ обобщить принцип максимума для произвольного начального состояния системы.

Однако это не дает новой информации, и для внутренних точек он приобретает вырожденный характер.Лемма 2.6. Пусть верно (2.5), набор управлений {* ()}=0оптимален в задаче быстродействия для системы (2.1) и удовлетворяет соотношениям* () = arg max((−1 ()) (), ), = 0, − 1,−1∈U()( + 1) = (−1 ()) (), = 0, − 2,(2.6)(0) = 0 .Тогда 0 = 0.Доказательство леммы 2.6. Предположим, что существует 0 ̸= 0такой, что выполнено условие леммы.

Тогда согласно теоремам 2.2 и 2.3 набор −1управлений {* ()}оптимален в задаче быстродействия и для начального=0—64—состояния X( ,0) (−0 ). Т.е.⎧⎪( − 1) · . . . · (0)0 + ( − 1) · . . . · (1)(0) + . . . +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ + ( − 1)( − 2) + ( − 1) = 0,⎪⎪( − 1) · .

. . · (0)X( ,0) (−0 ) + ( − 1) · . . . · (1)(0) + . . . +⎪⎪⎪⎪⎪⎩ + ( − 1)( − 2) + ( − 1) = 0.Откуда в силу невырожденности матриц последовательности A0 = X( ,0) (−0 ) ∈ X( , 0).Получили противоречие. Таким образом 0 = 0.Хотя лемма 2.6 позволяет обобщить принцип максимума на случай произвольного начального состояния 0 ∈ X( , 0), если выполнено (2.5), то рекуррентные соотношения (2.6) не позволяют вычислить оптимальное управление. Условие 0 = 0 приводит к тому, что для каждого = 0, − 1 () = 0,и как следствиеArg max((−1 ()) (), ) = U().∈U()Тем не менее возможно построить оптимальное управление, сведя рассматриваемый случай (2.5) к теореме 2.3.

Обозначим через = (0 , X( , 0)).Рассмотрим вспомогательную систему управления (A, U )( + 1) = ()() + (),(2.7)(0) = 0 , () ∈ U(), = 0, 1, 2, . . . ,где U = {U()}∞=0 .Для системы (2.7) аналогично определим семейство множеств 0управляемости {X (, )}∞,=0 . Поскольку верно (2.5), то в силу определенияфункционала Минковского < 1.—65—Лемма 2.7. Для системы управления (A, U ) для любых , ∈ N ∪ {0}выполнены соотношения) X (, ) = X(, ),) X (, ) ⊂ X(, ),) 0 ∈ X ( , 0).Доказательство леммы 2.7.

) Согласно лемме 2.1 верно представ-лениеX (, ) =−1∑︁(︀)︀−−1 () · . . . · −1 ( + ) U( + ) ==0=−1∑︁(︀)︀−−1 () · . . . · −1 ( + ) U( + ) = X(, ).=0) Поскольку 0 ∈ X(, ), множество X(, ) выпукло, < 1, то верновключениеX (, ) = X(, ) ⊂ X(, ).) По определению функционала Минковского 0 ∈ X( , 0) =X ( , 0). Но при этом для любого ′ ∈ (0; ) аналогичное включение неверно.

Обозначим через =1′−1> 0, тогда110 + 0 = ′ 0 ̸∈ X( , 0),0 + 0 ̸∈ X ( , 0).Т.е. не существует ни одной окрестности точки 0 , которая лежала бы полностью внутри X ( , 0). По определению граничной точки 0 ∈ X( , 0).Теорема 2.4. Пусть траектория {′ ()}=0системы (A, U ) опреде-ляется по соотношениям) ′ (0) = 0 ,) ′ () = arg max((−1 ()) (), ),∈U()) − () ∈ N(′ (), X ( − , )),) ′ ( + 1) = ()′ () + ′ (), = 0, − 1.

−1′Тогда траектория {′ ()}оптимальны в=0 и управление { ()}=0задаче быстродействия для системы (2.1).—66—Доказательство теоремы 2.4. Утверждение вытекает непосред-ственно из того факта, что система управления (A, U ) в силу леммы 2.7 удовлетворяет условиям принципа максимума для граничных точек, доказанногов теореме 2.3.2.4.Случай множества допустимых значений управлений вформе эллипсоидаРассмотрим частный случай системы (2.1), когда для всех ∈ N∪{0} верно U() = { ∈ R : (, ()) 6 1}, где () ∈ R× – положительно определенная матрица. Поскольку отображение (, ) строго выпукло по ∈ R длялюбой положительно определенной матрицы ∈ R× , то каждое U() ∈ U2 .Как показано в [103] для любого ∈ N множество E = −1 (0) · .

. . ·−1 ( − 1)U() – эллипсоид, порождаемый матрицей˜()= (( − 1) · . . . · (0)) ()(( − 1) · . . . · (0)).В силу леммы 2.1 любое множество X(, 0) можно представить в видеалгебраической суммы эллипсоидов:X(, 0) =∑︁E .=1Лемма 2.8. Пусть для всех ∈ N ∪ {0} выполнено: U() = { ∈R : (, ()) 6 1}, () ∈ R× – положительно определенная матрица,0 ∈ X( , 0). Тогда начальное условие сопряженной системы 0 можетбыть найдено из условия−0 =∑︁˜ −1 ()0√︁=1.˜ −1 ()0 )(0 , Доказательство леммы 2.8. Согласно пунктам − ) леммы 2.5 для0 ∈ X( , 0) существует единственное разложение0 =∑︁=1 , ∈ E .(2.8)—67—В силу пункта ) леммы 2.5−0 ∈ N(0 , X( , 0)) =⋂︁N( , E ).(2.9)=1Поскольку эллипсоиды имеют гладкую границу, то каждый нормальныйконус представляет собой луч⃒˜⃒ } ∖ {0}, = 1, .N( , E ) = cone{∇ (, ())=Тогда условие (2.9) может быть представлено в виде−0 ∈ N(0 , X( , 0)) = N( , E ), = 1, .В силу леммы 2.2 сопряженный вектор 0 может быть найден из условий = E (−0 ) = arg max (−0 , ), = 1, .(2.10)˜(,())61Каждый представляет собой точку максимума линейной функции с квадратичным ограничением, которая может быть найдена аналитически при помощиметода множителей Лагранжа и будет иметь следующий вид:˜ −1 ()0− = √︁, = 1, .−1˜(0 , ()0 )Подставив полученное выражение в (2.8), получаем утверждение леммы.Cистема уравнений, предложенная в лемме 2.8, для нахождения вектора0 не является линейной и имеет неединственное решение, так как правая частьинвариантна к домножению вектора 0 на произвольное положительное число.Если дополнить систему уравнений условием(0 , 0 ) = 1,то итоговая система уравнений⎧∑︁˜ −1 ()0⎪⎪⎪√︁,⎨ − 0 =˜ −1 ()0 )=1(0 , ⎪⎪⎪⎩(0 , 0 ) = 1,(2.11)—68—будет иметь единственное решение, что позволяет использовать численные методы для его вычисления.Лемма 2.9.