Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями), страница 7

Пусть точка ′ (0) = 0 из условия (1.10), {′ ()}=0−1– набор оптимальных управлений, полученный на основании теоремы 1.5, −1{′′ ()}=0– набор оптимальных управлений, полученный на основании леммы 1.10. −1Тогда для всех ∈ [0; 1] найдется набор управлений {* ()}, оп=0тимальных в исходной задаче быстродействия системы (, U), такой что* (0) = ′ (0) + (1 − )′′ (0).—44—Доказательство леммы 1.11. Поскольку согласно теореме 1.5 и лем-ме 1.10 верны включения′ (1) = ′ (0) + ′ (0) ∈ X( − 1),′′ (1) = ′ (0) + ′′ (0) ∈ X( − 1),а множество X( − 1) выпукло, то для любых ∈ [0; 1]* (1) = ′ (1) + (1 − )′′ (1) = ′ (0) + ′ (0) + (1 − )′′ (0) == ′ (0) + * (0) ∈ X( − 1).Тогда по определению множества 0-управляемости найдется набор управлений −1{* ()}такой, что траектория системы (, U), построенная согласно со=1отношениям (1.1), удовлетворяет условию * ( ) = 0, т.е.

является оптимальной.1.5.Модельные примерыПример 1.4. Рассмотрим систему управления ( , U) с вектором состо-яния из пространства , где ∈ (1; +∞), для которой решается задача быстродействия. В качестве множества допустимых значений управлений выберемшарU = { ∈ : ‖‖ 6 1}.Докажем включение U ∈ U1 .Пусть 1 ∈ U и 2 ∈ U, 1 ̸= 2 , ∈ (0; 1). Поскольку последовательности1 и 2 различны, то найдется ′ ∈ N такое, что 1′ ̸= 2′ . В силу строгойвыпуклости функции () = || для всех > 1 верно неравенство|1′ + (1 − )2′ | < |1′ | + (1 − )|2′ |.Тогда1‖ + (1 −)2 ‖=∞∑︁|1 + (1 − )2 | ==1=∞∑︁=1̸=′|1 + (1 − )2 | + |1′ + (1 − )2′ | 6—45—6∞∑︁|1 |∞∑︁+(1 − )|2 | + |1′ + (1 − )2′ | <=1̸=′<=1̸=′∞∑︁|1 | + (1 − )|2 | + |1′ | + (1 − )|2′ | ==1̸=′=∞∑︁|1 |=1+ (1 − )∞∑︁|2 | 6 + (1 − ) = 1.=1Таким образом, U является строго выпуклым множеством.Как известно [39], пространство * изоморфно пространству , где 1 + 1 =1, т.е.

для любого функционала ∈ * найдется последовательность ˜ ∈ такая,что для любого ∈ верно равенство(, ) =∞∑︁˜ .=1Построим для каждой граничной точки ∈ U последовательность ˜()по правилу˜ () = sign( )| |−1 .Тогда∞∑︁∞∞∞∑︁∑︁∑︁⃒⃒−1 ⃒(1− 1 )⃒sign( )| |=| ||˜ ()| ==| | = 1,=1=1=1=1т.е. ˜() ∈ , следовательно, соответствующий функционал () является линейным и ограниченным.

Из неравенства Гельдера следует, что для любого˜ ∈ U((), ˜) 6 ‖()‖* ‖˜‖ = ‖˜()‖ ‖˜‖ 6 1.С другой стороны,((), ) =∞∑︁=1−1sign( )| | =∞∑︁| | = ‖‖ = 1.=1Тогда по определению функционал () является опорным ко множеству U вточке .Предположим, что найдется функционал ′ ̸∈ cone{()} также опорный ко множеству U в точке .

Для удобства будем полагать, что ‖′ ‖* = 1.Построим последовательность ′ по правилу′ = sign(˜′ )|˜′ |−1 ,—46—где ˜′ ∈ – последовательность, порождающая функционал ′ .∞∑︁|′ |==1∞∑︁| sign(˜′ )|˜′ |−1 |=1=∞∑︁1|˜′ |(1− )=1=∞∑︁|˜′ | = 1.=1Таким образом, ′ ∈ U. С учетом того, что (′ ) = ′ , получим, что ′ являетсяопорным функционалом ко множеству U в точке ′ , которая по построениюотлична от .Рассмотрим для некоторого произвольного ∈ (0; 1) величину(′ , + (1 − )′ ) = (′ , ) + (1 − )(′ , ′ ) = + (1 − ) = 1.С другой стороны, согласно неравенству Гельдера для любой точки ˜∈U(′ , ˜) 6 ‖′ ‖* ‖˜‖ = ‖˜‖ 6 1.Следовательно, функционал ′ является опорным ко множеству U в точке +(1 − )′ , что невозможно, поскольку в силу строгой выпуклости U + (1 − )′ ∈ int U.Получаем, что множество cone{()} ∖ {0} полностью исчерпывает множествовсех опорных функционалов ко множеству U в точке .

Следовательно, U ∈ U1 .Опорный функционал U () для каждой из U порождается последовательностью˜ =)︀1 (︀sign(1 )|1 |−1 , sign(2 )|2 |−1 , . . . ∈ .‖‖(1.13)И наоборот, U−1 () ∈ U определяется соотношением)︀1 (︀sign(˜1 )|˜1 |−1 , sign(˜2 )|˜2 |−1 , . . . ∈ ,‖˜‖∞∑︁(, ) =˜ .U−1 () =(1.14)=1Пусть отображение : N → N является биективным. Тогда определимоператор в виде = ((1) , (2) , .

. .).Для удобства будем считать, что определен на более широком множестве⋃︁⋃︁ : → ,∈(1;+∞)полагая, что если ∈ , то ∈ .∈(1;+∞)—47—Построенный таким образом оператор является обратимым. Обратный к нему оператор имеет вид−1 = ( −1 (1) , −1 (2) , . . .).Фактически оператор является аналогом оператора, производящего последовательные повороты на угол 2 в плоскости взаимно перпендикулярных осей.Причем верно равенство для любых ∈ и ∈ *(, ) =∞∑︁=1˜ (1) =∞∑︁˜−1 (1) = (* , ),=1т.е.

действие сопряженного оператора на последовательность ˜ ∈ , порождающую функционал ∈ * , аналогично действию обратного оператора.Поскольку для каждого ∈ выполнено условие‖‖ = ‖ ‖ ,то для всех ∈ N−− U = U.Тогда в силу следствия 1.1X( ) = U.Выберем в качестве начального состояния системы ( , U) вектор 0 ∈ ,удовлетворяющий условию ‖0 ‖ = , т.е. 0 ∈ X( ). Построим оптимальное управление и траекторию системы согласно теореме 1.3.Из (1.13) следует, что (0) порождается последовательностью)︀1 (︀˜(0)= − 0 sign(01 )|01 |−1 , sign(02 )|02 |−1 , .

. . ∈ ,‖ ‖причем ‖(0)‖* = 1. Тогда в силу (1.14) и леммы 1.3−1*−1 ** (0) = arg max((−1 ) (0), ) = U (( ) (0)) =∈U=1(︁)︁−1−1˜˜˜˜sign((1) (0))|(1) (0)| , sign((2) (0))|(2) (0)| , . . . =)︀1 (︀=− sign(0(1) )|0(1) |(−1)(−1) , − sign(0(2) )|0(2) |(−1)(−1) , .

. . =)︀1 (︀ 0=− sign(0(1) )|0(1) |, − sign(0(2) )|0(2) |, . . . = −.Тогда1 − 1* (1) = 0 + * (0) = 0 − 0 = 0 .—48—Предположим, что для некоторого ∈ {0, . . . , − 2} верны соотношения − 0 ,1* () = −+1 0 . * () =(1.15)Проверим (1.15) для + 1.* (+1) = * ()+* () = − +1 01 − ( + 1) +1 0 −+1 . 0 =Тогда последовательность, порождающая по теореме Рисса сопряженный функционал ( + 1), согласно (1.13) имеет вид˜(+1)=−(︀)︀1sign(1 ( + 1))|1 ( + 1)|−1 , sign(2 ( + 1))|2 ( + 1)|−1 , . . .

∈ ,‖( + 1)‖Причем ‖( + 1)‖* = 1. В силу (1.14) и леммы 1.3−1*−1 ** ( + 1) = arg max((−1 ) ( + 1), ) = U (( ) ( + 1)) =∈U(︁1=sign(˜(1) ( + 1))|˜(1) ( + 1)|−1 ,‖( + 1)‖)︁sign(˜(2) ( + 1))|˜(2) ( + 1)|−1 , . . . ==(︀1− sign((1) ( + 1)|(1) ( + 1)|(−1)(−1) ,‖( + 1)‖)︀− sign((2) ( + 1))|(2) ( + 1)|(−1)(−1) , . . . =(︀)︀1− sign((1) ( + 1))|(1) ( + 1)|, − sign((2) ( + 1))|(2) ( + 1)|, . . .

=‖( + 1)‖ ( + 1)1=−=−+1 0 .‖( + 1)‖ Согласно методу математческой индукции соотношения (1.15) верны длялюбых = 0, − 1. Причем * ( ) = 0, т.е. управление и траектория(1.15) являются оптимальными в задаче быстродействия системы ( , U).=Пример 1.5. В качестве примера рассмотрим систему управления(A , U), для которой решается задача быстродействия. Вектор состояния является элементом пространства функций, непрерывных на окружности. Пусть 1 = { ∈ R2 : 21 + 22 = 1} – окружность единичного радиуса с центром в нуле.Примем в качестве L пространство непрерывных на 1 вещественнозначныхфункций 2 ( 1 ). Норму введем по формуле⎛⎞ 12∫︁‖‖2 ( 1 ) = ⎝ |()|2 ⎠ ,1—49—где интеграл понимается в смысле криволинейного интеграла вдоль замкнутойкривой 1 .Пространство 2 ( 1 ) является евклидовым, при этом скалярное произведение ассоциированное с нормой имеет вид∫︁(1 , 2 ) = 1 ()2 (), 1 , 2 ∈ 2 ( 1 ).1Пространство 2 ( 1 ) изоморфно пространству функций, непрерывныхна отрезке [0; 2], принимающих одинаковые значения на концах отрезка:2 ([0; 2]) = { : [0; 2] → R, – непрерывна, (0) = (2)}.Изоморфизм понимается в смысле существования линейного биективного отображения : 2 ( 1 ) → 2 ([0; 2]), сохраняющего норму.

Данное отображениеимеет вид( ())() = (cos , sin ), ∈ [0; 2].Норма действительно будет сохранена в силу равенства двух интегралов⎞ 12⎛⎞ 21 ⎛∫︁∫︁⎟⎝ |()|2 ⎠ = ⎜|(cos , sin )|2 ⎠ .⎝1[0;2]Рассмотрим линейный ограниченный оператор A : 2 ( 1 ) → 2 ( 1 ),действующий по правилу(︂(︂)︂ )︂cos sin (A )() = .− sin cos Физический смысл данного оператора проявляется в том, как преобразуются под его действием элементы изоморфного пространства. Пусть () =(cos , sin ), тогда(A )() = (cos( − ), sin( − )),(( ∘ A ∘ −1 )())() = (( − ) mod 2).Т.е.

оператор A представляет собой поворот функции на угол , откуда очевидно, что он является обратимым оператором,A−1 = A− .Также в силу того, что замкнутая кривая 1 инвариантна относительно поворота на угол , верно равенство⎛⎞ 12 ⎛⎞ 21∫︁∫︁‖A ‖2 ( 1 ) = ⎝ |(A )()|2 ⎠ = ⎝ |()|2 ⎠ = ‖‖2 ( 1 ) .11—50—В качестве множества допустимых управлений выберем шар единичногорадиуса с центром в нулеU = { ∈ 2 ( 1 ) : ‖‖2 ( 1 ) 6 1}.Как показано в примере 1.1, U ∈ U1 .Следовательно, система (A , U) удовлетворяет условиям теорем 1.1, 1.2и 1.3, а значит, оптимальное управление может быть вычисленно на основепринципа максимума.Для решения задачи быстродействия построим также сопряженный оператор A* . Пусть ∈ 2* ( 1 ) имеет вид∫︁(, ) = ˜()().1Тогда(, A ) =∫︁∫︁˜()A () =A− ˜()().11(A* , ) =∫︁A− ˜()().1Опишем класс множеств 0-управляемости. Поскольку оператор A является биективным и сохраняющим норму, множество допустимых управлений Uпредставляет собой шар единичного радиуса с центром в нуле, то верно соотношениеA−1 U = U.Тогда в силу леммы 1.1X( ) =∑︁(−A− U)=1∑︁∑︁=(−U) =U = (0) = { ∈ 2 ( 1 ) : ‖‖ = }.=1=1Выберем в качестве начального состояния системы 0 ∈ 2 ( 1 ) с целочисленным значением нормы.

Тогда очевидно, что = ‖0 ‖, 0 ∈ X( ).В силу (1.12) и теоремы 1.2 уравнения сопряженной системы примут вид(−1)( + 1) = (A )* (), = 0, − 1,∫︁((0), ) = − 0 ()().1Вычислим оптимальное управление согласно теореме 1.3.∫︁−1 ** (0) = arg max((A ) (0), ) = arg max −A−(−) 0 ()().∈U∈U1—51—* (0) = −A 01=−A 0 ,‖A 0 ‖* (1) = A 0 + * (0) = − 1A 0 ∈ X( − 1).Предположим, что для некоторого ∈ {0, . . . , − 2} верны соотношения∫︁((), ) = A 0 ()(),11(1.16)A(+1) 0 , − * () =A 0 .* () = −Тогда в силу теоремы 1.2(( + 1), ) =*((A−1 ) (), )∫︁=(A ∘ A )0 ()() =1* ( + 1) =*arg max((A−1 ) (∈U∫︁A(+1) 0 ()().1∫︁+ 1), ) = arg maxA(+2) 0 ()(−()).∈U11A(+2) 0 .