Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями), страница 4

Управление осуществляется посредством вентиляторных двигателей. Требуется ориентировать объект по заданному направлениюза минимальное время. Построенная математическая модель является двумер-—16—ной линейной дискретной системой со скалярным управлением, что позволяетприменить для решения задачи быстродействия разработанный программныйкомплекс.В заключении приведены основные научные результаты, полученныеавтором работы.Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Ис-следованы математические модели линейных дискретных систем с ограниченным управлением (область исследования 2 специальности 05.13.18).

Длялинейных дискретных систем с конечномерным вектором состояния в случаелинейных ограничений на управление разработан новый численный метод решения задачи быстродействия, реализованный в виде комплекса программ (область исследования 4 специальности 05.13.18). Сформулирован и доказанкритерий оптимальности управления в задаче быстродействия для линейнойбесконечномерной дискретной автономной системы со строго выпуклым множеством допустимых значений управлений (области исследования 1, 4 специальности 05.13.01). Сформулирован и доказан критерий оптимальностиуправления в задаче быстродействия для линейной конечномерной дискретнойнеавтономной системы со строго выпуклым множеством допустимых значенийуправлений (области исследования 1, 4 специальности 05.13.01).Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались наследующих научных конференциях:1) московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике» (Москва, 2013);2) 13-я международная конференция «Авиация и космонавтика»(Москва, 2014);3) 14-я международная конференция «Авиация и космонавтика»(Москва, 2014);4) XX международная научная конференция «Системный анализ, управление и навигация» (Евпатория, 2015);5) Международная конференция по математической теории управления—17—и механике (Суздаль, 2015);6) Международная конференция по дифференциальным уравнениям идинамическим системам (Суздаль, 2016).Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в11 работах, из которых 5 опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК[24–28], в том числе 2 опубликованы в журналах, цитируемых международнойбазой Web of Science [24, 25], и 6 из которых опубликованы в тезисах докладов[29–34]. Разработан и зарегистрирован комплекс программ [35].Личный вклад.

Автором на основе класса множеств 0-управляемостипостроен алгоритм решения задачи 0-управляемости для линейной дискретнойсистемы с линейными ограничениями на управление, а также алгоритм сведения к рассмотренному случаю случая произвольного выпуклого компактногомножества допустимых значений управлений.

В виде программного комплексана языке C++ автором реализован разработанный алгоритм, проведены вычислительные эксперименты и анализ полученных результатов. Совместно сСиротиным А.Н. построен явный вид оптимального позиционного управлениядля случая скалярного управления, а также доказаны достаточные условия оптимальности управления для бесконечномерной системы со строго выпуклыммножеством допустимых управлений, сформулированные в виде принципа максимума.В рамках диссертационного исследования принято участие в проекте РФФИ №15-08-01902 «Методы синтеза переключаемых и дискретных систем управления подвижными объектами при ограниченных ресурсах» и в гос. задании№1.1191.201К «Конструктивные методы оценивания и управления непрерывнодискретными гибридными системами в условиях неопределенности».Благодарности.

Автор выражает глубокую признательность научномуруководителю профессору А. Н. Сиротину, заведующему кафедрой «Теория вероятностей и компьютерное моделирование» МАИ профессору А. И. Кибзуну,профессору А. С. Бортаковскому, профессору К. В. Семенихину и профессоруВ. И. Синицину за ценные комментарии и замечания, а также за другую по-—18—мощь, оказанную диссертанту в процессе исследований и написания диссертации.Глава 1.Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных автономных бесконечномерных дискретных системЦелью данной главы является постановка задачи математического моделирования и оптимизации по быстродействию линейных дискретных систем сограниченным множеством допустимых значений управлений и описание подхода к решению поставленной задачи. Множество допустимых значений управлений предполагается строго выпуклым, что позволяет сформулировать критерий оптимальности управления в виде принципа максимума для общего случаябесконечномерного вектора состояния.В разделе 1.1.

приведена постановка задачи и описан общий подход кеё решению. В разделе 1.2. доказаны свойства класса строго выпуклых множеств, на которых основано решение поставленной задачи. В разделе 1.3. ввиде принципа максимума сформулирован критерий оптимальности траектории и управления для случая, когда начальное состояние является граничнойточкой для одного из множеств 0-управляемости системы управления.

В разделе 1.4. продемонстрирована неединственность оптимального управления дляслучая, когда начальное состояние является внутренней точкой по отношениюк множеству 0-управляемости, что приводит к невозможности применять соотношения, сформулированные в разделе 1.3. Также в разделе 1.4. построенметод, позволяющий свести случай внутренней точки к случаю из раздела 1.3.В разделе 1.5. построены математические модели различных систем управленияс бесконечномерным вектором состояния, для которых решена задача быстродействия.

В разделе 1.6. сформулированы выводы по главе 1.19—20—1.1.Постановка задачиРассматривается линейная система управления c дискретным временем(, U) и бесконечномерным вектором состояния( + 1) = () + (),(0) = 0 ,() ∈ U, ∈ N ∪ {0},(1.1)где () ∈ L – вектор состояния системы. Предполагается, что пространство Lявляется нормированным. U ⊂ L – выпуклое и ограниченное множество допустимых значений управлений, : L → L – линейный и ограниченный оператор.Допустимым процессом {(), ()}=0 системы (, U) для ∈ N называется процесс, полученный согласно рекуррентным соотношениям (1.1) иудовлетворяющий условию ( ) = 0.

Для системы (1.1) решается задача быстродействия: для некоторого заданного (0) = 0 требуется построить допутсимый процесс, для которого величина ∈ N, соотвутствующая условию( ) = 0, минимальна среди всех допустимых процессов. Т.е. необходимопостроить набор допустимых управлений * (0), . .

. , * ( − 1) ∈ U, переводящих систему из начального состояния в начало координат за минимальное число шагов . Такой набор управлений будем называть оптимальным в задаче быстродействия, а полученную совокупность состояний {* ()}=1 системы(, U) на основе выбора на каждом шаге = 0, в качестве управляющеговоздействия оптимального управления – оптимальной траекторией.Определим семейство множеств 0-управляемости {X( )}∞ =0 , где X( )представляет собой множество начальных состояний системы (1.1), для которых существует допустимый процесс, переводящий систему в начало координатза шаговX( ) = {0 ∈ L : ∃(0), . .

. , ( − 1) ∈ U : ( ) = 0}, ∈ N,X(0) = {0}.Тогда условие < ∞ можно представить в виде0 ∈∞⋃︁ =0X( ).(1.2)—21—При помощи класса множеств 0-управляемости можно вычислить оптимальное значение критерия качества в задаче быстродействия: = min{ ∈ N : 0 ∈ X( )}.А также сформулировать критерий оптимальности траектории и управленияв следующем виде: набор управлений * (0), . . . , * ( − 1) и траектория{* ()}=1 системы (1.1) оптимальны в задаче быстродействия в том и тольков том случае, если для всех = 1, верно включение* () ∈ X( − ).Данное условие позволяет решить задачу быстродействия посредством классамножеств 0-управляемости.Считается, что линейный оператор обратим.Лемма 1.1.

Пусть семейство множеств {X( )}∞ =0 определяется со-отношениями (1.2). Тогда справедливо представлениеX( ) =∑︁(−− U).=1Доказательство леммы 1.1. Согласно (1.2) 0 ∈ X( ) тогда и толькотогда, когда найдется набор управлений (0), . . . , ( − 1) ∈ U таких, что0 = ( ) = ( − 1) + ( − 1) = . . . = 0 + −1 (0) + . .

. + ( − 1).Таким образом, 0 ∈ X( ) тогда и только тогда, когда найдется набор управлений (0), . . . , ( − 1) ∈ U таких, что0 = −∑︁− ( − 1).=1X( ) =∑︁=1(−− U).—22—Следствие 1.1. Пусть семейство множеств {X( )}∞ =0 определяет-ся соотношениями (1.2). Тогда справедливы рекуррентные соотношенияX( + 1) = X( ) + (−−( +1) U),(1.3)X( + 1) = X( ) + (−U).Лемма 1.2. Пусть семейство множеств {X( )}∞ =0 определяется со-отношениями (1.2). Тогда для произвольного ∈ N включение X( − 1) ⊂X( ) верно тогда и только тогда, когда 0 ∈ U.Доказательство леммы 1.2.

ПустьX( − 1) ⊂ X( ), ∈ N.Тогда{0} = X(0) ⊂ X(1) = −−1 U.То есть существует ∈ U такой, что −1 = 0. Откуда в силу невырожденностиотображения следует, что = 0.Пусть 0 ∈ U, тогда для любого ∈ N и для всех 0 ∈ X( − 1) в силуследствия 1.1 верно включение0 = 0 + − · 0 ∈ X( ).То естьX( − 1) ⊂ X( ), ∈ N.Предположениеотом,чтопоследовательностьмножеств0-управляемости является вложенной, достаточно естественно, так как можетбыть истолковано следующим образом: если система может быть переведена изданного начального состояния в ноль за шагов, то и за большее число шаговтоже может быть переведена.

Поэтому в дальнейшем будут рассматриватьсятолько те системы управления (, U), для которых выполнено включение0 ∈ U.Лемма 1.1 дает конструктивный подход к описанию множества 0управляемости за произвольное число шагов, представляющего комбинацию—23—суммы и линейных преобразований множества допустимых значений управлений. Если выбрать U из класса множеств замкнутых относительно данных операций, то тем самым можно гарантировать принадлежность множества X( )тому же самому классу.

Это может значительно упростить задачу аналитического описания множества 0-управляемости.1.2.Дополнительные построенияДля решения задачи быстродействия системы (1.1) введем дополнительные ограничения на класс множеств допустимых значений управлений U. Дляэтого рассмотрим некоторые вспомогательные утверждения.Множество U ⊂ L называется строго выпуклым, если для любых 1 ∈ Uи 2 ∈ U и произвольного числа ∈ (0; 1) выполняется условие1 + (1 − )2 ∈ int U.Пространство, сопряженное к L, обозначим через L* .

Результат действиялинейного и ограниченного функционала ∈ L* на вектор нормированногопространства ∈ L обозначим через (, ).Функционал ∈ L* ∖ {0} называется опорным к множеству U в точке ∈ U, еслиU ⊂ { ∈ L : (, ) 6 (, )}.Замечание 1.1. В дальнейшем будем предполагать, что 0 ∈ int U.Непустая внутренность U обусловленна тем, что в общем случае для выпуклых множеств может не существовать внутренних точек. Это приводит к тому,что не для каждой граничной точки можно построить опорный функционал.Опорной функцией множества U называется функция, определяемая соотношением(, U) = sup(, ).∈UНормальным конусом N(, U) ⊂ L множества U в точке ∈ U называется*множество, состоящее из всех функционалов, опорных к множеству U в точке, т.е.N(, U) = { ∈ L* ∖ {0} : (, U) 6 (, )}.—24—Выделим класс множеств U1 такой, чтоU1 = {U ⊂ L : ∀1 , 2 ∈ U, ∈ (0; 1) 1 + (1 − )2 ∈ int U;∀ ∈ U dim N(, U) = 1}.Другими словами, U1 – класс строго выпуклых множеств, в каждой граничнойточке которых нормальный конус представляет собой луч (одномерное множество).Замечание 1.2.

В дальнейшем будем предполагать, что множество до-пустимых значений управлений системы (1.1) принадлежит классу U1 .Построим примеры множеств, принадлежащих классу U1Пример 1.1. Пусть L – гильбертово пространство. Тогда согласно [39]L изоморфно L, т.е. произвольный линейный и ограниченный функционал может быть представлен в виде скалярного произведения на некоторый фиксированный вектор из L.

В связи с этим в рамках данного примера будем называть* : L → L оператором, сопряженным к линейному и ограниченному оператору : L → L, если для двух произвольных векторов ∈ L и ∈ L верносоотношение(, ) = (* , ).*Оператор : L → L положительно определен, если для любого ∈ L, ̸= 0(, ) > 0.Положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве является обратимым [20].Пусть оператор : L → L положительно определен и является самосопряженным: * = .