Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образованияМОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ(национальный исследовательский университет)На правах рукописиИбрагимов Данис НаилевичМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ПОБЫСТРОДЕЙСТВИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СОГРАНИЧЕНИЯМИСпециальность 05.13.18Математическое моделирование, численные методы, комплексы программСпециальность 05.13.01Системный анализ, управление и обработка информации(авиационная и ракетно-космическая техника)Диссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор А.

Н. СиротинМосква, 2017 годОглавлениеВведение14Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных автономных бесконечномерных дискретныхсистем1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Дополнительные построения . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Критерий оптимальности в задаче быстродействия для граничных точек множества 0-управляемости . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Оптимальное управление для внутренних точек множеств 0управляемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .1.5. Модельные примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Выводы по главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219. 20. 23. 33. 39. 44. 52Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных неавтономных конечномерных дискретных систем2.1.2.2.2.3.2.4.Постановка задачи . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Дополнительные построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Критерий оптимальности в задаче быстродействия . . . . . . . .Случай множества допустимых значений управлений в форме эллипсоида . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Задача оптимальной по быстродействию коррекции орбиты спутника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Выводы по главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354. 54. 56. 61. 66. 68. 73Алгоритм решения задачи быстродействия для линейной дискретной системы с линейными ограничениями3.1. Обоснование алгоритма .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Алгоритм решения задачи быстродействия в случае линейныхограничений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Модификация алгоритма для случая скалярного управления . .3.4. Метод сведения решения задачи быстродействия для системы свыпуклым множеством допустимых значений управлений к случаю линейных ограничений . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.5. Оптимальное по быстродействию демпфирование высотного сооружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275. 75. 81. 82. 86. 95—3—3.6. Выводы по главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994Комплекс программ для решения задачи быстродействия1014.1. Описание комплекса программ . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1014.2. Задача наискорейшей ликвидации углового отклонения тела, подвешенного на струне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3. Выводы по главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Заключение106Список литературы108ВведениеИсторически развитие теории оптимального управления начиналось сизучения динамических систем с непрерывным временем.

Данные задачи были тесно связаны с задачами вариационного исчисления, став их логическимпродолжением. Первые публикации по этой тематике выполнили ОхоцимскийД.Е., Энеев Т.М., Шатровский Л.И., Брайсон А., Денхем В., Миеле А., КеллиГ. [15,56,76,77]. Все последующие методы решения задач оптимального управления для систем с непрерывным временем базировались на принципе максимумаПонтрягина Л.С. [59], который определил необходимые условия оптимальности.На его основе были разработаны прямые методы [55], основанные на спуске впространстве управлений, методы основанные на вариациях в пространстве состояний [42, 43, 82, 83].В монографии Моисеева Н.Н. [51], посвященной численным методам оптимального управления, впервые предлагается иной подход, основанный на методах нелинейного программирования, который впоследствии был развит в работах Гноевского Л.С., Ермольева Ю.М., Гуленко В.П., Мельца И.О., ПропояА.И., Пшеничного Б.Н., Евтушенко Ю.Г.

[19,21–23,48,49,60–62,64,65,72]. Такойподход оказался эффективным по ряду причин: с его помощью удалось обосновать некоторые, предложенные ранее, эвристические алгоритмы, возниклавозможность их обобщения; методы нелинейного программирования позволилирешать сложные задачи оптимального управления со смешанными ограничениями.Главным препятствием при построении соответствующих методов решения задач оптимального управления для систем с дискретным временем являлось их существенное отличие от непрерывных систем.

В то время, как задачаоптимального управления для непрерывного времени представляет собой задачу вариационного исчисления, в дискретном случае она является задачей нелинейного программирования большой размерности, что определяет принципи4—5—ально иной набор средств её решения, необходимых и достаточных условий оптимальности (в частности теорема Куна-Таккера). Также траектория системыв дискретном случае представляет собой последовательность векторов состояния в отличие от непрерывного времени, где траектория является непрерывнойфункцией. Для линейных систем не всегда удается перейти к обратному времени в дискретном случае, что обусловлено возможной вырожденностью оператора системы управления, в непрерывном случае такой проблемы не возникает, так как фундаментальная матрица системы дифференциальных уравнений,описывающих динамику, является невырожденной в любой момент времени.Таким образом, в непрерывном случае принцип максимума как основной инструмент решения задач оптимального управления получил широкоеосвещение и развитие в различных монографиях Понтрягина Л.С., Болтянского В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф., Евтушенко Ю.Г., Табака Д., КуоБ.

[11, 21, 59, 72] и большом количестве статей, например, работы Анорова В.П.,Бережинского Т.А., Волина Ю.М., Островского Г.М., Первозванского А.А., Розоноэра Л.И., Харатишвили Г.Л., Berkovitz L.D. [4,14,55,57,67,68,73,82,83]. Приэтом существуют различные подходы к доказательству принципа максимума,как к необходимым условиям оптимальности экстремали в задаче вариационного исчисления: на основе метода множителей Лагранжа, множеств управляемости, метода игольчатых вариаций, уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана.Для дискретных же систем известен единственный подход к доказательствупринципа максимума, который фактически является необходимым условиемэкстремума задачи нелинейного программирования, – на основе метода множителей Лагранжа. Основные результаты представлены в сравнительно небольшом числе монографий и публикаций [12,17,18,60–63,75,78,84–86,94,99–106,115,116] следующих авторов: Болтянский В.Г., Габасов Р., Кириллова Ф.М., Пропой А.И., Цыпкин Я.З., Яковлев В.М., Fisher M.E., Gayek J.E., Katz S., PearsonJ.D., Halkin H„ Holtzman J.M., Horn F., Jackson R., Chang S.S.L.Принцип максимума в дискретном случае имеет ряд специфических особенностей, осложняющих его практическое применение: в отличие от непре-—6—рывного времени, гамильтониан на оптимальной траектории для автономныхсистем не является постоянным по времени и не равняется нулю для системс нефиксированным временем (соответствующий факт продемонстрирован в[63]), сопряженная система в общем случае строится в обратном времени (т.е.каждый -й вектор состояния сопряженной системы определяется как функция от ( + 1)-го вектора), переход к которому может быть затруднен в случаевырожденности оператора системы.Также на данный момент известны следующие современные исследования в разделе дискретного принципа максимума [79,112,117,120,121] следующихавторов: Ait Rami M., Chen X., Zhou X.

Y., Wang G., Yu Z., Wu Z., Lin X. ZhangW., Peng S., связанные с его применением для линейных стохастических систем.Среди задач оптимального управления для дискретных систем выделяется задача быстродействия. Хотя для решения задач оптимального управления с критерием в виде сумм дискретный принцип максимума работает корректно, при решении задачи быстродействия возникают сложности: в методе множителей Лагранжа все множители одновременно могут обращаться внуль, что приводит к нерегулярности экстремума. Функционал качества, который является временем работы системы, может принимать значения только из множества неотрицательных целых чисел, то есть фактически являетсядискретным, что приводит к отсутствию его непрерывности по управлению и,как следствие, отсутствию непрерывности функции Лагранжа.

Оптимальноеуправление, в отличие от линейно-квадратичных задач оптимального управления, не единственно. Если начальное состояние системы является внутреннейточкой множества 0-управляемости – множества тех начальных состояний, изкоторых можно перевести систему в начало координат за фиксированное числошагов, то принцип максимума приобретает вырожденный характер, т.е.

управление в этом случае оптимально в задаче быстродействия тогда и только тогда,когда все векторы сопряженной системы тождественно равны нулю. Как следствие, оказывается невозможным определить оптимальное управление из условия максимума гамильтониана, т.к. он постоянен на всём множестве допусти-—7—мых значений управлений. Качественные исследования задачи быстродействиядля дискретных систем были проведены в работах Морозова И.И., Desoer C.A.,Lin W.S.

[53, 88–90, 111].Метод динамического программирования [8] позволяет решить задачубыстродействия для дискретных систем. Однако в силу сложности построения функции Беллмана, которая фактически является минимальным числомшагов, за которое возможно перевести систему в начало координат из текущего состояния посредством выбора допустимого управления (значение функцииБеллмана можно вычислить путем последовательного построения множеств 0управляемости до тех пор, пока текущее состояние системы не будет принадлежать очередному множеству), его применение сводится к направленному перебору возможных траекторий системы до тех пор, пока последующее состояниене будет принадлежать множеству 0-управляемости за число шагов на единицуменьшее.