Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями), страница 12

Т.е. строится последовательность многогранников {Û } ∈N ,сходящаяся к U. Каждый элемент последовательности является множествомвложенным в U, то есть состоит только из допустимых значений управлений.А следовательно, для каждого номера ∈ N управление, которое являетсяоптимальным по быстродействию для системы( + 1) = () + (),(0) = 0 , () ∈ Û , ∈ N ∪ {0},также является допустимым для системы (1.1), переводящим её в начало координат.Для исследования вопросов сходимости будем считать рассматриваемыемножества точками метрического пространства (K , ), гдеK = {X ⊂ R : X - компакт}, (X, Y) = max{sup inf ‖ − ‖; sup inf ‖ − ‖}.∈X ∈Y∈Y ∈XМетрическое пространство (K , ), как показано в [41], является полным.Существует большое число различных методов полиэдральной аппроксимации выпуклых компактных множеств, представленных, например, в работах [13,92,95–98,113,114,118].

Данные методы базируются на различных подходах и обладают отличными друг от друга сферами применения. Сравнительныйанализ методов полиэдральной аппроксимации, их эффективности и свойствпредставлен в [37]. Для приближенного решения задачи быстродействия на основе полиэдральной аппроксимации множества U был выбран метод, рассмотренный в работах [16, 70]. Он обладает сравнительной простотой реализации,достаточной эффективностью и свойством сходимости в метрике Хаусдорфа.—87—Идея метода основывается на построении равномерной сетки на -мерном кубеи продолжении её на выпуклое множество.Обозначим через K = [−1; 1] ⊂ R -мерный куб с центром в началекоординат и длиной ребра равной 2:K = { ∈ R : max | | 6 1}.=1,Построим на K равномерную сетку:K = { ∈ K : =, = −, , = 1, }.(3.4)Лемма 3.6.

Пусть K определено соотношением (3.4). Тогдаcard K =∑︁ (2 − 1)− 2 .=1Доказательство леммы 3.6. Разобьем K на объединение непересе-кающихся множеств K , где K – множество тех точек из K , у которых ровно координат равны по модулю 1. Тогда мощность множества K определяетсячерез число сочетаний следующим образом:card K = (2 − 1)− 2 .Учитывая, чтоK =⋃︁K , K ∩ K = ∅, ̸= ,=получимcard K =∑︁=1K=∑︁ (2 − 1)− 2 .=1Исследуем ассимптотические свойства сетки K .Лемма 3.7. Пусть семейство сеток {K } ∈N рассматривается какпоследовательность метрического пространства (K , ). Тогда →∞K −→ K.—88—Доказательство леммы 3.7.

Рассмотрим величину (K , K). По-скольку K ⊂ K по построению, то (K , K) = max{ sup inf ‖ − ‖; sup inf ‖ − ‖} = sup inf ‖ − ‖.∈K ∈K∈K ∈K∈K ∈KВ силу того, что множество рациональных чисел является плотным в R,для любого ∈ K найдутся ∈ N и 1 , . . . , = −, такие, чтоmax | −=1,|< √ .Обозначим черезˆ = ( 1,...,) ∈ K .Тогда(︃‖ − ˆ‖ =∑︁=1| − |2)︃ 21(︃<∑︁2=1)︃ 12= .Тогда для любого ∈ Kinf ‖ − ‖ 6 ‖ − ˆ‖ < .∈KПоскольку это справедливо для любой точки из границы куба, то аналогичноесоотношение справедливо и для точной верхней границыsup inf ‖ − ‖ 6 ‖ − ˆ‖ 6 .∈K ∈KТогда˜ > (K ˜ , K) < ,∀ > 0 ∃ : ∀то есть →∞K −→ K.Теперь продолжим сетку K на выпуклый компакт X.

Для этого построим непрерывное в метрическом пространстве (K , ) преобразование, котороепереводит куб K в выпуклое множество X. Для этого докажем ряд вспомогательных утверждений.—89—Лемма 3.8. Пусть отображение : R → R – непрерывно во всем R .Тогда отображение : K → K также является непрерывным во всем K ,где (X) = { ∈ R : ∃ ∈ X, = ()}.Доказательство леммы 3.8. Так как : R → R непрерывно, то∀ > 0 ∃() > 0 : ‖ − ‖ < ⇒ ‖ () − ()‖ < .Предположим, что (X, Y) < , где X, Y ∈ K .

Тогдаmax{sup inf ‖ − ‖; sup inf ‖ − ‖} < .∈X ∈Y∈Y ∈XОбозначим через* () = arg min ‖ − ‖,∈X * () = arg min ‖ − ‖.∈YТогда для любых ˜ ∈ X, ˜ ∈ Y‖ * (˜) − ˜‖ = inf ‖˜ − ‖ < ,∈Y‖* (˜ ) − ˜‖ = inf ‖˜ − ‖ < .∈XТогда‖ ( * (˜)) − (˜)‖ < , ‖ (* (˜ )) − (˜ )‖ < ,Откуда следуетinf ‖ () − (˜)‖ < ‖ ( * (˜)) − (˜)‖ < ,∈Yinf ‖ () − (˜ )‖ < ‖ (* (˜ )) − (˜ )‖ < .∈XПоскольку эти соотношения верны для любых точек ˜ ∈ X, ˜ ∈ Y, аналогичные соотношения будут верны и для тех точек, на которых достигаетсямаксимум этих выражений, то естьsup inf ‖ () − ()‖ < ,∈X ∈Ysup inf ‖ () − ()‖ < .∈Y ∈X—90—Тогда > max{sup inf ‖ () − ()‖; sup inf ‖ () − ()‖} =∈X ∈Y∈Y ∈Xinf ‖ − ‖; sup= max{ sup∈ (X) ∈ (Y)inf ‖ − ‖} = (X, Y).∈ (Y) ∈ (X)Определим вспомогательную функцию(, X) = max{ > 0 : ∈ X},где X ∈ K – некоторый выпуклый компакт такой, что 0 ∈ int X.

Построимотображение X : R → R следующим образом⎧(, X)⎪⎨· , ̸= 0,X () = (, K)⎪⎩0, = 0.Сформулируем свойства отоборажения X в виде следующей леммыЛемма 3.9. Пусть X ∈ K – выпуклое множество, 0 ∈ int X. Тогдасправедливы утверждения:) отображение X – биекция;) ∈ K тогда и только тогда, когда X () ∈ X.Доказательство леммы 3.9. Выберем произвольное положительноечисло > 0.(, X) = max =∈X>011max = (, X). ()∈X()>0Для проверки биективности построим отображение обратное к X :⎧(, K)⎪⎨· , ̸= 0,X ()−1 = (, X)⎪⎩0, = 0.Для точки 0 свойство биективности выполнено. Рассмотрим произвольную точку ̸= 0.X (X−1 ())(︁(,K)(,X)(︁(,K)(,X)=)︁· , X (, K))︁ ·· =· , K (, X)(,X)(,K)(,X)(,K)· (, X) (, K)·· = .· (, K) (, X)—91—Рассмотрим произвольную точку ̸= 0.)︁(︁(,X)· , K (, X) (,K))︁ ··=X−1 (X ()) = (︁(,X) (,K)· , X (, K)(,K)(,X)(,K)(,X)· (, K) (, X)· = .·· (, X) (, K)Отображение X обратимо, то есть является биективным.По построению верно, что (, X) = 1 тогда и только тогда, когда ∈ X.Выберем произвольную точку ∈ K.

ТогдаX () = (, X) · ,(X (), X) = ((, X) · , X) =(, X)= 1.(, X)Откуда следует, чтоX () ∈ X.Выберем произвольную точку ∈ X. ТогдаX−1 () = (, K) · ,(X−1 (), K) = ((, K) · , K) =(, K)= 1.(, K)Откуда следует, чтоX−1 () ∈ K.Лемма 3.10. Пусть X ∈ K – выпуклое множество, 0 ∈ int X.

Тогдаотображение X : R → R непрерывно в каждой точке R .Доказательство леммы 3.10. Сначала докажем, что отображение Xнепрерывно в точке 0. Выберем произвольную последовательность { }∈N ⊂R такую, что→∞‖ ‖ −→ 0.Тогда в силу того, что 0 ∈ int X, 0 ∈ int K,∃ : ∀ > ∈ int X ∩ int K.—92—Обозначим через1 = ( , X) ,2 = ( , K) .Из определения функции (, X) следует, что 1 ∈ X, 2 ∈ K.

Тогда справедливо представление( , X) =‖2 ‖‖1 ‖, ( , K) =.‖ ‖‖ ‖Так как‖1 ‖ 6 diam X < ∞, ‖2 ‖ > 1.Тогда⃦⃦⃦ ( , X)⃦ ‖1 ‖ ‖ ‖‖1 ‖⃦‖X ( )‖ = ⃦· ⃦=·· ‖ ‖ =· ‖ ‖ 6⃦( , K)‖ ‖ ‖2 ‖‖2 ‖6diam X→∞· ‖ ‖ −→ 0 = ‖X (0)‖.1Теперь покажем, что X непрерывна в любой точке ̸= 0. Пусть→∞{ }∈N ⊂ R , −→ .

Обозначим через = ( , X) ∈ X, = (, X) ∈ X.Так как X – выпуклый компакт, справедливо соотношение→∞ −→ .В силу того, что ‖‖ ≠ 0,‖ ‖‖‖= lim= (, X).→∞ ‖ ‖→∞ ‖‖lim ( , X) = lim→∞То есть функция (, X) непрерывна по первому аргументу во всех точках ̸=0.Тогда отображение X является произведением трех непрерывных функций, то есть также является непрерывным в любой точке ̸= 0.Окончательно получаем, что X ∈ (R ).—93—Лемма 3.11. Пусть отображение conv : K → K определяется следу-ющим образом:conv X = { ∈ R : ∃ ∈ N, 1 , .

. . , ∈ X, 1 , . . . , ∈ [0; 1],∑︁ = 1 :=1∑︁ = }.=1Тогда отображение conv непрерывно в (K , ).Доказательство леммы 3.11. По теореме Каратеодори о выпуклойоболочкеconv X = { ∈ R : ∃1 , . . . , +1 ∈ X, 1 , . . . , +1 ∈ [0; 1],+1∑︁ = 1 :+1∑︁=1 = }.=1Выберем два множества X, Y ∈ K так, чтобы (X, Y) < , то естьmax{sup inf ‖ − ‖; sup inf ‖ − ‖} < ,∈X ∈Y∈Y ∈X∀ ∈ X inf ‖ − ‖ < , ∀ ∈ Y inf ‖ − ‖ < ,∈Y∈X∀ ∈ X ∃ ∈ Y : ‖ − ‖ < , ∀ ∈ Y ∃ ∈ X : ‖ − ‖ < .Выберем две точки ∈ conv X, ∈ conv Y. Тогда по теореме Каратеодори∃1 , . .

. , +1 ∈ X, 1 , . . . , +1 ∈ [0; 1],∃1 , . . . , +1 ∈ Y, 1 , . . . , +1 ∈ [0; 1],+1∑︁=1+1∑︁ = 1 : = = 1 : ==1+1∑︁=1+1∑︁ , .=1˜ ∈ X, ˜ ∈ Y такие, что ‖ −˜ ‖ <Тогда для любого = 1, + 1 найдутся точки , ‖ − ˜ ‖ < . Верно включение+1∑︁ ˜ ∈ conv X,=1‖‖+1∑︁=1+1∑︁=1 − −+1∑︁ ˜ ∈ conv Y.=1+1∑︁=1+1∑︁=1 ˜ ‖ 6 ˜ ‖ 6+1∑︁=1+1∑︁=1 ‖ − ˜ ‖ < , ‖ − ˜ ‖ < .—94—То есть∀ ∈ conv X ∃˜ ∈ Y : ‖ − ˜‖ < , ∀ ∈ conv Y ∃˜ ∈ X : ‖ − ˜‖ < ,inf∈conv Y‖ − ‖ < ,inf∈conv X‖ − ‖ < .Поскольку это справедливо для любых точек ∈ conv X, ∈ Y, то аналогичные соотношения будут справедливы и для точной верхней граниsupinf‖ − ‖ 6 ,supinf‖ − ‖ 6 .∈conv X ∈conv Y∈conv Y ∈conv X (conv X, conv Y) = max{ supinf∈conv X ∈conv Y‖ − ‖; supinf∈conv Y ∈conv X‖ − ‖} 6 .Теперь на основе доказанных лемм сформулируем и докажем основнуютеорему.Теорема 3.3. Пусть X ∈ K – выпуклый компакт, 0 ∈ int X. Тогда →∞X (K ) −→ X, →∞conv X (K ) −→ X.Доказательство теоремы 3.3.

Согласно лемме 3.7 последователь-ность {K } ∈N сходится в метрическом пространстве (K , ) к границе кубаK. Отображение X : R → R согласно лемме 3.10 непрерывно, тогда по лемме 3.8 соответствующее ему отображние X : K → K также непрерывно вметрике Хаусдорфа.Тогда →∞X (K ) −→ X (K) = X,где последнее равенство справедливо в силу леммы 3.9.Поскольку в силу леммы 3.11 процедура построения выпуклой оболочкиявляется непрерывным отображением в (K , ), то →∞conv X (K ) −→ conv(X) = X.—95—Замечание 3.3. Множество conv X (K ) является многогранником,причем, очевидно включениеExt conv X (K ) ⊂ X (K ).Фактически теорема 3.3 гарантирует, что, выбирая номер , можно с любойстепенью точности (в смысле расстояния Хаусдорфа) аппроксимировать произвольный выпуклый компакт вложенным в него многогранником, число вершинкоторого оценивается с помощью леммы 3.6.3.5.Оптимальное по быстродействию демпфирование высотного сооруженияПродемонстрируем эффективность разработанных методов на примеререшения задачи демпфирования.

Сейсмические возмущения вызывают колебания сооружения, приводящие к потере его устойчивости и, в конечном счете, кего разрушению. В этой связи возникает задача гашения колебаний сооруженияпосредством дополнительно прикладываемых сил, рассчитанных на основе текущих изменений, т.е. задача управления сооружением по принципу обратнойсвязи. На сегодняшний день наиболее активно применяется способ организации такого управления на основе динамического гашения колебаний с использованием дополнительных материальных тел.