Диссертация (Математическое моделирование и оптимизация по быстродействию линейных дискретных систем с ограничениями), страница 13

Один из возможных вариантовтехнической реализации динамического гашения колебаний заключается в создании специального этажа с размещением на нем некоторой достаточно малоймассы (по сравнению с общей массой сооружения), перемещаемой в соответствии с законом управления в форме обратной связи по текущим показаниямдатчиков, что позволяет оказывать управляющее воздействие на данный этаж.Математическая модель, описывающая здание находящееся в зоне сейсмической активности представлена в [5]. В качестве механической системы,моделирующей колебания высотного сооружения, рассмотривается одномернаяцепочка упругосвязанных материальных точек (этажей или секций сооружения), одна из которых (основание) совершает поступательное движение, порождаемое сейсмическим воздействием.

Предполагается, что масса основаниянамного превышает массы остальных материальных точек и поэтому влиянием движения секций сооружения на движение основания можно пренебречь. В—96—дальнейшем будем считать, что массы всех материальных точек одинаковы, аупругие и демпфирующие связи моделируются линейными элементами с одинаковыми коэффициентами упругости и демпфирования.Уравнения движения рассматриваемой системы имеют вид⎧⎪⎪¨1 () = −2˙1 () − 21 () + ˙2 () + 2 () + 1 (),⎪⎪⎪⎪⎪..⎪⎪.⎪⎪⎨¨ () = −2˙ () − 2 () + ˙−1 () + −1 () + ˙+1 () + +1 () + (),⎪⎪⎪..⎪⎪⎪.⎪⎪⎪⎪⎪⎩¨ () = −2˙ () − 2 () + ˙−1 () + −1 () + (),где – координата -й материальной точки относительно основания, – управляющая сила, приложенная к -й материальной точке; – масса материальнойточки, и –коэффициенты демпфирования и упругости межсекционных связей.Введем обозначения⎛⎛⎛⎞⎞ ()02 1 0⎜⎜⎜ 1 ⎟⎟⎜ ..

⎟⎜⎜ .. ⎟⎜ . ⎟⎜1 2 1⎜ . ⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎜⎜0 1 2⎜ ()⎟⎟1 ⎜ 0 ⎟⎜⎜⎟,()=,=() = ⎜⎜⎜ .. .. ..⎟⎟˙⎜ 1 () ⎟⎜. . .⎜ 1 () ⎟⎜⎜⎜⎟⎟⎜ .. ⎟⎜⎜ .. ⎟⎜ . ⎟⎜0 0 0⎜ . ⎟⎝⎝⎝⎠⎠˙ ()0 0 0 ()⎛=0... 0 0... 0......0...... 2... 1⎞⎟⎟0⎟⎟⎟0⎟⎟.. ⎟ ,.⎟⎟⎟1⎟⎠2⎞⎠., 2 = , = ⎝2− −Тогда уравнения движения можно привести к каноническому виду()˙ = () + (),(3.5)Вычисления выполним для следующих значений параметров: = 6, = 1, 2 = 100. Полагая, что управление () является кусочно-постоянной—97—функцией, меняющей свои значения через промежутки времени ∆, можно перейти к дискретному аналогу системы (3.5), обозначив() = (∆).Обозначим через Φ() – фундаментальную матрицу решений (3.5). Тогда, полагая значение () на участке [∆; ( + 1)∆) равным величине , получимследующие рекуррентные соотношения:( + 1) = Φ(∆)Φ−1 (0)() + (Φ(∆)Φ−1 (0)−1 − −1 ) .Введя следующие обозначения˜ = Φ(∆)Φ−1 (0), = Φ(∆)Φ−1 (0)−1 − −1 ,() = , ∈ N ∪ {0},получим систему˜( + 1) = ()+ (),(0) = 0 , () ∈ U.(3.6)Здесь матрицы ˜, ∈ R12×12 – матрицы дискретной системы, U – множестводопустимых значений управлений непрерывной системы (3.5), () – состояниесистемы на -м шаге.Будем полагать, что демпфирующие устройства установлены между 1м и 2-м, 3-м и 4-м, 5-м и 6-м этажами.

Тогда 2 () = 4 () = 6 () = 0 длявсех ∈ N ∪ {0}, а множество допустимых значений управлений фактическиявляется трёхмерным шаром.В данном случае для использования алгоритма 3.1 необходимо провестипредварительную полиэдральную аппроксимацию U согласно методу, изложенному в разделе 3.4. Результаты аппроксимации изображены на изображены нарисинках 3.1 и 3.2.Для построения гарантирующего решения задачи быстродействия послеаппроксимации U можно использовать алгоритм 3.1.—98—Рисунок 3.1.

Аппроксимация U для 8 точекРисунок 3.2. Аппроксимация U для 26 точекДля начального состояния (0) = (0, −1, 0.5, 2.5, 1, 2, 3, 4, 3, 5, 6, 6.5) оптимальное значение критерия для вспомогательной системы составляет =4.Гарантирующие управления и траектория системы приведены в таблицах2.1 и 2.2.—99—Таблица 3.1. Гарантирующее управление системы (3.6)k*1 ()*2 ()*3 ()*4 ()*5 ()*6 ()*7 ()*8 ()*9 ()*10 ()*11 ()*12 ()0-0.0250-0.0440-0.0650-0.0770-0.0900-0.09200.04200.05800.0290-0.54100.0850-0.12601-0.0038-0.00160.0016-0.00050.00690.0080-0.00570.00040.04040.36700.0721-0.063120.04360.12130.21510.23470.33810.3521-0.1801-0.17550.25820.83550.3589-0.15373-0.0011e-030.0147e-030.0312e-030.0397e-030.0489e-030.0525e-03-0.0217e-03-0.0635e-03-0.0774e-030.1180e-03-0.0515e-030.0345e-03Таблица 3.2.

Гарантирующая траектория системы (3.6)*1 ()*2 ()*3 ()*4 ()*5 ()*6 ()*7 ()*8 ()*9 ()*10 ()*11 ()*12 ()3.6.00-10.52.512343566.51-0.02500.0804-0.14890.1990-0.16830.07081.2298-1.82003.0290-5.31926.08500.62722-0.02880.0788-0.04710.03130.03860.00431.2241-2.3913.8135-4.95224.4845-0.289230.01480.01070.02330.02440.01550.02770.5678-0.63280.3671-0.11670.3275-0.20444000000000000Выводы по главе 31. Разработан метод построения множества 0-управляемости за произвольное число шагов для линейной автономной дискретной системы с линейными ограничениями.—100—2.

Разработан алгоритм решения задачи быстродействия для линейнойавтономной дискретной системы с линейными ограничениями. Для случая скалярного управления предложена модификация алгоритма.3. Разработан метод, позволяющий свести задачу быстродействия для линейной автономной дискретной системы с выпуклым множеством допустимыхзначений управлений к рассмотренному случаю линейных ограничений.4. Построена дискретная математическая модель, описывающая движение высотного сооружения в зоне сейсмических возмущений. Решена задачадемпфирования здания за минимальное время.Основные результаты главы опубликованы в [24,26,29,30,32,33]Глава 4.Комплекс программ для решения задачибыстродействияЦелью данной главы является описание комплекса программ, реализующего алгоритм, разработанный в разделе 3.2. Также решена прикладная оптимизационная задача.В разделе 4.1.

представлено описание комплекса программ, разработанного в ходе диссертационного исследования. В разделе 4.2. решена задача наискорейшей ликвидации углового отклонения за счет использования вентиляторных двигателей тела, подвешенного на струне и способного совершать вращательные движения. В разделе 4.3. сформулированы выводы по главе 4.4.1.Описание комплекса программДля решения задачи быстродействия для системы (1.1) в случае (3.1)разработан комплекс программ.

Возможность создания такого комплекса дляпроизвольной системы управления базируется на том факте, что оптимальноеуправление, сконструированное в теореме 3.1, может быть вычислено в результате решения задачи линейного программирования. Также процедура построения множеств 0-управляемости в силу следствия 1.1 является рекуррентнымпроцессом, основанным на леммах 3.1, 3.2 и алгоритме быстрой оболочки [80].Для реализации программного комплекса был выбран язык C++. Этотвыбор обусловлен тем, что язык C++, обладая большим числом библиотек,поддерживающих те или иные алгоритмы, также способен обеспечить мультиплатформенность программного обеспечения. Широкое распространение языкаC++ гарантирует легкость коррекции исходного кода с целью модификации егопод нужды пользователя.Программа реализует процедуру вычисления оптимального управлениясогласно алгоритму 3.1.

В качестве входных данных программа получает матрицу системы , множество допустимых значений управлений U, заданное в виде101—102—Рисунок 4.1. Алгоритм вычисления оптимального управленияНачало? Считать, U, 0?@Цикл @-Построить X(1),положить = 1Вычислить () = −−1 (* ())*ВычислитьExt X( )?Вычислить ( + 1) = * () + * ()*?HHHH Да 0 ∈ X( ) HH - = HH* (0) = 0HHHH?Увеличить на 1@@Нет'?Вычислить − 1??-от 0 доX( + 1),увеличить на 1?$Вернуть * (0), . . . , * ( − 1)&%множества своих вершин, и начальное состояние 0 . Сначала программа строитпоследовательность множеств 0-управляемости {X( )}∞ =0 до тех пор, пока небудет выполнено включение 0 ∈ X( ). При этом посредством алгоритмабыстрой оболочки на каждом шаге = 1, определяется точное множество вершин X( ).

Затем согласно теореме 3.1 на каждом шаге = 0, − 1рассчитывается оптимальное управление. Набор оптимальных управлений является результатом работы программы. На рисунке 4.1 изображена блок-схемаосновной программы.Длярешениязадачлинейногопрограммированияиспользуетсясимплекс-метод из программного пакета GNU Linear Programming Kit.Для построения множества вершин X( ) используется алгоритм Qhull (быст-—103—рой оболочки), который используется для решения аналогичных задач в такихсредах, как GNU Octave и MATLAB.4.2.Задача наискорейшей ликвидации углового отклонениятела, подвешенного на струнеРассмотрим задачу построения оптимального по быстродействию допустимого управления движением дискретной линейной системы, описывающейсоответствующую модель – твердое тело (гондола), подвешенная на струне испособная совершать вращательные движения.

Предполагается, что тело подвержено вязкому трению воздуха, моменту, связанному с упругостью струны.Управление осуществляется при помощи двух противоположно направленныхвентиляторных двигателей ограниченной мощности. Фактически задача состоит в наискорейшей ликвидации углового отклонения гондолы.Уравнения, описывающие движение модели в пространстве, представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка˙ = ,(4.1)1 ˙ + + = ± (2 − 2 ),2где и – угловое отклонение и угловая скорость исследуемого объекта соответственно, – площадь диска вентилятора, – плотность воздуха, – расстояние от оси вращения до вентилятора, – скорость воздуха после выходаиз вентилятора в случае работы вентилятора, – момент инерции тела относительно оси вращения, – коэффициент упругости струны, – коэффициентвязкого трения о воздух.

Знак «+» или «-» выбирается в зависимости от того,положительный или отрицательный момент создается двигателем. Управлениена практике осуществляемется за счёт изменения скорости вращения лопастейвентиляторных двигателей.В результате замены дифференциальных уравнений (4.1) конечно-—104—разностным аналогом была получена следующая система управления:⎞⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎛0()1 0, 1( + 1)⎠ (),⎠+⎝⎠⎝⎠=⎝( + 1) = ⎝0, 24()1 1, 9( + 1)(4.2)(0) = 0 , () ∈ [−1; 1], ∈ N ∪ {0}.Параметры системы получены приближенно на основании модели, описаннойв [36].Система (4.2) представляет собой линейную дискретную систему управления, удовлетворяющую условию (3.3). Построим численное решение исходнойзадачи наискорейшей ликвидации углового отклонения гондолы. В качестве начального состояния (0) выберем точку (0) = (0, 1; 0) .Наименьшее число шагов, необходимое для перевода системы в 0, составляет = 6.

Построим последовательность оптимальных управлений согласно теореме 3.2 и состояний системы, получаемых согласно соотношениям (4.2).Результаты численных расчетов представлены в таблице 4.1 и проиллюстрированы графически на рисунках 4.2 и 4.3.4.3.Выводы по главе 41. Разработан программный комплекс, реализующий решение задачибыстродействия для линейной дискретной автономной системы с линейнымиограничениями на управление.2. Эффективность программного комплекса опробована при решении задачи наискорейшей ликвидации углового отклонения.Основные результаты главы опубликованы в [24, 26, 35]—105—Таблица 4.1. Оптимальное управление и траектория системы (4.2) в задачебыстродействия0()0.1()0* () -0.8910.1-0.11-0.7620.09-0,290.8130.06-0.271.040.03-0.210.9950.01-0.120.9600Рисунок 4.2.

Множества 0-управляемости для = 4, 6 и оптимальнаятраектория системы (4.2) для = 0, 2Рисунок 4.3. Множества 0-управляемости для = 0, 3 и оптимальнаятраектория системы (4.2) для = 3, 6ЗаключениеВ диссертационной работе предложены и обоснованы методы решениязадач быстродействия для различных классов линейных дискретных систем сограничениями на управление, что выразилось в следующих результатах1. Исследован класс математических моделей линейных дискретныхнеавтономных систем с конечномерным вектором состояния и строго выпуклым множеством допустимых значений управлений.2.