Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 8

Поэтому дляфункции (t )  min  (t , v) существует правая производная [41,42,52,56,78]vVt (0)  min  t (0,V )  min p(0,V ) ,vVvVт.е. при малых t  0 выполняется неравенство(t )  (0) t (0)  (t ) ,tгде (t )  0 при t  0 . Отсюда следует, что(t )  (0)  t t (0)  t (t ) ,или, что то же самое,min  (t , v)  min  (0, v)  t min  t (0, v)  t (t ) .vVvV vVПодставляя29t (t , v)  q (v)  p (, v) d0и  t (0, v)  p (0, v) , получаем доказываемое неравенство. Лемма 1.2 доказана.Обозначим через Φ – множество функций  : T  Y   , каждая из которых при любомфиксированном y имеет по t конечное число точек разрыва, в которых она имеет конечныйпредел слева и непрерывна справа, а в остальных точках области определения функция непрерывна вместе со своей правой частной производной t .

Считаем, что функции  измножества Φ доопределены в точке t0 левым пределом (t0  0, y ) . Правая производнаяt (t , y ) определена и равномерна по параметру y [42] на всей области определения, за ис-ключением конечного момента времени t1 .Для последовательности функций k  Φ , k    , запишем выраженияP k (t , y )  tk (t , y )  f (t , y ) ,Q k (t , y, v)  k (t , g (t , y, v))  k 1(t  0, y )  g 0 (t , y, v) ,(1.21)R( y )  F ( y )  0 (t1, y ) .Поскольку правые частные производные tk (t , y ) не определены при t  t1 , считаем, чтоP k (t1, y )  0 при всех y  Y .

Предполагаем, что функции (1.21) достигают своих наименьших значений, равных нулюminyYminvVk 1 (t , y )P k (t , g (t , y, v))  0 ,min min Q k (t , y, v)  0 ,(1.22)(1.23)yY vV (t , y )min R( y )  0 .(1.24)yYЗдесь Vk 1(t , y )  ArgminkQ k (t , y, v) – множество точек глобального минимума функцииvV (t , y )Q k (t , y, v) по аргументу v на множестве (1.17). Для задачи со свободным правым концомтраектории Vk 1(t , y )  Arg min Q k (t , y, v) , поскольку в этом случае V k (t , y )  V (t , y ) , такvV (t , y )как k   , k    . При дополнительном условии целочисленности (1.12) формулировкадостаточных условий не меняется.30Теорема 1.1 (достаточные условия оптимальности процесса управления).

Для тогочтобы допустимый процесс d   ( y (), v ())  D1 (t0 , y0 ) был оптимальным, достаточносуществования такой невозрастающей последовательности k  Φ , k    , удовлетворяющей условиям (1.22) – (1.24), чтоа) P N  k (t , y (t ))  0 при всех t  [k , k 1) , k  0,1,, N  ;б) Q N  k (k , y (k  0), v (k ))  0 при всех k  1,, N  ;в) R( y (t1))  0 ;г) N *  min Arg min k (t0  0, y0 ) ,kгде 1 ,…, N– возрастающая последовательность моментов переключения траекторииy () , t0  0  1          t1 , а N  – наименьшее целое неотрицательное число,NN 1начиная с которого все члены последовательности k (t0  0, y0 ) оказываются равными.Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1.1 Пусть d  – допустимый процесс с однократнымипереключениями, т.е.

d   D1(t0 , y0 ) . В этом случае тактовые моменты времени 1 ,…,   , вNкоторыепроисходятпереключения,образуютвозрастающуюпоследовательностьt0  0  1          t1 . Введем множество E1 пар d  ( y (), v()) функций, котоNN 1рые, в отличие от допустимых процессов из D1  D1(0 , y0 ) , не связаны уравнением (1.1), ноудовлетворяют ограничениям (1.2) и начальным условиям (1.4). На множестве E1 определимвспомогательный функционал L . Для процесса d  ( y (), v())  E1 , траектория y () которогоимеет конечное множество {1,,  N } точек разрыва t0  0  1     N   N 1  t1 , полагаем, чтоN  k 1L(d )  R ( y ( N 1))   P j (t , g (t , y(t  0), v(t )) dt k 0 kN Q j (k , y(k  0), v(k ))  N (0  0, y(0  0)) k 131N  k 1 R[ N 1 ]  PjN[t ] dt k 0 kQ j [k ]   N [0  0] ,(1.25)k 1где j  N  k .

Здесь и далее аргумент в квадратных скобках соответствует значению сложной функции, вычисленной на процессе d в указанный момент времени, а именно:R[ N 1]  R( y ( N 1 )) ,P j [t ]  P j (t , g (t , y (t  0), v(t ))) ,Q j [k ]  Q j (k , y (k  0), v(k )) , N [0  0]   N (0  0, y (0  0)) . Если в начальный или конечный моменты времени траектория y () имеет разрыв, то 1  0 или  N   N 1 , при этом в (1.25) интеграл на промежутке[0 , 1) или [ N ,  N 1) равен 0 соответственно.Проверим для функционала (1.25) условия а) – г) леммы 1.1.1. Очевидно, что D1  E1 (выполняется условие а) леммы 1.1).2.

Покажем, что на любом допустимом процессе d  ( y (), v())  D1 верно равенствоI (d )  L(d ) (функционал I определен формулой (1.5), индекс t0 опущен). Действительно, вкаждой точке разрыва y (k )  g (k , y (k  0), v(k )) , k  1,  N . ПоэтомуQ j [k ]  Q j (k , y (k  0), v(k ))   j (k , g (k , y (k  0), v(k )))   j 1 (k  0, y (k  0))  g 0 (k , y (k  0), v(k ))   j (k , y (k ))   j 1(k  0, y (k  0))  g 0 (k , y (k  0), v(k ))   j [k ]   j 1[k  0]  g 0[k ] .Накаждомпромежуткеk  0,1, N ,[k , k 1) ,функцияy ()постояннаy (t )  y (k )  g (t , y (t  0), v(t )) , а управление – нейтральное v(t )  o при k  t  k 1 .

ЗначитP j [t ]  tj (t , y (t ))  f (t , y (t )) d j [t ]  f [t ] , t  [k , k 1) .dtТогда k 1Pkтак как k 1j[t ] dt jj f [t ] dt   [k 1  0]   [k ] ,k j [k 1  0]   j (k 1  0, y (k 1  0))   j (k 1  0, y (k )) ,Следовательно,32 j [k ]   j (k , y (k )) .k 1k 1jjjjj P [t ] dt  Q [k ]   f [t ] dt   [k 1  0]   [k ]   [k ]  kj 1[k  0]  g 0[k ] kk 1 f [t ] dt  g0[k ]   j [k 1  0]   j 1[k  0] .kПодставим это выражение в функционал (1.25), который предварительно запишем в видеN 1  k 1LN{  P j [t ] dt  k 1Q j [ k ]} k 1k N 11PN0 P [t ] dt [t ] dt 0N R[ N 1]  Q0[ N ]   N [0  0] .Получим N 1L(d )  F [ N 1 ] Nf [t ] dt g10[k ] k 100d N [t ] dt dt N 1Nd 0 [t ] dt dtIN{ j [k 1  0]   j 1[k  0]}  0[ N 1]  0[ N ]  1[ N  0]   N [0  0] k 11I0d N [t ] dt dt N 1Nd 0 [t ] dt   N [1  0]  0[ N 1]  0[ N ]   N [0  0] .

(1.26)dtРассмотрим четыре случая. В первом случае при 0  1 и  N   N 1 , взяв интегралы в(1.26), получаемL  I   N [1  0]   N [0 ]  0[ N 1  0]  0 [ N ]   N [1  0]  0[ N 1]  0[ N ]   N [0  0]  I ,так как  N [0  0]   N [0 ] и 0[ N 1  0]  0[ N 1] в силу непрерывности траектории вточках 0 и  N 1 . Во втором случае при 0  1 и  N   N 1 в (1.26) интеграл на промежутке [0 , 1) равен 0.

ТогдаL  I  0 [ N 1  0]  0[ N ]   N [1  0]  0[ N 1]  0 [ N ]   N [0  0]  I ,так как0[ N 1  0]  0[ N 1]в силу непрерывности траектории в точке N 1 ,а  N [1  0]   N [0  0] из-за 0  1 . В третьем случае при 0  1 и  N   N 1 в (1.26) интеграл на промежутке [ N ,  N 1 ) равен 0. Тогда33L  I   N [1  0]   N [0 ]   N [1  0]  0[ N 1 ]  0 [ N ]   N [0  0]  I ,таккак N [0  0]   N [0 ]всилунепрерывноститраекториивточке0 ,а 0[ N 1]  0[ N ] из-за  N   N 1 . Наконец, в четвертом случае при 0  1 и  N   N 1 ,оба интеграла в правой части (1.26) равны 0.

ТогдаL  I   N [1  0]  0 [ N 1]  0[ N ]   N [0  0]  I ,так как 0  1 и  N   N 1 .Таким образом, функционалы (1.5) и (1.25) совпадают на мно-жестве D1 допустимых процессов, т.е. условие б) леммы 1.1 выполняется.3. Покажем, что для любого процесса d  ( y (), v()) из множества E1 верно неравенствоL(d )  l , где l   N [t0  0] (условие в) леммы 1.1). Предположим, что множествоT  {1,...,  N } точек разрыва t0  0  1     N   N 1  t1 функции y () разбивает проме-жуток T на полуинтервалы [k ,  k 1) , k  0,1,..., N , длина k   k 1  k каждого из которых меньше  :  maxk 0,1,..., Nk   . Малость величины   0 можно всегда обеспечить, до-бавляя к точкам разрыва некоторое количество точек  непрерывности функций y () , полагая при этом, что управление в этих точках нейтральное v()  o , а затраты на переключениесостояния – нулевые g 0[]  0 .

Функционал (1.25) не меняется от добавления таких "фиктивных" точек разрыва.Оценим в функционале (1.25) слагаемые, зависящие от одного значения управления.Чтобы не получить грубую оценку, нужно эти слагаемые оценивать совместно, а не по отдельности.Применяялемму 1.2дляфункцийq(v)  Q j (k , y (k  0), v) ,p(t , v)  P j (t , g (t , y (t  0), v)) , k  1,2,, N , j  N  k , и учитывая (1.22),(1.23), получаемk 1Pj(t , g (t , y (t  0), v(t ))) dt  Q j (k , y (k  0), v(k )) kk 1{P j (t , g (t , y (t  0), v))) dt  Q j (k , y (k  0), v)} j 1 minvVkp (t ,v )q (v ) min Q j (k , y (k  0), v)  min P j (k , g (k , y (k  0), v))  k  k  (k ) vVj 1vVj 1 min min Q j (k , y, v)  min min P j (k , g (k , y, v))  k  k  (k )    () ,yY vVj 1yY vV j 134V j 1  V j 1 (k , y (k  0)) ,где maxk 0,1,..., NVj 1  Vj 1(k , y (k  0)) ,k  k 1  k ,k   , а ()  0 при   0 .

На промежутке [0 , 1 ) система сохраняетначальное состояние и функция P N (t , g (t , y, v))  0 , согласно (1.22).Теперь оцениваем функционал (1.25), учитывая, что минимум суммы не меньше суммыминимумов, получаемNLR( y )   N [0  0]   N [0  0]  () .{  ()}  minyYk 1Переходя к пределу при   0 (следовательно,   0 , поскольку    ), приходим кнеравенству L   N [t0  0] . Согласно условию г) теоремы 1.1,  N [t0  0]   N [t0  0]  l .Поэтому L  l .

Неравенство в) леммы 1.1 доказано.4. Осталось доказать, что условие г) леммы 1.1 тоже верно. Для процесса d  , удовлетворяющего условиям а)-в) теоремы 1.1, имеем R[t1]  0 ; P j [t ]  0 при всех t  [k , k 1 ) ,k  0,1,, N  ;Q j 1[k ]  0приk  1,, N  ,всехгдеj  N  k .ПоэтомуL(d  )   N [t0  0]  l . Следовательно, условие г) леммы 1.1 тоже выполняется.Все условия леммы 1.1 справедливы для процесса d   D1(t0 , y0 ) . Значит, этот процессоптимальный. Теорема 1.1 доказана.Заметим, что используемая в теореме функция  N (t , y ) представляет собой условнуюфункцию цены, что следует из доказанного в п.4 равенства  N [t0  0]  I (d  ) .Достаточные условия оптимальности позиционного управленияДля формулировки и доказательства достаточных условий оптимальности процессауправления САТ (теорема 1.1) вместо функции цены использовались вспомогательныефункции, которые определялись как условные функции цены.