Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 12

Отметим, что затраты g 0 (t , y, v)  g 0 (t ) не зависятот y и v . Делать такое переключение в начальный момент времени может быть не выгодно,так как при t  0 затраты максимальные (см. график функции g 0 (t ) на рис.1.3,а). Возможно,лучше подождать некоторое время, а затем сделать переключение.

Таким образом, оптимальная траектория имеет не более одного переключения (см. рис.1.3,б), которое происходитв некоторый момент времени  , 0    1 .Будем синтезировать оптимальное позиционное управление, применяя предлагаемыйалгоритм. Учитывая, что оптимальные траектории имеют не более одного переключения,синтез должен закончиться построением образующих 0 , 1 , 01 , из которых составляются50условные функции цены 0  0 , 1 .

Поскольку решается задача со свободным правымконцом траектории, то 0  1    T  Y  [0,1]  [0,) .g0y58y0180а01 t1 tбРис.1.3Шаг 0. На области 0 интегрируем дифференциальное уравнение (1.54) с терминальнымусловием (1.55) (t , y )  y  0 ,t 00 (1, y )  0 .Получаем 0 (t , y )  (1  t ) y . Следовательно, 0 (t , y )  0 (t , y )  (1  t ) y и v 0 (t , y )  o .Шаг 1 1 . На области 1 находим образующую 1(t , y ) по формуле (1.56) при k  11(t , y ) min[ (1  t )( y  v)  1  1 (1  t )2 ]  1  1 (1  t )28v[  y , )282и позиционное управление (1.57)v1(t , y )   y .Решая систему неравенств (1.58)1 1  (1  t ) 2  (1  t ) y ,8 2 y  y  (1  t )  y ,11 t,y 8(1  t )2y 1 t,определяем область 1 . На рис.1.4,а изображены гипербола и прямая, ограничивающие область 1 , отмеченную на рисунке полужирной цифрой 1 .Шаг 2 1 .

Так как 1   и левая граница 1 области 1 – отрезок y  1  t , 0  t  0.5 ,не совпадает с осью ординат – левой границей пространства позиций  , то, интегрируяуравнение (1.59) с терминальным условием (1.60) (t , y )  y  0 , t 0101(t  0, y )  1(t , y ) при y  1  t , 0  t  0.5 ,51получаем 01(t , y )  (1  t ) y 1 1 2 y . Область 01 позиций, предшествующих 1 , пред8 2ставляет собой треугольник, отмеченный на рис.1.4,б цифрами 01 .yy11110100.50.50001 t0.5а00.5бРис.1.41 tШаг 3 1 . Составляем условную функцию цены (1.61)1  2 (1  t ) y  8  2 y , (t , y )  01,1 1(t , y )   (1  t )2 , (t , y )  1,8 2 (1  t ) y , (t , y )  1 \ (01  1)(1.65)и условную функцию управления0 , (t , y )  01,v (t , y )  v1(t , y ) , (t , y )  1, v 0 (t , y ) , (t , y )  1 \ (   )0111 0 , (t , y )  1,v1(t , y )   y , (t , y )  1.(1.66)Полагая k  2 , продолжаем с шага 1.Шаг 1 2 .

На области 2 находим образующую 2 (t , y ) по формуле (1.56) при k  22 (t , y ) min[ 1(t , y  v)  1  1 (1  t )2 ] .8vV 2 (t , y )2Здесь V 2 (t , y )  {v   y | y  v  01  1} – множество допустимых значений управления, прикоторых система совершает первое переключение, попадая в позицию из 01  1 с последующим вторым переключением. Графики функции 1(t , y ) при фиксированных t изображены на рис.1.5 (при t  0.25 на рис.1.5,а; при t  0.75 на рис.1.5,б). Полужирными цифрами0 , 01 , 1 обозначены промежутки, входящие в области 0 , 01 , 1 , соответственно.

На об-521ласти 01 функция 1  01 достигает наименьшего значения по аргументу y при y  . На2области 1 функция 1  1 не зависит от y : 1(t , y )  g 0 (t ) . Поэтому образующая имеетвид1 1112 2 (1  t )  8  2 (1  t ) , 0  t  2 ,2 (t , y )  11 (1  t )2 ,  t  1,42а позиционное управление (1.57)11y,0t,22v2 (t , y )  1  0,  t  1.238а  1(0.25, y )00010.5 0.75б  1(0.75, y )532100y10.625yРис.1.5При t 1управление может быть любым, отличным от нулевого. Запишем первое неравен2ство в (1.58): 2  1 . Покажем, что это неравенство не имеет решений, т.е. 2   . Дейст11вительно, на области 01  {  y  1  t , 0  t  } оно равносильно неравенству 2  01 :2211 11 (1  t )   (1  t )2  (1  t ) y   y 2 .28 28 2Перенося все слагаемые в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем неравенство11(1  t )  (1  t  y ) 2  0 ,22которое не имеет решений, поскольку t 1.

Значит, неравенство 2  01 неверно. На об21ласти 1 неравенство 2  1 равносильно неравенству 2  1 . При 0  t  имеем22  111 11 (1  t )   (1  t ) 2   (1  t )228 28 2что, разумеется, неверно при t  1 . При1 t  1 имеем2531(1  t )  0 ,22  111  (1  t )2   (1  t ) 248 21  (1  t )2  0 ,8 2что невозможно. Поэтому неравенство 2  1 не имеет решений. Наконец, на области10 \ (01  1) неравенство 2  1 равносильно неравенству 2  0 . При 0  t и20 y1имеем22  011 1(1  t )   (1  t ) 2  (1  t ) y28 211 1(  y )(1  t )   (1  t ) 2  0 ,28 21 t 1 и2что неверно, поскольку все слагаемые в левой части положительные. При0 y11 tимеем8(1  t )22  01 (1  t )2  (1  t ) y4111 t (1  t )2  (1  t )[]48(1  t )211 1 (1  t )2   (1  t )248 21 1 (1  t )2  0 ,8 2что неверно. Таким образом, неравенство 2  1 не имеет решений, следовательно, область2 пуста. Синтез завершен.

Найдены условная функция цены (1.65) и условное позиционноеуправление (1.66).Найдем теперь оптимальные траектории для заданных начальных условий.В случае а) начальная позиция (0, y (0))  (0,0.25) сис-yтемы принадлежит области 10  1 \ (01  1) . Значит, оп-втимальная траектория (пунктирная прямая а на рис.1.6) не1имеет переключений y (t )  0.25 , 0  t  1 , а минимальноебзначение функционала (1.64) находим по условной функции1010.51цены (1.65): min I   (0,0.25)  0.25 .0аВ случае б) начальная позиция (0, y (0))  (0,0.75) системы принадлежит области 01 .

Следовательно, оптималь-00.5Рис.1.61 tная траектория (штриховые стрелки б на рис.1.6) сначалапостоянна y (t )  0.25 , 0  t  0.25 , затем, на линии переключения y  1  t в момент t  0.25 ,траектория совершает скачок в нулевое состояние, которое сохраняет y (t )  0 , 0.25  t  1 .Оптимальное управление (1.65) только в момент переключения отлично от нулевого54v(0.25)  0.75 . Минимальное значение функционала (1.64) определяем по функции (1.65):min I  1(0,0.75)  0.59375 .В случае в) начальная позиция (0, y (0))  (0,1.25) системы принадлежит области 1 .Следовательно, оптимальная траектория (штрихпунктирные стрелки в на рис.1.6) в начальный момент времени совершает скачок в нулевое состояние, которое сохраняет до конечногомомента времени y (t )  0 , 0  t  1 .

Оптимальное управление (1.65) только в начальный момент времени отлично от нулевого v(0)  1.25 . Минимальное значение функционала (1.64)определяем по функции (1.65): min I  1(0,1.25)  0.625 .Пример 1.2 Даны модель САТ и функционалy (t )  y (t  0)  v(t ) ,v(t )  [ y (t  0), 1  y (t  0)] ,1Iy (t )  t dt  ,(1.67)T0где 0  t  1 , y (t )  [0, 1] , v(t )  [1, 1] ,   1 ; T  T ( y ()) – множество точек разрыва кусоч16но-постоянной функции y () .

Требуется найти оптимальное позиционное управление САТ иоптимальные траектории с начальными условиями: а) y (0)  0 ; б) y (0)  0.8 .По сравнению с общей постановкой задачи, имеем: T  [0, 1] ; Y  [0, 1] ; V  [1, 1] ;V (t, y)  [ y, 1 y] ; f (t, y)  y  t ; g 0 (t , y, v)   ; F ( y )  0 . Нейтральное значение управле-ния совпадает с нулевым, т.е. o  0 . Смысловое содержание задачи: найти оптимальную кусочно-постоянную аппроксимацию y  y (t ) линейной функции y  t .

Оптимальность понимается как минимизация интеграла от модуля отклонения при одновременном уменьшении количества разрывов аппроксимирующей функции. Количество точек разрывов пропорционально (с коэффициентом  ) входящей в функционал (1.67) сумме по  . Если не учитывать разрывы функции y () , положив   0 , то решением задачи будет минимизирующая последовательность, например, y j (t )  [2 j t ] 2 j , где [] – целая часть числа  . Значение функционалаI ( y j ())  2  j – стремится к нулю при j   . Если же штраф   0 , то оптимальная траек-тория имеет конечное число точек разрыва.

Функцию цены при произвольном допустимомчисле переключений будем искать согласно методике, описанной в разделе 1.3.55Шаг 0. На области 0    T  Y  [0,1]  [0,1] интегрируем дифференциальное уравнение (1.54) с терминальным условием (1.55) (t , y )  y  t  0 ,t 00 (1, y )  0 .Получаем (t , y )  0 (t , y )  01 (1 21 (1 2y )2  1 ( y  t )2 , t  y ,2y) 21 ( y  t )2 , t2 y,v 0 (t , y )  0 .Шаг 1 1 . На области 1   находим образующую 1(t , y ) по формуле (1.56) при k  11(t , y ) min[ 0 (t , y  v)   ]  14 (1  t )2  v[  y ,1 y ]и позиционное управление (1.57)1v1(t , y )  arg min [ 0 (t , y  v)   ]  (1  t )  y .2[  y ,1 y ]Решая систему неравенств (1.58)   1 (1  t )2  1 (1  y ) 2  1 ( y  t )2 , t  y ,4221 (1  t ) 2  1 (1  y ) 2  1 ( y  t ) 2 , t  y ,4221y  (1  t )  y  t  y  t ,2получаем две области, обозначенные на рис.1.7 цифрой 1 : треугольник, ограниченный прямой ( 1 )y1 t, и криволинейный треугольник, ограниченный гиперболой ( 2 )21y110.800.60.4120.2300.20.40.6Рис.1.7560.8t1y1  3t3t  1и прямой ( 3 ) y .