Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 11

На области k находим образующую функции ценыk (t , y ) mink[k 1(t , g (t , y, v))  g 0 (t , y, v) ](1.56)vV (t , y )и образующую позиционного управленияvk (t , y )  argminvV k (t , y )[k 1(t , g (t , y, v))  g 0 (t , y, v) ] .45(1.57)Решая систему неравенств (при t  t1 )k (t , y )  k 1(t , y ) ,0 f (t , g (t , y, vk (t , y ))  gt (t , y, vk (t , y )) )  f (t , y ) ,(1.58)определяем множество позиций k , в которых происходит переключение.

При t  t1 второенеравенство в (1.58) не учитывается. Если данная система не имеет решений ( k   ), топроцесс построения условных функций цены и управления заканчивается. Если левая граница k совпадает с левой границей  всего пространства позиций, то пропускаем шаг 2,полагая 0 k   .Шаг 2 k . Если система (1.58) совместна ( k   ), то находим образующую 0k (t , y ) ,интегрируя на области 0 k ( 0 k – множество позиций, предшествующих k ) уравнение (t , y )  f (t , y )  0 t 0k(1.59)с терминальным условием на левой границе k области k0k (t  0, y )  k (t , y ) .(1.60)Шаг 3 k . Составляем условную функцию цены0k (t , y ) , (t , y )  0k , (t , y )  k (t , y ) , (t , y )  k ,k 1(t , y ) , (t , y )  k \ (   ) ,0kkk(1.61)и условное позиционное управлениеo , (t , y )  0k ,v (t , y )  vk (t , y ) , (t , y )  k ,v k 1(t , y ) , (t , y )  k \ (   ) .0kkkПроцесс заканчивается, если k   .

Дополнительным условием окончания может служитьограничение допустимого количества переключений, например, натуральным числом N .В этом случае, если k  N и k   , то продолжаем построение образующих с шага 1 k , полагая k : k  1 , иначе процесс заканчивается.Синтезированное позиционное управление позволяет находить оптимальные процессыдля любых начальных условий.

Для этого нужно выполнить следующие действия.1. Для заданной позиции (t , y )   определяем оптимальное число переключенийk (t , y )  min Arg min k (t  0, y ) .k 46(1.62)Минимум ищется по всем условным функциям цены k , которые определены в заданной позиции (t , y )  k .2. Находим оптимальное управлениеv (t , y )  v k (t , y ) (t , y )и минимальное значение функционала It оставшихся потерь (1.14)min1d D (t , y )It (d )  k (t , y ) (t  0, y ) .(1.63)Формулы (1.62) и (1.63), соответственно, изменятся, если количество переключений ограничено числом Nk (t , y )  min Argmink  0,1,, Nk (t  0, y ) ,mind D1N (t , y )I t (d )  k (t , y ) (t  0, y ) .Таким образом, можно найти оптимальное управление для любой позиции. Однако дляполучения оптимального программного управления необязательно выполнять минимизацию(1.62) в каждой текущей позиции (t , y (t )) .

Достаточно определить оптимальное количествопереключений N  k (t0 , y0 ) для начальной позиции (t0 , y0 ) , а затем использовать условныеуправления для получения оптимального процессаyi  g (i , yi 1, vi ) ,vi  v N i 1(i , yi 1) ,(i , yi 1)   N i 1 ,где i  1,..., N , yi  y (i ) , vi  v(i ) , а 1,,  N – возрастающая последовательность моментов переключений t0  0  1     N  t1 .

Момент i i -го переключения определяетсядостижением левой границы  N i 1 области  N i 1 . Например, для начального состоянияy0 первое переключение происходит в момент 1 , когда прямая y  y0 пересекает левуюграницу Nобласти N . В этот момент система переключается в состояниеy1  g (1, y0 , v1) под действием управления v1  v N (1, y0 ) . Момент 2 второго переключе-ния определяется пересечением прямой y  y1 с левой границей  N 1 области  N 1 . Система переходит в состояние y2  g (2 , y1, v2 ) под действием управления v2  v N 1(2 , y1) ит.д. Последнее переключение происходит в момент  N пересечения прямой y  y N 1 с левой границей 1 области 1 .47Численная реализация алгоритма (анализ погрешностей)Алгоритмы построения функции цены как нижней огибающей последовательностивспомогательных функций (образующих) были разработаны ранее для логико-динамическихсистем [17] и для дискретных САТ [76], описываемых рекуррентным включением.

В этих алгоритмах образующие строятся путем решения рекуррентного уравнения в тактовые моменты времени и интегрирования дифференциального – между ними. Целочисленная минимизация выполняется после интегрирования, когда построены все образующие. Такой алгоритмявляется приближенным. Он имеет методическую ошибку, поскольку сужает множество допустимых процессов, допуская переключения только в заранее заданных тактовых моментахвремени. Поэтому синтезированное управление будет субоптимальным.

В отличие от алгоритма [76], предлагаемый в диссертации алгоритм не имеет методической ошибки. Если всеописанные в нем математические операции выполнить без погрешностей, то получим точноерешение – оптимальное позиционное управление. Конечно, без вычислительных погрешностей обойтись нельзя. Кроме погрешностей округлений и вычислений, алгоритм включаетдве операции, которые, как правило, выполняются приближенно. Это операции интегрирования и минимизации функций. Реализация этих операций при помощи соответствующихчисленных методов [54,77,78] приводит, разумеется, к появлению методических погрешностей.

Однако, эти численные методы хорошо изучены. Поэтому возникающие при их применении погрешности можно оценить и снизить до приемлемого уровня. Важно, что новый алгоритм точный (не имеет методической ошибки).Обсудим применяемые операции интегрирования и минимизации. Решение уравнения(1.59) с терминальным условием (1.60) находится интегрированием( y )0k (t , y )  0k (( y ), y )  f (s, y) dstот текущего момента времени t до конечного момента ( y ) , в который (( y ), y )   k , т.е.до левой границы области k . Эту операцию легко выполнить любым методом численногоинтегрирования [54,77].Конечномерную минимизацию нужно выполнять при решении рекуррентного уравнения(1.57)vk (t , y )  argmink[k 1(t , g (t , y, v))  g 0 (t , y, v) ] .vV (t , y )48Сложность минимизации зависит от свойств минимизируемой функции и от множества, накотором этот минимум ищется.

Общие характеристики здесь трудно дать, поскольку в моделях систем управления используются очень разные по сложности уравнения движения и ограничения на управление. Отметим только, что в задачах управления количество координатвектора v – невелико. Это облегчает решение. Нередко, анализируя задачу минимизации,удается существенно сузить множество допустимых значений управления, отбросив неподходящие точки, которые заведомо не могут быть точками минимума. Тогда численное решение становится проще.При нахождении оптимального процесса с использованием позиционного управлениянужно решать задачу целочисленной минимизации (1.62).

Поскольку задача одномерная, тоее решение можно найти простым перебором. Учитывая, что последовательность значенийk , k  0,1,... не возрастающая, нужно искать значение k , при котором значения перестаютубывать (когда будет приближенное равенство двух последовательных значений k  k 1 ).Так это и делалось при решении примеров. Нетрудно предложить и другие способы, использующие известные идеи методов одномерной минимизации.При численной реализации алгоритма синтеза оптимального управления САТ пространство позиций   T  Y ограничивается и заменяется сеткой с узлами 0 , 1 ,…,  N с шагом по времени и "шагом" y  (y1,..., ym ) по состоянию.

Если по каждой координате век-тора состояния выбрано M узлов, то сетка в пространстве позиций будет содержать( N  1) M m узлов. Уравнение движения (1.1) и управление (1.2) аппроксимируются так, чтобы допустимые траектории проходили "по сетке".Ограничив количество скачков величиной K , в результате работы программы, реализующий алгоритм, получим образующие k (, y ) и условные позиционные управленияv k (, y ) для k  0,1,..., K .

Количество значений этих образующих k на сетке равно( K  1)( N  1) M m ,а количество значений управлений v k в m раз больше. Заметим, что функция k (функцияv k ) определяется через предыдущую функции k 1 (соответственно, v k 1 ) и совпадает сней в части области определения (1.62). Поэтому возможно существенное уменьшение количества вычислений и объема требуемой памяти. Оценить эту экономию, более-менее, точно,нельзя, поскольку разбиение пространства позиций на области определения образующих, какправило, сложное, и для разных задач очень разное.491.4.

ПРИМЕРЫ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА ПРИ ОДНОКРАТНЫХПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХРассматриваются два модельных примера синтеза оптимального позиционного управления дискретными САТ. Для аналитического решения этих примеров применяется алгоритм,описанный в разд.1.3. Заметим, что в первом (очень простом) примере оптимальные процессы имеют не более одного переключения. Поэтому его решение можно найти (для сравнения) и без применения рассматриваемых условий оптимальности. Во втором примере без условий оптимальности уже не обойтись. Применение алгоритма для численного решения задачи синтеза приводится в разд.1.5.Пример 1.1 Даны модель САТ и функционалy (t )  y (t  0)  v(t ) ,v(t )  [ y (t  0),) ,1I  y (t )dt 011[ 8  2 (1  )2 ] ,(1.64)Tгде 0  t  1 , y  0 , T  T ( y ()) – множество точек разрыва кусочно-постоянной функцииy () .

Требуется найти оптимальное управление с обратной связью, а также оптимальныепроцессы с начальными условиями: а) y (0)  0.25 ; б) y (0)  0.75 ; в) y (0)  1.25 .По сравнению с общей постановкой задачи (1.1),(1.2),(1.5), имеем: T  [0,1] , Y  [0,) ,V (t , y )  [ y,) , g (t , y, v)  y  v , g 0 (t , y, v)  g 0 (t ) 1 1 (1  t )2 , f (t , y )  y , F ( y )  0 . Ней8 2тральное значение управления совпадает с нулевым, т.е. o  0 . Смысл задачи: найти неотрицательную кусочно-постоянную функцию, минимизирующую функционал I . Чтобы минимизировать интегральную часть функционала, нужно уменьшить значение y (t ) . Поэтомускачок лучше делать в нулевое состояние.