Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 13

Заметим, что каждая из областей включает свои42(1  t )2левые границы, но не включает правые, поскольку функция цены непрерывна справа по t .Шаг 2 1 . Поскольку 1   и левая граница 1 (отрезок 3) одной из областей 1 непринадлежит левой границе  0     {(0, y ) | y  [0,1]} , находим образующую 01 , интегрируя уравнение (1.59) с терминальным условием (1.60) (t , y )  2 y  t  0 , t 0101(t  0, y )  1(t , y ) при y 23t  1 1,  t 1.233Получаем   1 (1  y ) 2  1 ( y  t ) 2 , t  y ,6201(t , y )  2 121   6 (1  y )  2 ( y  t ) , t  y .Область 01 определения этой функции на рис.1.8 обозначена цифрами 01 .

Прямая 4 задается уравнением y 3.2y118120.8070.6940.401210.2035620.20.40.60.8t1Рис.1.8Шаг 3 1 . Составляем условную функцию цены (1.61)01(t , y ) , (t , y )  01 ,1 (t , y )  1 (t , y ) , (t , y )  1 ,0 (t , y ) , (t , y )   \ (   )011и условную функцию управления57 0 , (t , y )   \ 1,v1(t , y )  v1(t , y ) , (t , y )  1.Полагая k  2 , продолжаем с шага 1.Шаг 1 2 . На области 2   находим образующую 2 (t , y ) по формуле (1.56) при k  22 (t , y ) min[ 1(t , y  v)  ]  2  81 (1  t )2v[  y ,1 y ]и позиционное управление (1.57)v2 (t , y )  arg min [ 1(t , y  v)   ]  3t 1  y .4[  y ,1 y ]Множество 2 находим, решая систему (1.58)2 (t , y )  01(t , y ) , (t , y )  01 ,2 (t , y )  1(t , y ) , (t , y )  1 ,02 (t , y )   (t , y ) , (t , y )   \ (01  1) ,y  13t  y  t  y  t .4Получаем две области, обозначенные на рис.1.8 цифрой 2 : криволинейный треугольник, ограниченный гиперболой ( 5 ) y 3t  12335t  1(1  t ) 2   и прямой ( 6 ) y , а также824криволинейный пятиугольник, ограниченный эллипсом ( 7 ) y ( 8 ) t  1  2  и прямой ( 9 ) y 3t  1 1421 t1   (1  t ) 2 , прямой283 .Шаг 2 2 .

Поскольку левая граница области 2 не совпадает с левой границей области 0 находим образующую 02 , интегрируя уравнение (1.59) с терминальным условием (1.60) (t , y )  y (t )  t  0 , t 0202 (t  0, y )  2 (t , y ) при y 245t  1 1,  t 1.455Получаем 2  1 (1  y )2  1 ( y  t ) 2 , t  y ,10202 (t , y )  1 (1  y ) 2  1 ( y  t ) 2 , t  y .2102Область 02 определения этой функции на рис.1.9 обозначена цифрой 02 . Прямая 10 задается уравнением y  1 15 2.Шаг 3 2 .

Составляем условную функцию цены (1.61)5802 (t , y ) , (t , y )  02 ,2 (t , y )  2 (t , y ) , (t , y )  2 ,1 (t , y ) , (t , y )   \ (   ) ,022и условную функцию управления0 , (t , y )  02 ,v2 (t , y ) , (t , y )  2 ,v (t , y )  v1(t , y ) , (t , y )   \ (   ).0222Полагая k  3 , продолжаем с шага 1.Шаг 1 3 . На области 3   находим образующую 3 (t , y ) по формуле (1.56) при k  33 (t , y ) min[ 2 (t , y  v)  ]  3  121 (1  t )2v[  y ,1 y ]и позиционное управление (1.57)v3 (t , y )  arg min [ 2 (t , y  v)   ]  5t 1  y .6[  y ,1 y ]Множество 3 находим, решая систему (1.58)3 (t , y )  2 (t , y ) ,1 5t y  6  y  t  y  t .Неравенство 3 (t , y )  2 (t , y ) имеет решение t  1  24 , т.е.

t  0 для заданного значения  1 . Таким образом, множество 3 пусто. Следовательно, процесс построения функции16цены завершен.На рис.1.9 обозначены области 0 , 1 , 01 , 2 , 02 , в каждой из которых функция цены(t  0, y ) совпадает с соответствующей образующей 0 , 1 , 01 , 2 , 02 . Оптимальноепозиционноеуправлениезадаетсяравенствами:v (t , y )  oвобластях0 , 01 , 02 ;v (t , y )  v1(t , y )  t 1  y в области 1 ; v2 (t , y )  3t 1  y в области 2 .

Задача синтеза решена.24Найдем оптимальные траектории для заданных начальных условий. В случае а) начальное состояние y (0)  0 принадлежит области 02 (рис.1.9). Поэтому оптимальная траектория будет иметь два переключения. Первое переключение происходит в момент времениt  0.2 на границе 6 области 2 . Система переходит из состояния y (0.2  0)  0 в состояниеy (0.2)  0  v2 (0.2,0) 3  0 .2  1 0.4 , которое сохраняется до момента времени t  0.6 попа4дания на границу 3 области 1 . В этот момент система совершает переключение из состоя-59ния y (0.6  0)  0.4 в состояние y (0.6)  0.4  v1 (0.6,0.4) 0 .6  1 0.8 .

Далее траектория2проходит по области 0 , в которой переключений нет. Оптимальная траектория изображенарис.1.9 пунктирными стрелками (а). Минимальное значение функционала находим по функции ценыmin I  ( 0,0)  02 (0,0)  0.45 .Аналогично строится оптимальная траектория в случае б) для начального условияy (0)  0.8 .

Так как начальное состояние лежит в области 2 , то оптимальная траекторияимеет два переключения, причем первое – в начальный момент времени t  0 из начального30 1 0.25 . Это состояние сис4состояния y (0)  0.8 в состояние y (0)  0.8  v2 (0,0.8) тема сохраняет до момента времени t  0.5 , когда попадает на границу 3 области 1 .

В этотмомент система совершает переключение из состояния y (0.5  0)  0.25 в состояниеy (0.5)  0.25  v1(0.5,0.25) 0 .5  1 0.75 . Далее траектория проходит по области 0 , в кото2рой переключений нет.1y18120.8070.649а0.401б0.250.2100023560.22210.40.60.8t1Рис.1.9Оптимальная траектория изображена на рис.1.9 штрихпунктирными стрелками (б).

Минимальное значение функционала находим по функции ценыmin I  (0,0.8)  2 (0,0.8)  0.5 .601.5. СИНТЕЗ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТНОГО ТИПАРассматривается задача синтеза САТ, которая отслеживает произвольную заданную непрерывную траекторию. Напомним, что траектории САТ являются кусочно-постояннымифункциями. Разумеется, график кусочно-постоянной функции не может в общем случае совпадать с непрерывной кривой. Поэтому ставится задача поиска кусочно-постоянной траектории, которая наилучшим образом приближает произвольную заданную непрерывную кривую.

Другими словами, речь идет о кусочно-постоянной аппроксимации заданной функции.Однако, в отличие от классической задачи аппроксимации, в которой минимизируется отклонение кусочно-постоянной функции от заданной аппроксимируемой функции, здесь учитывается также и количество скачков аппроксимирующей функции. Каждое переключениесостояния следящей САТ требует определенных затрат, которые суммируются в функционале качества.Постановка задачиПусть поведение САТ описывается соотношениямиy (t )  y (t  0)  v(t ) ,(1.68)v(t )  V ,(1.69)где y – вектор состояния системы, y  Y   m ; v – вектор управления, v  V   m ; t – время, t  T  [t0 , t1] – промежуток времени функционирования системы, t0 , t1 – заданные моменты начала и окончания процесса управления.

Качество управления оценивается функционаломt1Ilx(t )  y (t ) dt  .(1.70)Tt0Здесь x(t ) – заданная непрерывная функция, x : T   m ; l – фиксированный натуральныйпоказатель степени; T  T ( y ()) – множество точек разрыва кусочно-постоянной функцииy () ;  – положительный коэффициент затрат на переключение состояния. Требуется найти:а) оптимальное позиционное управление САТ;б) оптимальный процесс, минимизирующий функционал (1.70) при наилучшем выбореначального состояния y0 .По сравнению с общей постановкой задачи, имеем: f (t, y)  x(t )  y , g (t , y, v)  y  v ,g 0 (t , y, v)   , F ( y )  0 .

Нейтральное значение управления – нулевое ( o – нулевой элемент61пространства  m ). Управление (1.69) обеспечивает в любой момент времени t  T возможность переключения системы в любое состояние в  m . Поэтому пространство позиций САТпредставляет собой прямое произведение   T   m . Наyрис.1.10. изображен одномерный случай ( m  1 ): полосаy (t )  [t0 , t1 ]   , график заданной функции x() (сплошнаялиния) и график кусочно-постоянной функцииy ()x(t )(пунктирная ломаная). Оптимальность процесса управления понимается как минимизация отклонения искомойy0кусочно-постоянной траектории y () от заданной непрерывной кривой x() при одновременном уменьшении ко-tt0Рис.1.10t1личества разрывов искомой траектории.