Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 14

Отклонение оценивается интегральным членом функционала (1.70), вид которого определяется метрикой впространстве Ll [t0 , t1] функций, суммируемых со степенью l1 t1ll x()  y () l   x(t )  y (t ) dt  .t0Заметим, что в постановке задачи предполагается, что заданная функция x() непрерывная.Безусловно, это предположение можно ослабить, допустив кусочную непрерывность илитолько суммируемость x()  Ll [t0 , t1] .Кроме интегрального члена в функционал (1.70) входит сумма по  , которая пропорциональна (с коэффициентом  ) количеству точек разрыва искомой функции y () . Если в функционале (1.70) оставить только интегральный член, положив   0 , то решением будет служить минимизирующая последовательность, например, y j (t )  [2 j x(t )] 2 j , где [] – целаячасть числа  .

Значение функционала I ( y j ())  2  j стремится к нулю при j   . Если жештраф   0 , то оптимальная траектория имеет конечное число точек разрыва.Поставленная задача синтеза оптимального позиционного управления (п."а") обобщаетпример 1.2 и совпадает с ним в частном случае, когда x(t )  t и   0.0625 . Поиск наилучшего начального состояния y0 (п."б") является дополнительной задачей минимизации, котораярешается после задачи синтеза. Заметим, что п."б" поставленной задачи можно сформулировать следующим образом: найти наилучшую в смысле функционала (1.70) кусочнопостоянную аппроксимацию y () заданной непрерывной функции x() . Эта задача отличает62ся от классической задачи аппроксимации функции учетом количества точек разрыва у аппроксимирующей функции.Алгоритм решенияДля решения задачи применяется алгоритм синтеза оптимальной САТ (см.

разд.1.3).Учитывая, что заданная функция x() непрерывна на замкнутом промежутке T , то она ограничена. Поэтому множество Y допустимых состояний САТ можно ограничить. Например,взять прямоугольный параллелепипед в  m , содержащий график аппроксимируемой функции x() . Так как затраты на переключение положительны (   0 ), то любая оптимальнаятраектория не может иметь неограниченное количество переключений. В этом случае поискусловных функций цены k заканчивается на некотором шаге N . Можно оценить значениеN следующим образом. Для постоянной траектории y (t )  y0 функционал (1.70) равен0I t1lx(t )  y0 dt .t0Для оптимальной траектории значение функционала (1.70) не больше, чем I 0 , т.е.t1lx(t )  y (t ) dt   I0 .Tt0Следовательно, количество N точек разрыва оптимальной траектории удовлетворяет нера0венству N  I 0 .

Значит, N   I  1 . (Здесь [a ] – целая часть числа a .)Таким образом, применяя алгоритм, описанный в разд.1.3, за конечное число шагов (неболее N ), получим решение задачи (1.68)–(1.70) синтеза следящей САТ (см. п."а" постановки задачи). Синтезированное оптимальное позиционное управление позволяет получить оптимальные траектории для любых начальных состояний y0  y (t0  0) . Поэтому для нахождения оптимальной траектории (п."б") достаточно найти наилучшее начальное состояние,минимизируя функцию ценыy0  arg min (t0  0, y ) ,(1.71)yYа затем для этого состояния построить обычным образом (см.

алгоритм в разд.1.3) оптимальную траекторию.63Пример 1.3. Пусть поведение САТ описывается соотношениямиy (t )  y (t  0)  v(t ) ,v(t )  [ y (t  0), 1  y (t  0)] ,(1.72)где 0  t  1 , y (t )  [0, 1] , v(t )  [1, 1] , а функционал качества управления имеет вид1Ilx(t )  y (t ) dt  .(1.73)T0Здесь x(t ) – заданная непрерывная функция, x : [0,1]  [0,1] ; l – фиксированный натуральный показатель степени; T  T ( y ()) – множество точек разрыва кусочно-постоянной функции y () ;  – положительный коэффициент затрат на переключение состояния. Требуетсянайти:а) оптимальное позиционное управление САТ;б) оптимальный процесс, минимизирующий функционал (1.73) при наилучшем выбореначального состояния y0 .По сравнению с общей постановкой задачи, имеем: T  [0, 1] ; Y  [0, 1] ; V  [1, 1] ;V (t, y)  [ y, 1  y] ; f (t, y)  x(t )  y ; g 0 (t , y, v)   ; F ( y )  0 .

Нейтральное значение управле-ния – нулевое ( o  0 ). Управление (1.72) обеспечивает в любой момент времени t  [0,1] возможность переключения системы в любое состояние на промежутке [0,1] . Поэтому пространство позиций САТ представляет собой квадрат   [0,1]  [0,1] .Для численного решения поставленной задачи была разработана программа, реализующая алгоритм синтеза оптимального управления САТ с дополнительной операцией (1.71)поиска наилучшего начального состояния. Тестирование работы программы проводилосьмногократно на разных примерах, отличающихся заданными аппроксимируемыми функциямиx() ,коэффициентамизатратипоказателемl.Пространствопозиций  {(t , y ) | 0  t  1, 0  y  1} разбивалось с шагом t по времени и y – по состоянию.

Какпоказали расчеты, при   y  0.005 , т.е. на сетке с 4 10 4 узлами, результаты оказалисьвполне приемлемыми (не только в представленных ниже примерах). Интегрирование уравнения (1.54) проводилось методом Рунге–Кутты второго порядка [54,77], минимизация(1.56), (1.71) – перебором всех состояний y в узлах сетки.Приведем результаты численного решения поставленной задачи в следующих случаях:а) для x(t )  t ,   0,0625 ;б) для x(t )  t ,   0,0095 ;в) для x(t )  1  2t  1 ,   0,01 ;г) для x(t )  sin t ,   0,01 .64Вычисления проводились при l  1 или l  2 , что соответствует разным метрикам: в пространствах L1[0,1] или L2[0,1] .Оптимальную траекторию в первых трех примерах "а"–"в" нетрудно найти аналитически, решая ряд задач конечномерной минимизации и учитывая геометрические соображения(симметрию и т.п.).

Такой же подход можно использовать и в примере "г", но это будет гораздо труднее. Аналитическое решение задачи синтеза оптимального управления можетбыть получено только в самом простом случае "а", хотя и тогда решение довольно трудное(см. решение примера 1.2). Другие примеры синтеза оптимальных САТ аналитически не решаются.Сначала приведем результаты при l  1 , когда минимизируемый функционал имеет вид1Ix(t )  y (t ) dt  .(1.74)T0На рис.1.11 показано решение примера1для случая "а", где пунктирной линией изо-y12бражена прямая x(t )  t (аппроксимируемая00.8функция), а штрихпунктирной – оптимальная траектория (аппроксимирующая функ-0.6ция). Пространство позиций разбито на области: 0, 1, 01, 2, 02, в каждой из которых0.4функция цены (t  0, y ) совпадает с соответствующей образующей 0 , 1 , 01 , 2 ,0110.2450.202 . Внутри областей 0, 01, 02 состояние02y (t ) не меняется, а оптимальное управле-00.220.40.60.8t1Рис.1.11ние – нулевое. В областях 1, 2 (включая ихлевые границы) состояние оптимальной системы изменяется.

Это приближенное решениепрактически совпадает с точным, найденным в примере 1.2. Наилучшее начальное состояниеy0  0.245 находится в результате минимизации функции (0, y ) по переменной y . Опти-мальная траектория (0; 0.245)  (0.5; 0.75) имеет один скачок. Наименьшее значение функционала (1.74) вычисляется по функции цены I min  ( 0; 0.245)  01(0; 0.245)  0.1875 .Точное решение дает такое же значение функционала (т.е. погрешность меньше 104 ),а наилучшее начальное состояние y0  0.25 .

Отклонение составляет один шаг сетки.65Случай "б" отличается от "а"меньшим значением коэффициента за-y112трат  на переключение состояния.Поэтому у оптимальных траекторийбудет больше точек разрыва, чем в слу-30.80140.6примера для случая "б", где пунктир-025чае "а". На рис.1.12 показано решение0.4103ной линией изображена прямая x(t )  t(аппроксимируемаяфункция),а20.2304штрихпунктирной – оптимальная тра- 0540ектория (аппроксимирующая функция).050.20.40.61 t0.8Рис.1.12Пространство позиций разбито на области: 0, 1, 01, 2, 02, …, 5, 05, в каждой из которых функция цены (t  0, y ) совпадает с соответствующей образующей 0 , 1 , 01 , 2 , 02 ,…, 5 , 05 .

Внутри областей 0, 01, 02, …,05 состояние y (t ) не меняется, а оптимальное управление – нулевое. В областях 1, 2, …, 5(включая их левые границы) состояние оптимальной системы изменяется. Наилучшее начальное состояние y0  0,09 находится в результате минимизации функции (0, y ) по переменной y . Оптимальная траектория (0; 0.09)  (0.19; 0.28)  (0.385; 0.48)  (0.585;0.68)  (0.79; 0.895) имеет четыре скачка. Наименьшее значение функционала (1.74) вычисляется по функции ценыI min  ( 0; 0,09)  04 (0; 0,09)  0,088 075 .Точное аналитическое решение дает значение I min  0,088 . Следовательно, относительная погрешность менее 0,1 %.y1450.8Для случая "в" решение показано на05симируемая функция), а штрихпунктир-симирующая функция).

Наилучшее начальное условие y0  0,12 . Оптимальная0.2134(аппрок- 0.4ной – оптимальная траектория (аппрок-02040.6рис.1.13, где пунктирной линией изображена ломаная x(t )  1  2t  1267303301350632060020.20.40.6Рис.1.136610.81 tтраектория (0; 0.12)  (0.13; 0.39)  (0.26; 0.66)  (0.375; 0.87)  (0.63; 0.62) (0.755; 0.375)  (0.88; 0.12) имеет 6 скачков. Наименьшее значение функционалаI min  ( 0; 0,12)  06 (0; 0,12)  0.1233.Точное аналитическое решение дает значение I min  0,1225 . Следовательно, относительнаяпогрешность – менее 0,7 %.Заметим, что подынтегральная функция f (t , y )  x(t )  y в каждом из примеров "а"–"в"либо линейная, либо кусочно-линейная при фиксированном y. Поэтому интегрирование методом Рунге–Кутты (второго порядка) дает точный результат.