Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 7

Требуется найти минимальное значение функционала (1.5) на множестве D1N (t0 , y0 ) и оптимальный допустимыйпроцесс d 1N с не более чем N переключениями, на котором это значение достигаетсяI (d 1N ) mind D1N (t0 , y0 )I (d ) .(1.15)Эта задача отличается от (1.6) дополнительным ограничением на количество переключений.В силу включения D1N (t0 , y0 )  D1(t0 , y0 ) решения d 1 и d 1N задач (1.6) и (1.15) удовлетворяют неравенству I (d 1)  I (d 1N ) .Отметим еще одно важное обстоятельство. Допустимые процессы с не более чем N переключениями являются, очевидно, допустимыми процессами с не более чем N  1 переключениями. Поэтому справедливы включенияD10 (t0 , y0 )  D11(t0 , y0 )  D12 (t0 , y0 ) ,из которых следуют неравенстваI (d01 )  I (d11)  I (d12 )   ,(1.16)т.е.

последовательность (1.16) решений задач (1.15) не возрастает с ростом допустимого числа N переключений. При условии (1.8) количество переключений у любого оптимальногопроцесса ограничено, поэтому последовательность (1.16) ограничена снизу. Следовательно,справедливо равенствоI (d 1)  min I (d 1N ) ,N  где    {0,1,2, } – множество неотрицательных целых чисел. Таким образом, для решениязадачи (1.6) можно использовать последовательность (1.16) решений задач (1.15). Именнотакой подход будет использован в достаточных условиях оптимальности.В классической задаче оптимального управления дискретной системой [13,60,80] множество тактовых моментов времени задано T 1  {1,...,  N } , причем в каждый тактовый момент времени система совершает одно переключение.

Как правило, дискретное время выби25рается целочисленным, т.е. T 1  {1,..., N } . Ясно, что классическая дискретная система является частным случаем САТ, в которой фиксированы количество переключений и сами тактовые моменты времени. Использовать методы решения классических задач оптимальногоуправления дискретными системами для синтеза оптимальных САТ нельзя, поскольку фиксация тактовых моментов времени сразу же сужает класс допустимых процессов, что, в своюочередь, приводит к субоптимальности САТ. Разумеется, такие методы применимы для приближенного, обычно численного, решения задачи.1.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИКак правило, формулировка и доказательство достаточных условий оптимальностиуправления динамическими системами связаны с функцией цены (функцией Гамильтона –Якоби – Беллмана, функцией Кротова [60], функцией Айзекса [2,86]).

В рассматриваемой задаче управления САТ эта функция строится при помощи последовательности вспомогательных функций. Прежде чем формулировать условия оптимальности, поясним смысл этихвспомогательных функций и их связь с функцией цены.Условная функция ценыПару (t , y ) – время t и состояние y , t  T , y  Y , будем называть позицией САТ, а множество   T  Y – пространством позиций САТ. Функция цены (t , y ) для САТ определяется следующим образом. Предельное значение (  0, y ) функции цены равно минимальному значению функционала (1.14) на множестве D1 (, y ) . Другими словами, предел(  0, y ) равен значению функционала I  оставшихся потерь, вычисленному на оптималь-ной траектории, исходящей из позиции (, y ) , т.е.

при начальном условии y (  0)  y . Длязадачи со свободным правым концом траектории функция цены определена на всем пространстве  позиций системы. При терминальных ограничениях (1.11) область определения включает только допустимые исходные позиции (, y ) , для которых существует допус-тимый процесс, удовлетворяющий терминальным условиям.Обозначим через 0 множество исходных позиций (, y )   , для каждой из которыхсуществует допустимый процесс d 0  ( y (), v())  D0 (, y ) без переключений. Траекторияэтого процесса постоянна y (t )  y , а управление нейтральное v(t )  o ,   t  t1 . Например,для задачи со свободным правым концом траектории имеем 0   , так как все постоянные26траектории допустимы.

Если в задаче с терминальным ограничением (1.11) допустимо конечное состояние y1 – решение уравнения ( y1 )  0 , то множество 0 содержит позицииT  { y1} .Обозначим через k , k  1,2,... , множество исходных позиций (, y )   , для каждой изкоторых существует допустимый процесс d k  ( y (), v())  D1k (, y ) с не более чем k переключениями. Траектория этого процесса до первой точки разрыва  постоянна y (t )  y иуправление нейтральное v(t )  o ,   t   , а в момент времени  происходит изменение состояния системы, и она оказывается в позиции (, y ()) , принадлежащей множеству k 1 .В случае    система сразу же в момент  изменяет свое состояние, совершая переключение из состояния y  y (  0) в состояние y () , причем (, y ())  k 1 .

Заметим, что множество k вместе с позицией (, y ) содержит и все предшествующие позиции (t , y ) ,t0  t   .Позиции из множества k , k     {0,1,2,} , будем называть допустимыми исходнымипозициями для процессов с не более чем k переключениями. Переключение из позиции(t , y )  k 1 в позицию (t , z )  k происходит согласно уравнению (1.1)z  g (t , y, v) .Множество допустимых управлений, позволяющих выполнить такое переключение обозначим черезV k 1(t , y )  {v  V (t , y ) | (t , g (t , y, v))  k } .(1.17)Полагаем, что V 0 (t , y )  {o} , поскольку у процессов без переключений только нейтральноеуправление допустимо.Допустимые процессы с не более чем k переключениями являются, очевидно, допустимыми процессами с не более чем k  1 переключениями, поэтому справедливы включенияD10 (, y )  D11 (, y )  D12 (, y ) ,(1.18)0  1  2  (1.19)В задаче со свободным правым концом траектории включения (1.19) превращаются в равенства   0  1  2   , а множество (1.17) при всех k   совпадает с V (t , y ) .27Обозначим черезk ,k   , скалярную функциюk : k   , левый пределk (  0, y ) которой равен минимальному значению функционала (1.14) на множествеD1k (, y ) допустимых процессов с не более чем k переключениямиk (  0, y ) mind D1k (, y )I  (d ) .(1.20)Множество D10 (, y ) содержит один процесс d 0 с постоянной траекторией и нейтральнымуправлением.

Поэтому минимизация в (1.20) при k  0 фактически отсутствует, а функция0 (, y ) равна значению функционала (1.14) на этом процессеt10 (  0, y ) f0(t , y ) dt  F ( y ) .Функцию k , k   , будем называть условной функцией цены, поскольку она определяетсякак минимальное значение функционала оставшихся потерь на оптимальном процессе с неболее чем k переключениями. Из вложений (1.18) следуют неравенства0 (  0, y )  1 (  0, y )  2 (  0, y )   ,т.е. значения условных функций цены образуют невозрастающую последовательность. Заметим, что функция цены (t , y ) связана с условными функциями цены k равенством(t  0, y )  min k (t  0, y ) .k Достаточные условия оптимальности процесса управленияДостаточные условия оптимальности строятся на основе принципа расширения [39,60],который заключается в замене исходной экстремальной задачи другой задачей, в каком-тосмысле более простой, решающей одновременно и исходную задачу.

Будем использоватьследующий частный случай принципа расширения.Лемма 1.1 Пусть имеются элемент d   D , функционал I : D   , множество E ,число l и функционал L : E   , такие, что:а) D  E ,б) I (d )  L(d )в) L(d )  lпри всех d  D ,при всех d  E ,г) L(d  )  l .28Тогда элемент d  минимизирует I на DI (d  )  l  min I (d ) .dDД е й с т в и т е л ь н о, из условий а) – г) следует цепочка соотношенийI (d  )  L(d  )  l  min L(d )  min L(d )  min I (d ) ,d Ed Dd Dчто и требовалось доказать.Для доказательства достаточных условий оптимальности потребуется следующее вспомогательное утверждение.Лемма 1.2 Если функция q (v) непрерывна на компактном множестве V , а функцияp (t , v) непрерывна по совокупности аргументов при всех t  0 и всех v V , тоtmin{q (v)  p (, v) d}  min q (v)  t min p (0, v)  t (t ) ,vVvV vV0где (t ) – некоторая бесконечно малая, (t )  0 при t  0 .

Здесь V   Arg min q(v) –vVмножество точек глобального минимума функции q (v) .Д е й с т в и т е л ь н о, рассмотрим функциюt (t , v)  q (v)  p (, v) d .0Она непрерывна и имеет непрерывную частную производную  t (t , v)  p (t , v) .