Диссертация (Достаточные условия оптимальности управления дискретными системами автоматного типа), страница 4

 i  ...   N  T .Определяя решение такого дифференциального уравнения, многократные импульсные воздействия в один и тот же момент времени заменяются одним "суммарным" импульсом, интенсивность которого равна сумме воздействий всех импульсов. Совсем по-другому определяются траектории САТ в случае мгновенных многократных переключений в один и тот жемомент времени. Отличия в определениях решения, видимо, связаны с тем, что используемые математические модели соответствуют объектам разной природы.

Поясним это важноеобстоятельство. Импульсные и дискретно-непрерывные системы часто применяются дляописания динамики механических систем с ударами. С точки зрения механики, два равныхпо интенсивности и противоположных по направлению импульсных воздействия на объектуправления (например, два противоположных удара по твердому телу), произведенные последовательно практически в один и тот же момент времени (с бесконечно малой задержкой), полностью компенсируют друг друга. Механическая система "не заметит" такого двойного воздействия, поскольку ее траектория не изменится по сравнению с траекторией безэтих ударов.

Этому примеру в САТ соответствует процесс с двойным переключением: скачок из некоторого состояния в новое и обратно. Однако САТ применяется для описания информационных процессов, происходящих в контуре управления. С информационной точки13зрения, траектория с таким мгновенным двойным переключением состояния существенноотличается от траектории без переключений, так как было изменение сигнала. Например,включение и выключение сигнализации на охраняемом объекте вызывает определенную реакцию охраны, отличную от штатного режима работы, когда сигнализация не включалась.Другими словами, скачок САТ из данного состояния в другое состояние и обратно нельзязаменить сохранением данного состояния, как это происходит в механических системах.

Поэтому, в отличие от импульсных и дискретно-непрерывных систем, в САТ исследуются траектории с мгновенными многократными переключениями. Для процессов с однократнымипереключениями в [71] получены необходимые условия оптимальности, которые можно использовать и для САТ. Синтез оптимального позиционного управления и достаточные условия в [71] не рассматриваются.Задача синтеза оптимальных процессов с однократными или мгновенными многократными переключениями при фиксированном заранее заданном количестве переключений может быть сведена к классической задаче оптимального управления дискретной системой [60].Для этого, как указал проф.

М.М. Хрусталев, длительность паузы между тактовыми моментами времени нужно считать дополнительным управлением. К полученной при этом задачеприменимы условия оптимальности Кротова [60]. Оказалось, что условия оптимальности,доказанные в диссертации, менее общие, чем условия Кротова. А именно, если существуетконечная последовательность условных функций цены, указанная в теоремах 1.3, 2.3 диссертации, то будет существовать и функция Кротова [60]. Использовать условия Кротова дляоптимизации количества переключений нецелесообразно, так как они для этого и не предназначены. Интересно, что при сведении задачи синтеза САТ (с фиксированным числом переключений) к задаче оптимального управления дискретной системой отличия между процессами с однократными или мгновенными многократными переключениями полностью исчезают.Ряд задач управления космическими аппаратами требует для адекватного описаниясложной мультизадачной схемы его функционирования использовать ЛДС, включающие рекуррентные уравнения или включения, моделирующие работу управляющего комплекса.

Вчастности, в ЛДС учитываются затраты на релейные переключения управления, что необходимо с практической точки зрения [27,75]. Без учета этих затрат во многих задачах оптимального управления космическими аппаратами появляются минимизирующие последовательности [36,37], приводящие к бесконечному (счетному) множеству переключений релейного управления (например, включений реактивного двигателя), что на практике нереализуемо. Поэтому задачи с оптимальными релейными законами управления (в том числе иклассическую задачу быстродействия) необходимо рассматривать в классе логико14динамических систем, "штрафуя" переключения.

При этом процессы, имеющие бесконечноечисло переключений, отбрасываются как неоптимальные, а получаемые решения будут более практичными. Кроме того, в прикладных задачах нередко возникают ограничения на количество переключений. Например, для перевода спутника с низкой круговой орбиты на высокую (геостационарную) используется разгонный блок "Бриз-М". Допустимое количествозапусков маршевого двигателя разгонного блока – не более 10. Поэтому если состояние двигателя (включен/выключен) описывается дискретной системой, то общее количество переключений системы будет, естественно, ограничено. Такие ограничения можно учесть присинтезе САТ [22].Исследования САТ в диссертации построены по следующей схеме.

Решение задач синтеза САТ проводилось на основе достаточных условий оптимальности. Для получения достаточных условий оптимальности управления САТ использовался подход, развитый в работах Кротова В.Ф., Гурмана В.И. (например, [39,60]). Сначала сформулированы и доказаныдостаточные условия оптимальности для процесса управления (траектории и программногоуправления), при этом применялся принцип расширения (принцип оптимальности Кротова В.Ф.).

Условия оптимальности процесса управления использовались для доказательствадостаточных условий оптимальности позиционного управления, т.е. управления с обратнойсвязью. На основе этих условий выведены уравнения для нахождения оптимального позиционного управления. Для решения уравнений разработан алгоритм синтеза оптимальной САТ.Составлена программа, численно реализующая разработанный алгоритм.Построение достаточных условий на основе принципа расширения применялось дляразных систем [10,14,15,17,20,21,24,25,38,39,60,66,81,95,96]. Условия на оптимальное управление формулируются с использованием функции цены или ее обобщения – функции Кротова.

В диссертации принцип расширения применяется для семейства (последовательности)вспомогательных функций, называемых условными функциями цены. Если значение функции цены определяется величиной функционала, вычисленного на оптимальном процессе, тозначение условной функции цены определяется величиной функционала, вычисленного наоптимальном процессе, имеющем не более заданного количества переключений. Конечно,имеются варианты достаточных условий [39], в формулировках которых вместо одной функции цены присутствует последовательность функций. Но эти функции, как правило, являются последовательными приближениями функции цены и сходятся к ней.

Условные функциицены связаны с функцией цены по-другому. Вместо предельного перехода применяется операция минимизации, а именно, функция цены строится как нижняя огибающая семейства условных функций цены. Построение функции цены по образующим ранее использовалось в15алгоритмах синтеза [17,20]. В [23] и диссертации такая конструкция впервые применяется нев алгоритме, а в формулировке условий оптимальности.Подчеркнем, что введение условных функций цены вполне оправдано, поскольку доказано их существование.

Это следует из обоснования компактности класса процессов, имеющих не более заданного количества переключений. Существование самой функции ценыобеспечивается вполне естественным условием (В.5) положительности штрафа за переключение (при ограниченности снизу интегрального и терминального членов функционала(В.4)). Из существования условных функций цены следует существование оптимальных условных позиционных управлений, т.е. существование решения задачи синтеза оптимальныхСАТ.Изучение режимов с мгновенными многократными переключениями связано с определением понятия соответствующей траектории дискретной САТ.

Вводя новое определениепонятия многозначного разрыва кусочно-постоянной функции, удается определить предельный переход, приводящий к мгновенным многократным переключениям. Относительно этого перехода оказываются замкнутыми классы допустимых процессов с ограниченным количеством переключений. Достаточные условия оптимальности предлагается строить именно вданных классах, находя при этом вспомогательные функции – условные функции цены, а"настоящая" функция цены (аналог функции Беллмана) составляется как нижняя огибающаяэтих вспомогательных функций.

Такие достаточные условия представляются более конструктивными, чем достаточные условия оптимальности ЛДС. Разработка методов приближенного решения задачи оптимального управления САТ, использующая новые достаточныеусловия, оказалась вполне перспективной.