Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 8

В этом случае имеется бездефектнаясреда с непрерывным полем перемещений. Среды, в которых имеетсянепрерывный векторный потенциал (вектор перемещений) для тензорадисторсии, назовем бездефектными средами Папковича.В бездефектных средах Папковича вектор перемещений непрерывен, а тензордисторсии d ij1 является общим решением однородного уравнения (2.30), чтосоответствует отсутствию дефектов типа дислокаций. В общем случаебездефектная среда Папковича является средой Коши, в которой имеетсянепрерывный вектор перемещений. Очевидно, чтоd ij1 =∂ ∂D 0∂ 2 D 0 ∂Di1++ Di1 ) =(∂x j ∂xi∂x j ∂xi ∂x jТакже как и среда Коши, среда Папковича может еще содержать скалярныедефекты, т.к. непрерывный вектор перемещений содержит и интегрируемуюв смысле (2.24) часть D 0 , и непрерывную, но неинтегрируемую в смысле(2.24) часть Di1 .Модель дефектной среды Папковича-Коссера.Рассмотрим дефектную среду Папковича-Коссера. Если дисторсия Dij неимеет непрерывного векторного потенциала, условия интегрируемостиперемещений не выполняются:46∂DinЭnmj = Ξ ij ≠ 0∂xm(2.31)Будем говорить, что в этом случае соотношения Папковича являютсянеоднородными.Непрерывным тензором "несовместности перемещений" является тензордислокаций Ξij[10],[11].

Им определяется неоднородность соотношенийПапковича. Если Ξ ij = 0 - дисторсия интегрируема и вектор перемещений какпотенциал дисторсии непрерывен. Если Ξ ij ≠ 0 - дисторсия не интегрируема,вектор перемещений как потенциал дисторсии разрывен.Решение Dij уравнений существования дислокаций (2.31) можнопредставить в виде суммы общего решения d in1 =1∂ 2 D 0 ∂Diоднородных и+∂x n ∂x i ∂x nчастного решения Dij2 неоднородных уравнений Папковича:Dij =∂Ri∂ 2 D 0 ∂Di1+ Dij2 =++ Dij2∂x j∂x j ∂xi ∂x j(2.32)Среду с тензором дисторсии Dij , при Dij2 ≠ 0 , удовлетворяющему равенству(2.32), назвем дефектной средой Папковича-Коссера.

Подчеркнем, что вбездефектной среде Папковича тензор дисторсии является интегрируемым(он удовлетворяет условиям интегрируемости (2.30)), а непрерывный векторперемещений может быть определен из несимметричных соотношений Кошипутем интегрирования в квадратурах (формулы Чезаро).Напротив, для дефектной среды Папковича-Коссера тензор дисторсии Dij вобщем случае может быть представлен как сумма интегрируемой части( d in1 =1∂ 2 D 0 ∂Di)+∂x n ∂x i ∂x nинеинтегрируемойчасти( Dij2 ≠ 0 ):Dij = (интегрируемая часть) + (неинтегрируемая часть) .

Отметим, что имеет местоаналогия между соотношениями (2.26) и (2.31), а также между уравнениями(2.27) и (2.32).Наэтоманалогиязаканчивается. Если в средах Коши47вектор перемещений Di является непрерывным, то в средах Папковича вобщем случае формальный вектор перемещений Di содержит разрывнуючасть (дислокации) Di2 :Di = Ri + Di2Вектор дислокаций Di2 , как составляющая полного дефектного вектораперемещений Di определен как частное решение неоднородных уравненийсуществования дислокаций (2.31),(2.32):Di =2Mx∫MDij2 dx j(2.33)0Таким образом, дефектный вектор обобщенных перемещений Di имеет болееразнообразную структуру, чем в средах Коши.Di =∂D 0+ Di1 + Di2∂xi(2.34)Сравним (2.34) с (2.27).

Наряду с интегрируемой∂D 0и неинтегрируемой (но∂xiнепрерывной) составляющей Di1 он имеет и разрывную Di2 составляющую(дислокации).Построим теперь формальный обобщенный потенциал D дефектного вектораперемещений Di . В качестве слагаемого в нем появляется дополнительныйдефект, связанный с третьим слагаемым Di2 в представлении обобщенноговектора перемещений Di :D = D 0 + D1 + D 2D =2(2.35)Mx∫MDi2 dxi(2.36)0Дадимопределениерангамоделисреды.Рангомсредыназовеммаксимальный ранг непрерывной кинематической переменной (обобщеннаякоординатакинематическогосостояниясреды),содержащейнеинтегрируемую составляющую.Пример.

Для сред Коши тензор дисторсии не имеет неинтегрируемой48части и полностью определен через векторный потенциал - векторперемещений. Вектор перемещений в средах Коши имеет неинтегрируемуюсоставляющую - Di1 . Поэтому мы можем называть среды Коши средами срангом кинематических переменных не выше первого. Или просто - средамипервого ранга.Соответственно, среды Папковича-Коссера можно называть средами второгоранга,таккаквэтихсредахтензордисторсииужесодержитнеинтегрируемую часть Dij2 .Сформулируем результаты кинематического анализа для дефектных средПапковича-Коссера и дадим некоторые формальные определения.Для сред Папковича-Коссера установлено, что обобщенными координатамикинематического состояния среды, которые можно использовать какаргументы вариационного уравнения при построении соответствующейфизической модели, являются следующие непрерывные тензорные объекты:- непрерывная составляющая дефектного скалярного поля D - непрерывныйпотенциал D 0 ;-непрерывнаясоставляющаядефектного"классический" вектор перемещений Ri =- непрерывный тензор дисторсии Dij =векторногополяDi-∂D 0+ Di1 ;∂xi∂ 2 D 0 ∂Di1+ Dij2 .+∂x j ∂xi ∂x jРанг среды Папковича-Коссера равен двум, т.к тензор дисторсии DijсодержитнеинтегрируемуюкинематическихпеременныхчастьDij2 .позволяютСвойстваввестисоставляющихпонятиясортности.Скалярные, векторные и тензорные объекты с одним и тем же верхниминдексом отнесем к объектам одного сорта.

Например, кинематическиепеременные с верхним индексом "2" соответствуют частным решениям(интегралам) от псевдотензора-источника Ξ ij (дислокаций). Если источникдислокацийвсредеПапковича- Коссера49отсутствует,тосредаПапковича-Коссера вырождается в среду Коши. В свою очередь, среда Кошис псевдотензором-источником скалярных дефектов ω k вырождается видеальную, абсолютно бездефектную среду, если положить ω k = 0 . Дляпояснения этого понятия приведем следующую таблицу (Таблица 2.),кинематических объектов для сред Папковича-Коссера, построенную всоответствии с определениями (2.32)-(2.36).Таблица_2Ранг\Сорт Сорт 0 Сорт 1 Сорт 2DD0D1D2DiD,i0Di1Di2DijD,ij0Di1, jDij2Если источник дислокаций в среде Папковича-Коссера отсутствует, всесоставляющие в колонке "сорт 2" равны нулю.

Тогда первые две строки втаблице полностью определяют кинематику среды Коши (см. табл.1). Длябездефектной среды Коши ω k = 0 . В этом случае в колонке "Сорт 1" следуетпринять D 1 = 0 , Di1 = 0 и Di1, j = 0 в соответствии с введенными ранееопределениями.

Таким образом, составляющие кинематических переменныхразных рангов, находящиеся в одной и той же колонке таблицы, имеютобщее свойство - сорт: они равны нулю или отличны от нуля одновременно сравенством/неравенством нулю соответствующего псевдотензора-источникадефектов.ДлядефектнойпеременныхсредыПапковича-Коссеракинематическогосостояниявкачествесредыможетобобщенныхбытьвзятнепрерывный скалярный потенциал D 0 , непрерывное неинтегрируемое полеперемещений Di1 и непрерывная (но неинтегрируемая) часть дисторсии Dij2 .Таким образом, дефектнаясреда Папковича-Коссера50являетсямоделью среды с тринадцатью степенями свободы. Как и в случаеклассическойтеорииупругости,когдаинтегрируемая∂D 0∂xiинеинтегрируемая Di1 части вектора перемещений не наделяются разнымифизическими свойствами, в качестве обобщенных переменных могут бытьвыбраны компоненты непрерывной части вектора перемещений Ri , всоответствии с (2.27), и компоненты свободной дисторсии Dij2 .

Модель такойсреды будет определяться уже двенадцатью степенями свободы, исоответственно, уравнений равновесия тоже должно быть двенадцать2.3.3. Новая классификация дислокаций на основе введения типовДаже на этом этапе исследования дефектных сред классификация дефектовпредставляется достаточно разнообразной и не вписывается в "плоскую"таблицу. Действительно, определим вектор Бюргерса в соответствии с (2.33).Выберем траекторию интегрирования по замкнутому контуру, совместивконечную точку траектории интегрирования M x с начальной точкой M 0 .Тогда, по определению, вектор Бюргерса является скачком перемещений приобходе выбранного контура:bi =Mx∫Dij2 dx j =M0∫Dij2 dx j =∫Dij2 s j ds(2.37)здесь s j - единичный вектор касательной к контуру интегрирования.Проекция вектора Ri2 в любой точке траектории интегрирования нанаправление касательной к контуру s j трактуется как дислокация отрыва, адве проекцииRi2в ортогональных направлениях - как дислокациискольжения.Традиционное разложение дислокаций [10]:51∫ D δ s ds = ∫ D (s s + v v + n n )s ds == ∫ D s s s ds + ∫ D v v s ds + ∫ D n n s ds == ∫ ( D s s ) s ds + ∫ ( D v s )v ds + ∫ ( D n s )n dsbi =∫Dij2 s j ds =2kj i k2kj k2kjj2kj i kjj2kj ik2kj i kj2kj kii kji kjj2kj kii kjiвключает два типа дислокаций скольжения:один - дислокаций отрыва:∫∫( Dkj2 vk s j )vi ds ,∫( Dkj2 nk s j )ni ds и( Dkj2 sk s j ) si ds .Дадим иное определение типов дислокаций.

Разложим тензор дисторсии:13Dij = ε ij + ω ij = γ ij + θδ ij + ω ij(2.38)Здесь симметричная часть тензора дисторсии ε ij = ε ji является тензоромдеформацийε ij =11Dij + D ji ,22тензор-девиатор γ ij (деформации изменения формы), шаровой тензор θδ ij итензор поворотов имеют соответсвенно вид:γ ij =111Dij + D ji − Dkk δ ij ,232θ = Dij δ ij = Dkk ( θ - изменение объема),ω ij =11Dij − D ji22Тензор поворотов ωij = −ω ji в (2.38) можно представить через псевдовекторповоротов ω k :1212ω k = − ω ij Эijk = − Dij ЭijkПроведем симметрирование тензора дисторсии (2.38). Неинтегрируемаячасть тензора дисторсии Dij2 симметрируется также.

Подставляя разложениеDij2 в (2.37), определим три новых типа дислокаций:∫γ ij2 dx j - γ -дислокации,∫ω ij2 dx j - ω -дислокации,∫θ 2 dxi - θ -дислокации.52В записанных выражениях верхний индекс "2" не показатель степени, аиндекс сортности.Показано [12], [13] что физическая модель сред с сохраняющимисядислокациями позволяет записать выражение медленно меняющейся частипотенциальной энергии дислокаций в виде канонической квадратичнойформы от γ ij2 , ω ij2 и θ 2 . В силу каноничности потенциальные энергиивыделенных типов дислокаций не имеют перекрестных членов. Поэтому онимогут существовать (в отличие от дислокаций скольжения и отрыва)независимо друг от друга.Еще одним аргументом в пользу выбора новой классификациидислокаций является существование для каждого нового типа дислокацийсвоего псевдотензора-источника. Действительно, опираясь на решение (2.32),разложение (2.38) и используя определение псевдотензора-источникадислокаций (2.31), получим:Ξ ij ==∂Din1∂(γ in2 + θ 2δ in + ω in2 )Эnmj =Эnmj =3∂xm∂xm∂γ in2∂ω 21 ∂θ 2Эnmj +δ in Эnmj + in Эnmj =3 ∂xm∂xm∂xm= Ξ γij + Ξθij + Ξ ωijТаким образом, установлены псевдотензоры-источники для всех типовдислокаций новой классификации:Ξ γij является источником γ -дислокаций,Ξ θij является источником θ -дислокаций,Ξ ωij является источником ω -дислокаций.Источники дислокаций определяются следующими равенствами:∂γ in2Ξ ij =Эnmj ,∂xmγ1 ∂θ 2δ in Эnmj ,Ξ ij =3 ∂xmθ∂ωin2Ξ ij =Эnmj .∂xmωНетрудно убедиться в том, что каждый тип псевдотензоров-источников вотдельности удовлетворяет закону сохранения:53∂Ξγij∂x j=∂ 2γ in2Эnmj ≡ 0,∂x j ∂xm∂Ξθij∂x j=1 ∂ 2θ 2δ in Эnmj ≡ 0,3 ∂x j ∂xm∂Ξωij=∂x j∂ 2ωin2Эnmj ≡ 0∂x j ∂xmИмеет место дифференциальный закон сохранения для псевдотензорадислокаций∂Ξ ij∂x j= 0,и закон сохранения в интегральной форме∂Ξ ij∫∫∫∂x jdV = ∫∫ Ξ ij n j dF = 0 .Следовательно, в рамках моделей сред Папковича-Коссера нельзя описатьгенерацию и исчезновение дислокаций.