Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 6

С этой целью воспользуемся процедурой интегрированияпо частям и учтем равенства (2.3) и (2.6). В результате, придем к новомувыражению для вектора перемещения, в котором криволинейный интегралзаписывается только через компоненты тензора-девиатора деформации γ ij и,следовательно, описывает перемещения, вызванные лишь деформациямиизменения формы. Этот интеграл обозначен через ri :11Ri = Ri0 + ωα0 ( xβ − xβ0 )Эαβi + θ 0 ( xi − xi0 ) + θ j0 Pij ( x 0 ) + ri3332(2.9)ri =Mx∫Mo∂ 2γ jk∂ 2γ jm ∂ 2γ km 1 ∂ 2γ µm∂γ km1{γ ik + ( yl − xl )++−δ jk ]}dy kЭαnm Эαil + Pij ( y )[−∂y n2∂y m∂y m ∂y k ∂y m ∂y j ∂y m 3 ∂y µ ∂y m(2.10)Здесь Pij (a) = ( xi − ai )( x j − a j ) − 1 δ ij ( xk − ak )( xk − ak ) .2Таким образом, с точностью до полинома второго порядка, векторперемещений определяется деформациями изменения формы.

Нетрудноубедиться, что компоненты тензора дисторсии с точностью до линейныхполиномов также определяются лишь деформациями изменения формы:θ = θ 0 + θ i0 ( xi − xi0 ) +∂rk,∂xk13ω i = ω i0 + θα0 ( xβ − xβ0 )Эαβi −γ ij =1 ∂rαЭαβi2 ∂xβ1 ∂ri 1 ∂rj 1 ∂rk−δ ij+2 ∂x j 2 ∂xi 3 ∂xkЗаписанные кинематические равенства в дальнейшем будут являться базойдля построения уточненных моделей сред.Построена система кинематических связей как последовательная системаусловий существования вектора перемещений, вектора поворотов и вектораградиентов объемной деформации.Получены новые выражения для вектора перемещения, в которомкриволинейный интеграл записывается только через компоненты тензорадевиатора деформации.

Эти формулы являются обобщением формул Чезаро.Получены новые соотношения совместности третьего порядка (2.8),записанные через компоненты тензора девиатора деформаций.Ниже предлагается классификация кинематических состояний, котораяможет являться и классификацией кинематических моделей бездефектныхсред.332.2.Классификация кинематических состояний по гладкости.Докажем теорему [14]:«Вектор перемещений может быть представлен в форме разложения напотенциальную и вихревую составляющие».Доказательство.Рассмотрим систему условий интегрируемости (2.3), (2.6) и (2.8) как системунеоднородныхдифференциальныхуравненийотносительнотензора-девиатора γ ij с правыми частями, зависящими от ω k и θ . ∂γ βj∂ω 1 ∂θЭαβi = i +Эαijxxx∂∂3∂ααj ∂211 ∂ 2θ( γ αβ δ ij + γ mµ Эαmi Эβµj ) =3 ∂xi ∂x j ∂xα ∂xβ 2∂31( γ αβ δ ip + γ mµ Эαmi Эβµp )Э pqj = 0 ∂xα ∂xβ ∂xq 2(2.11)Решение системы (2.11) можно записать в виде:γ ij = γ ij0 + γ ijω + γ ijθ(2.12)где γ ij0 - общее решение однородной системы (2.11): ∂γ β0jЭαβi = 0 ∂xα ∂ 21( γ αβ0 δ ij + γ m0 µ Эαmi Э βµj ) = 0 ∂xα ∂x β 2∂31( γ αβ0 δ ip + γ m0 µ Эαm i Э βµp )Э pqj = 0 ∂xα ∂x β ∂x q 2(2.13)γ ijω - частное решение неоднородной системы (2.11) при θ = 0 :34 ∂γ βωj∂ω iЭαβi =∂x j ∂xα2 ∂1 ωδ ij + γ mωµ Эαmi Э βµj ) = 0( γ αβ ∂xα ∂x β 21 ω∂3δ ip + γ mωµ Эαm i Э βµp )Э pqj = 0( γ αβxxx2∂∂∂ α β q(2.14)γ ijθ - частное решение неоднородной системы (2.11) при ω k = 0 : ∂γ βθj1 ∂θЭαijЭαβi =3 ∂xα ∂xα ∂ 21 ∂ 2θ1 θθ+=)(ЭЭδγγmµ αmiβµjαβ ij3 ∂xi ∂x j ∂xα ∂x β 23∂1 θ( γ αβδ ip + γ mθ µ Эαm i Эβµp )Э pqj = 0 ∂xα ∂x β ∂xq 2(2.15)Подставляя найденное решение (2.12) в (2.10) и (2.9), и разделяякриволинейныйинтегралнасуммутрехинтегралов,содержащихсоответственно только γ ij0 , γ ijθ и γ ijω , получим:1Ri = θ j0 Pij ( x 0 ) + Gi + Yi + J i3(2.16)где: Gi - гармоническая часть вектора перемещений,Gi = Ri0 +Mx∫γ ij0 dy j(2.17)MoYi - потенциальная часть вектора перемещений,θMx∂γ km1 00θYi = θ ( xi − xi ) + ∫ [γ ik + ( y l − xl )Эαnm Эαil +∂y n3Moθ∂ γ jk∂ γ jm∂ 2γ km11 ∂ γ µm+ Pij ( y )(−++−δ jk )]dy k∂y m ∂y m ∂y k ∂y m ∂y j ∂y m 3 ∂y µ ∂y m22θ2θ2θ(2.18)J i - вихревая часть вектора перемещений,J i = ω α0 ( x β − x β0 )Эαβi +Mx∫[γ ijω + ( y l − xl )Mo∂γ ωjmЭαnm Эαil ]dy j∂y nНепосредственно из (2.17) вытекают следующие свойства Gi :∂Gi= 0,∂xi∂Gi ∂G j=0−∂x j∂xi∆Gi = 0 ;35(2.19)Непосредственно из (2.18) вытекают следующие свойства Yi :∂Yi ∂Y j=0−∂x j ∂xi∆Yi =,2 ∂θ3 ∂xiНепосредственно из (2.19) вытекают следующие свойства J i :∂J i= 0,∂xi∆J i = 2∂ω nЭnmi∂xmИзложенные результаты исследования и классификацию кинематическихсостояний можно свести в таблицу:RiωiθGiYiJiθiRi+++++++ωi-+---++θ--+-+-+γ ij---+++-Поле перемещений для исследуемой среды, вообще говоря, находится какрешение начально-краевой задачи уравнений движения среды.

Поэтомурешением уравнений движения и определяется конкретный вид функций Gi ,Yi и J i . Однако, некоторые предварительные соображения о характерефункций Gi , Yi и J i , об их изменяемости можно сделать на основаниианализа кинематики.Заметим,чтокинематическоесостояниеGi(2.17)являетсяодновременно и потенциальным и вихревым. Можно предположить, чтокинематическое состояниеGiпредставляет собой «точку ветвления»кинематических состояний на Yi (потенциальные кинематические состояния)иJi(вихревые кинематические состояния) и является одновременно«нулевым», простейшим элементом в иерархии потенциальных и вихревыхкинематических состояний. Обозначим это символически:Yi 0 = GiJ i0 = Gi ,36причем, по определению (2.17):∆Yi 0 = 0 ,где ∆(...) =∆J i0 = 0 ,(2.20)∂ 2 (...) ∂ 2 (...) ∂ 2 (...)- оператор Лапласа.++∂x 2∂y 2∂z 2Предлагается следующее обобщение.

Запишем (2.20) в виде:∆Yi 0 − CY0Yi 0 = 0∆J i0 − C J0 J i0 = 0где в данном, конкретном случае CY0 = 0 и C J0 = 0 .Естественно предположить, что первыми элементами потенциальных ивихревых кинематических состояний на этих «ветвях» будут состояния:∆Yi 1 − CY1 Yi 1 = 0∆J i1 − C J1 J i1 = 0 ,(2.21)являющиеся простейшими обобщениями (2.20).Забегая вперед, отметим, что классическая теория упругости и«базисная» модель среды, построенная в работе (Лурье, Белов 2000), в общемслучае приводит для физически линейной модели к следующим уравнениямотносительно Yi и J i :[∆(...) − CY1 (...)][∆(...) − CY0 (...)]Yi = 0[∆(...) − C J1 (...)][∆(...) − C J0 (...)]J i = 0Для классической теории упругости CY1 = CY0 = 0 и CJ1 = CJ0 = 0 .Для «базисной» модели среды CY1 ≠ 0 , а CY0 = 0 и, аналогично, CJ1 ≠ 0 , а CJ0 = 0 .Общее решение этих соотношений может быть представлено в виде:Yi = DY0Yi 0 + DY1Yi 1J i = DJ0 J i0 + DJ1 J i1здесьDYkиD Jk -,коэффициентылинейныхформ,которыеможноинтерпретировать как проекции общих решений Yi и J i в функциональныхпространствах Yi k и J ik соответственно.Операторы приведенных уравнений (точнее - вид соответствующиххарактеристическихуравнений) определяет37изменяемостьсоответствующих полей перемещений, характер multiscale-эффектов.

Такимобразом,предлагаемаяклассификацияпредполагаетклассификациюкинематических моделей по краевым эффектам и multiscale-эффектам.Краевые эффекты определяются оператором Лапласа, а multiscale-эффектыопределяются параметрами CYi , C Ji при функции в операторе Гельмгольца.Отдельно следует подчеркнуть, что именно с оператором Гельмгольца вразрешающих уравнениях связана возможность описания масштабныхэффектов в различных моделях сред (моментные модели сред [1]), полевыетеории дефектов [15]).

Следовательно, и разложение исходного состояния(краевыхэффектовиmultiscale-эффектов)побазиснойсистемекинематических состояний - Yi k и J ik связано со спецификой операторовсомножителей оператора равновесия.Сделаем дальнейшие обобщения. Можно предложить иерархию моделей постепени изменяемости решения в следующем виде:n= N{∏[∆(...) − CYn (...)] }Yi = 0n=0m=M{∏m=0(2.22)[∆(...) − C (...)] }J i = 0mJгде CYn и C Jm - физические константы, среди которых могут быть кратные иравные нулю.Общие решения Yi и J i могут быть представлены в форме разложенияпо базисным кинематическим состояниям Yi n и J im :Yi =n=N∑n =0DYnYi n , J i =m= M∑m =0DJm J imЕстественно, что построенные предложенным методом системы базисныхкинематических состояний будут не ортонормированными, однако имеетсяединая процедура ортогонализации системы базисных кинематическихсостояний [16].Определение: моделью среды класса Y ( N ) J ( M ) будем называть такую модельсреды, где в соответствии с (2.22) разрешающие уравнения приводятся к38произведению N + 1 операторов Гельмгольца над потенциальной частьюперемещений и к произведению M + 1 операторов Гельмгольца над вихревойчастью перемещений.

Соотношения (2.22) позволяют ввести естественнуюклассификацию моделей сред с масштабными эффектами. В работе [17]показано, что достаточно широкий круг моделей с модулями упругостиразной размерности подпадают под эту классификацию.Предложена общая структура кинематических состояний для моделейсплошной среды, допускающих описание масштабных эффектов различноготипа,которымотвечаетразличнаяэкспоненциальнаяизменяемость,соответствующая различной природе взаимодействий.В следующем разделе предлагается еще один вариант классификации, воснове которой лежит возможность описания кинематики сред с различнойстепенью"несовместностей",т.е.интегрируемости/совместности.39нарушениемусловий2.3.Общая кинематическая теория и классификация дефектных сред.В силу важности этого раздела, здесь приводится структура изложенияобщей теории полей дефектов. Основная идея заключается в том, чтоисследуемая кинематическая переменная ранга N представляется в видеконечной суммы кратных градиентов тензоров ранга от N − 1 до ранга 0 инеинтегрируемого слагаемого рангаисследуемойкинематическойN .