Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 7

Последовательные квадратурыпеременнойбудутиметьаналогичнуюструктуру, за исключением интегралов от неинтегрируемых слагаемых. Поопределению, эти интегралы определяют разрывные функции, и трактуютсякак поля дефектов. Последовательные «квадратуры» неинтегрируемогослагаемого ранга N определяют совокупность тензорных полей дефектовранга от N − 1 до ранга 0 и объединенных общим свойством «сорт».Соответственно, в кинематической переменной ранга M , меньшего N , будет(N − M )сортов дефектов. Последовательно строятся по возрастаниюсложности теории скалярных, векторных, тензорных дефектов.Формулируетсяобщаякинематическаятеорияполейдефектовсплошных сред.

Дано определение полей дефектов различного уровнясложности и их интерпретация, связанная с известными теоретическими иэкспериментальными данными о генерации таких дефектов как дислокации идисклинации. Установлено иерархическое строение полей дефектов и общиезакономерности генерации и уничтожения дефектов.Предложена классификация кинематических моделей дефектных сред.Изучены кинематические свойства полей дефектов, которые предложеносвязать с понятиями ранга дефектов, типа дефектов, сортности дефектов,глубиной дефектности.Показано,включаютсячтоввсеизвестныепредложеннуюдефектыестественнымклассификацию.40Такобразомполядислокаций и дисклинаций являются соответственно полями дефектовпервого и второго ранга.

Установлен широкий класс новых типов дефектов.Нижеанализируютсяпоследовательностикинематическихмоделейдефектных сред различной степени сложности, начиная с простейшеймодели, для которой может быть введен скалярный потенциал и скалярноеполе дефектов.2.3.1. Кинематическая модель сред соскалярным полем дефектов.Модель бездефектной среды Коши.Пусть в области V функцией D 0 ( M ) задано скалярное поле, а такжевекторное поле перемещений Ri (тензор первого ранга). Определим, прикаких условиях вектор непрерывных перемещений может быть представленкак градиент дифференцируемого скаляра D 0 .∂D 0Ri =∂xi(2.23)Здесь xi - координаты радиуса-вектора.Умножая обе части этого равенства на dxi и интегрируя от точки M 0 доточки M x , получим:D 0 = D 0 (M 0 ) +Mx∫(2.24)Ri dx iM0Условием однозначного определения скалярной функции D 0 по векторуперемещения Ri в произвольной точке исследуемой среды M 0 являетсянезависимость криволинейного интеграла в (2.24) от пути интегрирования,которое совпадает с условием отсутствия вихрей ω k поля перемещений:∂RiЭijk = (−2ω k ) = 0∂x j(2.25)Здесь Эijk - псевдотензор Леви-Чивиты.41Будем называть сплошную среду, в которой отсутствуют вихри (2.25) и,следовательно, поле перемещений имеет скалярный потенциал, бездефектнойсредой Коши.

Для такой среды тензор первого ранга Ri может бытьпредставлен как градиент дифференцируемого тензора нулевого ранга D 0 .Известно, что для формального математического описания модели среды врамках вариационного подхода достаточно определить соответствующийсписок непрерывных аргументов. Для бездефектной среды Коши в качествеобобщенной координаты кинематического состояния среды может быть взятнепрерывный скалярный потенциал D 0 . Таким образом, бездефектная средаКоши является моделью среды с одной степенью свободы.Модель дефектной среды Коши.С формальной точки зрения в бездефектной среде Коши вектор перемещенийопределяется как общее решение однородного уравнения (2.25).

Теперьисследуем"дефектную”средуКошисполемдефектов,котороехарактеризуется наличием вихрей:∂RiЭijk = (−2ω k ) ≠ 0∂x j(2.26)Здесь вектор перемещений как решение (2.26) уже представляется в видедвух слагаемых: неинтегрируемой части Di1 и интегрируемой - градиентанепрерывного и дифференцируемого скаляра D 0 :Ri =∂D 0+ Di1∂xi(2.27)Слагаемое Di1 в (2.27), является частным решением уравнения (2.26) ипоэтому определяет часть перемещений, связанную с дефектностью.Слагаемое∂D 0в (2.27) является общим решением однородного уравнения∂xi(2.26). Формально проинтегрируем правую часть уравнения (2.27) и получимследующее определение для потенциала перемещений:D = D 0 + D1Величина D определяет дефектное(2.28)скалярное поле для среды Коши.

Оно42представляетсяввидесуммынепрерывногоидифференцируемогоскалярного поля D 0 и некоторой разрывной части D1 , определяемой почастномурешениюDi1уравнения(2.27)спомощьюследующегокриволинейного интеграла:D1 =Mx∫Di1dxi(2.29)M0D1 является полем дефектов (разрывов, скачков) формального потенциалаD . Действительно, значение криволинейного интеграла (2.29) в некоторойточке M o ,∂Di1Эijk ≠ 0 .∂x jзависит от траектории интегрирования, так как по определениюПоэтому можно говорить о существовании «дефектногоскалярного поля» D . Вихри (−2ω k ) являются источниками дефектов, так какопределяют непрерывное поле Di1 из (2.26) и (2.27), по которому строитсяразрывное поле дефектов D 1 в соответствии с (2.29).Сформулируем результаты кинематического анализа структуры дефектнойсреды Коши, в которой имеют место завихрения (−2ω k ) , являющиесяисточником дефектов D1 .1. Для этой среды предполагается существование произвольного векторногополя непрерывных перемещений Di , которое разделяется на интегрируемую∂D 0∂xiи неинтегрируемую Di1 составляющие.

Интегрируемую часть∂D 0∂xiбудем в дальнейшем называть еще и стесненными перемещениями, в товремя как неинтегрируемую часть Di1 будем в дальнейшем называть еще исвободными перемещениями, подчеркивая, тем самым, что величина Di1 ,определяет часть непрерывного поля перемещений, для которого нельзяопределить соответствующий непрерывный скалярный потенциал.2. Для поля перемещений Di можно ввести формальный дефектный(разрывный) потенциал:D = D 0 + D143Этот“потенциал”представленвдифференцируемогопотенциалаD0видеисуммынепрерывногоразрывногоиполядефектовПотенциал D 0 соответствует интегрируемой части перемещений∂D 0.

Поле∂xiпотенциальности D 1 .дефектов потенциальностиD1 ,соответствует неинтегрируемой частиперемещений Di1 .1 ∂Di1ωk = −Эijk ,2 ∂x j3. Вихрикак источники дефектовD1подчиняютсяследующему закону сохранения в дифференциальной форме:∂ω k=0∂xkВ интегральной форме закон сохранения имеет вид:∫∫ (ω k nk )dF = 0 .4. Для дефектной среды Коши основными кинематическими переменнымиприформулировкелагранжианамоделиявляютсянепрерывныеинеобходимое число раз дифференцируемые поля D 0 и Di1 . Отметим здесь,что скалярное поле дефектов формально будет определяться разрывнойскалярной функцией D 1 :D =1Mx∫MDi1 dyi(2.29)0Результаты кинематического анализа дефектной среды Коши можно свести вТаблицу_1.Таблица 1ДлядефектнойРанг\СортСорт 0Сорт 1DD0D1Di∂D 0∂xiDi1средыКошив качестве обобщенных переменных44кинематического состояния среды может быть взят непрерывный скалярныйпотенциал D 0 ( M ) и непрерывное неинтегрируемое поле перемещений Di1 .Таким образом, дефектная среда Коши является моделью среды с четырьмястепенями свободы.

В случае классической теории упругости, когдаинтегрируемая∂D 0и неинтегрируемая Di1 части вектора перемещений не∂xiнаделяются разными физическими свойствами, в качестве обобщенныхпеременных могут быть выбраны компоненты непрерывной части вектораперемещений Ri , в соответствии с (2.27).При дальнейшем изложении понятие дефектного поля переносится на тензорпервого ранга - вектор перемещений. Разрывы в векторе перемещенийопределяются как дислокации.

Определение дислокаций как поля скачковперемещений является традиционным, можно даже говорить - классическим.Дислокации достаточно подробно изучены и им посвящен большой объемпубликаций. Однако, в целях сохранения целостности изложения, проведемдалее все необходимые построения.2.3.2. Кинематическая модель сред с векторным полем дефектов.Рассмотрим более сложныесреды сдефектным векторным полемперемещений.

По аналогии с дефектным скалярным полем D , введемдефектное векторное поле перемещенийDiкоторое может служитьобобщенным (разрывным) векторным потенциалом для тензора второгоранга - тензора дисторсии Dij .Модель бездефектной среды Папковича-Коссера.Рассмотрим сначала несимметричный тензор дисторсииd ij1 ,которыйопределяется как градиент некоторого непрерывного векторного поляперемещений Ri .45dij1 =∂Ri∂x jЗаписанное несимметричное соотношение Коши можно трактовать как фактсуществования векторного потенциала для тензора дисторсии.

Очевидно, чтоусловие существования такого потенциала записывается в виде:∂din1Эnmj = 0∂xm(2.30)Заметим, что здесь наблюдается полная аналогия со скалярным потенциаломдля вектора перемещений Ri в бездефектной среде Коши. С другой стороныусловие (2.30) - однородное уравнение Папковича, является условиемсуществованиякриволинейногоинтегралаприопределениивектораперемещений по тензору дисторсии.