Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 3

Теория сред с сохраняющимися дислокациями позволяет сформулироватьприкладные модели мелкодисперсных композитов, межфазных слоев, тонкихпленок, механики хрупкого разрушения. Она в состоянии описать широкийспектр известных масштабных эффектов и предсказать новые эффекты,требующие экспериментальной проверки.2. Теория когезионных взаимодействий, как корректно упрощенная форматеории сред с сохраняющимися дислокациями, позволяет представитьдефектную среду как совокупность двух вложенных друг в друга сред –классической (бездефектной) среды и «когезионной». Она дает возможностьполучать наглядные решения в виде классического решения и «когезионной»поправки к нему, и исследовать эти решения.3.

Теория адгезионных взаимодействий позволяет глубже понять, изучить ииспользовать на практике адгезионные свойства контактирующих тел.Исследованные различные механизмы адгезии позволяют рациональноподбиратьматериалыконтактирующихтелсцельюулучшенияфункциональных свойств проектируемых конструкций и устройств.94. Общая и прикладная теория межфазного слоя дает возможность изучать,моделировать и проектировать свойства композиционных материалов, атакже оптимизировать их состав.Реализация результатов работы. Результаты, полученные в диссертационнойработе, используются в Учреждении Российской Академии Наук ИнститутеПрикладной механики РАН, Московском Государственном техническомУниверситете им.Н.Э.Баумана, Воронежском Государственном ТехническомУниверситете, ГК «Ростехнологии».Достоверность результатов обусловлена применением классических методови инструментов: вариационным методом построения моделей, применениемтензорной алгебры и тензорного анализа в индексной форме, прямыхвариационных методов и методов уравнений математической физики прирешениитестовыхэкспериментом,задач.бралисьДлясравненияэкспериментальныепредсказанийданныеизтеорииспубликацийнезависимых источников.Апробация работы.

По теме диссертационной работы сделан 31 доклад наобщероссийских и международных научных конференциях.Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 40 статей и двемонографии.На защиту выносятся:- Общая кинематическая теория полей дефектов.- «Кинематический» вариационный принцип.- Теория сред с сохраняющимися дислокациями.- Теория когезионных взаимодействий.- Теория адгезионных взаимодействий.- Общая и прикладная теория межфазного слоя.- Теория волокнистых микро- и нанокомпозитов.- Теория мелкодисперсных микро- и нанокомпозитов.Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 7глав,заключения,списка используемой10литературыи9приложений.

Она содержит 313 страниц, в том числе 299 страниц основноготекста, 23 рисунка, 5 таблиц. Список используемой литературы включает 128наименований (из них 48 на иностранном языке).11ГЛАВА 1ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ГРАДИЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ СРЕДТеория сред Коссера (1909год).1.1.Теория сред Коссера [1] является самой старой неклассической модельюсплошной среды. В общем случае лагранжиан L теории сред Коссера можетбыть представлен в следующем виде:∫∫∫ U dVA=∫∫∫ P R dV + ∫∫ P R dFL= A−VViFiii11CosseratU V = [CijmnRi , j Rm , n + 8 χ 12 (− Ri , j Эijk / 2)ωk2 + 4 χ 22ωk2ωk2 + Cijmnωi2, jωm2 , n ] / 2Здесь A - работа внешних объёмных PiV и поверхностных Pi F сил, U V объёмная плотность потенциальной энергии, Ri - вектор перемещений, Ri , j градиент вектора перемещений (тензор стесненной дисторсии), ωk2 псевдовектор свободных поворотов, которые по определению не могут бытьпредставлены как ротор перемещений, δ ij - тензор Кронекера, Эijk псевдотензор Леви-Чивиты.

Тензоры модулей имеют следующую структуру:11= λ11δ ij δ mn + ( µ 11 + χ 11 )δ imδ jn + ( µ 11 − χ 11 )δ inδ jmCijmnCosserat= C1C δ ij δ mn + (C 2C + C3C )δ imδ jn + (C 2C − C3C )δ inδ jmCijmn,λ11 , µ 11 - классические коэффициенты Ламе, χ 11 , χ 12 , χ 22 - неклассическиемодули, имеющие ту же размерность, что и классические модули, C1C , C2C , C3C моментные модули, по размерности отличающиеся от классических модулейна размерность квадрата длины.Эта теория характерна тем, что каждой точке среды приписываетсяшесть степеней свободы: три компоненты вектора перемещений Ri и три12компоненты псевдовектора свободных поворотов ωk2 , которые не являютсявихрями поля перемещений. Таким образом, каждая точка такой среды ведетсебя как абсолютно твердое тело. Независимые кинематические переменныеRi и ωk2 определяют кинематическую модель среды Коссера.Из выражения объемной плотности потенциальной энергии теориисред Коссера следуют формулы Грина, которые определяют силовую модельтеории, и уравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij =∂U V11= CijmnRm, n − 2 χ 12ω k2 Эijk∂Ri , jmk =∂U V= −2 χ 12 Ri , j Эijk + 4 χ 22ω k22∂ω kmij =∂U VCosserat 2= Cijmnω m, n2∂ωi , jТаким образом, теория сред Коссера допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: несимметричного тензоранапряжений σ ij , псевдовектора объемных моментов mk и псевдотензорамоментных напряжений mij .Вариационное уравнение теории сред Коссера получено из условиястационарности лагранжиана:δL = δA − ∫∫∫ [σ ijδRi , j + miδωi2 + mijδωi2, j ]dV == ∫∫∫ [(σ ij , j + PiV )δRi + (mij , j − mi )δωi2 ]dV + ∫∫ [( Pi F − σ ij n j )δRi + (−mij n j )δωi2 ]dF = 0Вариационное уравнение теории сред Коссера в кинематическихпеременных:11δL = ∫∫∫ [(CijmnRm ,nj + 2 χ 12ωm2 ,n Эmni + PiV )δRi +Cosserat 2ωm ,nj )δωi2 ]dV ++ (2 χ 12 Rm ,n Эmni − 4 χ 22ωi2 + CijmnCosserat11n j Rm ,n − 2 χ 12ωm2 nn Эmni )δRi + (−Cijmnn jωm2 ,n )δωi2 ]dF = 0+ ∫∫ [( Pi F − CijmnУравнения Эйлера:(2µ 11 + λ11 ) R j , ji + ( µ 11 + χ 11 )( Ri , jj − R j , ji ) + 2 χ 12ωm2 ,n Эmni + PiV = 0 12CCCC22 22222 χ Rm ,n Эmni − 4 χ ωi + (C2 + C3 )(ωi , jj − ω j , ji ) + (C1 + 2C2 )ω j , ji = 0Дивергенцияуравнений равновесия моментов дает:13(C1C + 2C2C )ω, kk − ω = 04 χ 22Здесь введено обозначение ω = ωi2,i .Ротор уравнений равновесия сил при χ 12 ≠ 0 дает:(ωi2, jj − ω 2j , ji ) =( µ 11 + χ 11 )1R p , jjq Э pqi + 12 PpV, q Э pqi122χ2χТогда уравнение равновесия моментов можно записать относительноωi2 в алгебраическом виде:(C2C + C3C )( µ 11 + χ 11 )(C2C + C3C ) V(C1C + 2C2C )χ 12ω,i+++RЭRЭPЭp , q pqip , jjq pqip , q pqi2 χ 228 χ 12 χ 228 χ 12 χ 224 χ 22Подставляя ωi2 в уравнение равновесия сил, можно получить:ωi2 =(2µ 11 + λ11 ) R j , ji + ( µ 11 + χ 11 −+ PiV −χ 12 χ 12(C2C + C3C )( µ 11 + χ 11 )R−R−( Ri , jj − R j , ji ), kk +)()i , jjj , jiχ 224 χ 22(C2C + C3C ) V( Pi , jj − PjV, ji ) = 0224χТаким образом, теория сред Коссера может быть описана решениемраспадающейся системы уравнений относительно вектора перемещений Ri ипсевдоскаляра ω :(2µ 11 + λ11 ) R j , ji + ( µ 11 + χ 11 −+ PiV −χ 12 χ 12(C2C + C3C )( µ 11 + χ 11 )−−RR( Ri , jj − R j , ji ), kk +)()i , jjj , jiχ 224 χ 22(C2C + C3C ) V( Pi , jj − PjV, ji ) = 0224χ(C1C + 2C2C )ω, kk − ω = 04 χ 22При этом краевая задача при χ 12 ≠ 0 остается связанной и содержит шестьграничных условий в каждой неособенной точке поверхности.

Следуетобратить внимание на то, что разрешающие уравнения теории не содержатодной из трех линейных комбинаций «моментных» модулей, а именно:(C2C − C3C ) . Она фигурирует только в формулировке статических граничныхусловий на «моментные» напряжения.141.2.Теория сред Джеремилло (1929год).Теория сред Джеремилло [2] также является давно известной, нонезаслуженно забытой, неклассической моделью сплошной среды. В общемслучае лагранжиан L теории сред Джеремилло может быть представлен вследующем виде:L = A − ∫∫∫ UV dV111J1UV = [Cijmnε ij1ε mn+ Cijkmnlε ij1 , k ε mn,l ] / 2ε ij1 = ( Ri , j + R j ,i ) / 2Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, чтотензоры модулей обладают следующим свойством симметрии:1111Cijmn= CmnijJJCijkmnl= Cmnlijk1Кроме того, так как тензор шестого ранга ε ij1 ,k ε mnсимметричен при,lперестановке индексов внутри пар i, j и m, n , антисимметричные по этимJиндексам компоненты тензора модулей Cijkmnlне войдут в выражениеJ1ε ij1 , k ε mnпотенциальной энергии Cijkmnl, l / 2 и их можно без ущерба для общностиположить равными нулю.

Отсюда:11Cijmn= λ11δ ijδ mn + µ 11 (δ imδ jn + δ inδ jm )JCijkmnl= C1J (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ++ δ ik δ jmδ nl + δ ml δ niδ jk + δ ik δ jnδ ml + δ imδ jk δ nl + δ ijδ kl δ mn ) ++ C 2J (δ inδ jl δ km + δ mjδ nk δ li + δ imδ jl δ nk + δ il δ jnδ mk + δ imδ jnδ kl + δ inδ mjδ kl )Отметим, что кинематическая модель теории сред Джеремиллоявляется классической и определяется независимыми кинематическимипеременными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают15уравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij =mijk =∂U V11= CijmnRm, n∂Ri , j∂U VJ= CijkmnlRm, nl∂Ri , jkТаким образом, теория сред Джеремилло допускает существование всреде следующих внутренних силовых факторов: симметричного тензоранапряжений σ ij и тензора моментных напряжений mijk .Вариационное уравнение теории сред Джеремилло получено изусловия стационарности лагранжиана:δL = δA − ∫∫∫ (σ ijδRi , j + mijkδRi , jk )dV == δA − ∫∫∫ (σ ij − mijk , k )δRi , j dV − ∫∫ mijk nkδRi , j dF == ∫∫∫ (σ ij , j − mijk , jk + PiV )δRi dV ++ ∫∫ {[ Pi F − (σ ij − mijk , k )n j ]δRi − mijk nkδRi , j }dF == ∫∫∫ (σ ij , j − mijk , jk + PiV )δRi dV ++ ∫∫ {[ Pi F − (σ ij − mijk , k )n j + (mijk δ pj* nk ), p ]δRi − mijk n j nkδRi }dF − ∑ ∫ mijk v j nkδRi ds = 0Здесь точкой над переменной обозначена нормальная к поверхностипроизводная Ri = Ri , j n j .

δ *jk = δ jk − n j nk - «плоский» тензор Кронекера, v j - орткриволинейной ортогональной системы координат, связанной с ребромкусочно-гладкой поверхности, ограничивающей тело si v j nk Эijk = 1 , si - орткасательной к ребру, fi = mijk v j nk - «реберные» силы.В перемещениях вариационное уравнение теории сред Джеремиллоимеет вид:11JRm , nj − CijkmnlRm , nlkj + PiV )δRi dV +δL = ∫∫∫ (Cijmn11JJJ+ ∫∫ {[ Pi F − (Cijmnn j nk Rm , nl δR i }dF −Rm , n − CijkmnlRm , nlk )n j + (Cijkmnlδ pj* nk Rm , nl ) , p ]δRi − CijkmnlJ− ∑ ∫ Cijkmnlv j nk Rm , nl δRi ds = 0Таким образом, уравнения Эйлера теории дают систему трех уравненийчетвертого порядка с шестью граничными условиями в каждой неособенной16точке поверхности.Характерной особенностью теории является наличие условий на ребрах:∑∫f iδRi ds = 0Условия на ребрах можно трактовать как условия непрерывности (припереходе по поверхности через ребро) вектора перемещений Ri и вектораJ«реберных» сил fi = Cijkmnlv j nk Rm, nl .171.3.Теория сред Аэро-Кувшинского (моментная теория упругости, 1960год).Теория сред Аэро-Кувшинского [3] также является неклассической модельюсплошной среды.