Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 9

Действительно, пусть замкнутаяповерхность F образована двумя поверхностями, натянутыми на плоскийконтур, причем первая поверхность будет иметь неотрицательную кривизнуи вектор нормали n j , а вторая – неположительную кривизну и векторнормали − n j . Тогда из интегральной формулировки закона сохраненияследует, что:∫∫+Ξ ij n j dF = ∫∫ Ξ ij n j dF−Т.е. поток тензора Ξ ij через любую поверхность, натянутую на выбранныйплоский контур, один и тот же.Рассмотрим поток тензора Ξ ij через плоскость, в которой лежит выбранныйплоский контур:∫∫+Ξ ij n j dF = ∫∫ Ξ ij n j dF = n j ∫∫ Ξ ij dF−0С учетом записанного равенстива традиционное определение дислокаций(2.37) через вектор Бюргерса приводит к следующему:bi = ∫ D s ds = ∫ D (vn nm Э jnm )ds = ∫∫2ij j2ij0∂Dij2 nm Э jnm∂xndF = ∫∫ (0∂Dij2∂xnЭ jnm )nm dF = nm ∫∫ Ξ im dF0Назовем это соотношение второй формой определения вектора Бюргеса.Таким образом, мерой сохраняющихся дислокаций, может служить54неинтегрируемая часть тензора дисторсии Dij2 – первая форма определениявектора Бюргерса:bi =∫Dij2 dx j .Одновременномеройсохраняющихсядислокацийможетбытьипсевдотензор-источник Ξ ij - вторая форма определения вектора Бюргерса:bi = ∫∫ Ξ im nm dF06.

Рассмотрим антисимметричную часть дисторсии Dij =этогосвернемееспсевдотензором∂Di1∂2D0++ Dij2 . Для∂x j ∂xi ∂x jЛеви-Чивитыиполучимсоответствующий псевдовектор полных поворотов:Tk = Dij Эijk =Здесь∂D 1∂2D0Эijk + i Эijk + Dij2 Эijk = 0 + (−2ω k1 ) + (−2ω k2 ) = 0 + Tk1 + Tk2∂x j∂x j ∂xiпредложеноновоеобозначениедляпсевдотензора-источникаскалярных дефектов Tk . Оно представляется удобным в связи с введеннымранее понятием сортности. Действительно, в рамках сред Папковича-Коссерасуществует два сорта скалярных дефектов ( D 1 и D 2 ) и, соответственно, двасорта их псевдотензоров-источников ( Tk1 и Tk2 ) с разными свойствами:Tk1 =∂Di1Эijk ,∂x jTk2 = Dij2 Эijk .Псевдовектор стесненных поворотов Tk1 , как уже отмечалось выше,удовлетворяет закону сохранения.

В этом не трудно убедиться из следующейцепочки равенств:∂Tk1∂ 2 Di1=Эijk = 0∂xk ∂xk ∂x jПоэтому скалярные дефекты D 1 сорта 1 , очевидно, сохраняются.В то же время псевдовектор свободных поворотов Tk2 (спинов) неудовлетворяет закону сохранения, т.к. имеют место равенства:5522∂Dij2∂Tk2 ∂Dij Эijk ∂Dij==Эijk =Э jki = Ξ ii = Tii2 ≠ 0∂x k∂x k∂x k∂x kПоэтому скалярные дефекты D 2 сорта 2 могут рождаться и исчезать насохраняющихся дислокациях.Следует отметить, что имеет место общая связь между псевдотензорамиисточниками второго и первого рангов Tk и Tij :∂Tk ∂Dij=Эijk = Tii∂xk ∂xkПриведенный кинематический анализ дефектных сред и предложенная наоснове этого анализа классификация составляет часть более общейклассификации и является основой для формального обобщения теориидефектных сред, используя метод математической индукции.

Действительно,добавим к Таблице_2 следующую строку и столбец и проанализируем новыетензорные объекты (Таблица_3.).Таблица_3Ранг\Сорт Сорт 0Сорт 1 Сорт 2 Сорт 3DD0D1D2D3Di∂D 0∂xiDi1Di2Di3Dij∂2D0∂x j ∂xi∂Di1∂x jDij2Dij3Dijk∂3D0∂xk ∂x j ∂xi∂ 2 Di1∂xk ∂x j∂Dij2∂xk3DijkПокажем в дальнейшем, что эти объекты соответствуют модели средытретьего ранга и связаны с известными дефектами – дисклинациями, которыеопределяютсякакполескачковпсевдовектораповоротов.Будетпроанализирована сортность (последний столбец в Таблице_3), исследовандефектной тензор дисторсии второго ранга (обобщение дефектного поля),56разрывы в антисимметричной части которого и определяются, традиционно,как дисклинации.2.3.4.

Кинематическая модель сред с тензорным полем дефектов.Ранее была установлена формальная аналогия уравнений (2.26) и (2.31) напримере рассмотрения и сравнения сред первого (среды Коши) и второгоранга (среды Папковича-Коссера). Попытаемся продолжить эту аналогию.Рассмотрим тензор дисторсии Dij и тензор кривизн Dijn , который являетсяградиентом тензора дисторсииDijn =∂Dij∂xnСледуя общему алгоритму, рассмотрим условия интегрируемости тензоракривизн в записанном соотношении:∂Dijn∂xmУсловияЭnmk = 0(2.39)(2.39)являютсяусловиямисуществованиякриволинейногоинтеграла при определении тензора дисторсии Din через тензор кривизн Dijn .Назовем их обобщенными соотношениями Сен-Венана.Иначе говоря, условия интегрируемости (2.39) являются критериемсуществованиятензорногопотенциаладлятензоракривизн.Этимпотенциалом является тензор дисторсии Dij .

Имеет место полная аналогия соскалярным потенциалом для вектора Ri (среды Коши) и векторнымпотенциалом для тензора дисторсии (среды Папковича).Уравнение (2.39) является обобщением известных уравнений совместностиСен-Венана. Чтобы доказать это, достаточно выделить в тензорномуравнении (2.39) антисимметричную по индексам i,j часть Dijn = −ω sn Эijs . Вэтом частном случае уравнение (2.39) можно переписать в виде:57∂ω snЭnmk = 0∂xmЭто уравнение есть условие существования псевдовекторного потенциала ω iдля кривизн ω sn =∂ω s. С другой стороны именно уравнения Сен-Венана и∂xnявляются условиями интегрируемости кривизн (условиями существованиянепрерывного вектора поворотов).

Таким образом, уравнение (2.39) какчастный случай содержит в себе уравнения Сен-Венана.Среды, для которых имеется непрерывный тензорный потенциал утензора кривизн, будем называть средами Сен-Венана. В «бездефектных»средах Сен-Венана тензор дисторсии Dij , может быть однозначно определенпо Dijn , ибо условия интегруемости (2.39) для Dijn выполняются. Иначеговоря, в «бездефектных» средах Сен-Венана отсутствуют обобщенныедисклинации. Также как и в дефектных средах Папковича-Коссера здесьмогут присутствовать сохраняющиеся дислокации D 2 (дефекты первогоiранга) и два сорта скалярных дефектов D1 и D 2 , D1 - сохраняющиесяскалярные дефекты, D 2 - скалярные дефекты, способные рождаться иисчезать на сохраняющихся дислокациях D 2 .iПостроим модель дефектной среды Сен-Венана.

По аналогии с предыдущимпредположим, что в общем случае условия интегрируемости (2.39) невыполняются, и тогда имеет место неоднородное уравнение:∂Dijn∂xmЭnmk = Ω ijk ≠ 0(2.40)Определим интегрируемую и неинтегрируемую части кинематическойпеременной третьего ранга (кривизны) как соответствующие общее решениеоднородного уравнения (2.39) и частное решение неоднородного уравнения(2.40).

Равенство (2.40) является условием существования дефектов третьегосорта. Псевдотензор-источник Ω ijk дефектов третьего сорта определяетсоответствующую неинтегрируемую часть кривизн Dijk3 в четвертой строке58Таблицы_3:3∂Dijn∂xmЭnmk = Ω ijkВ то же время первые три слагаемых в последней сроке Таблицы_3соответствуют общему решению однородного уравнения (2.39). Имеем сучетом (2.32):∂Dijn∂x mЭnmk − Ω ijk =∂Dijn∂x mЭnmk −3∂Dijn∂x mЭnmk =∂3( Dijn − Dijn)Эnmk =∂x m∂Dij2∂ 2 Di1∂∂3D0∂2∂ 2 D 0 ∂Di1(++)Эnmk =Эnmk (++ Dij2 ) ≡ 0.∂x m ∂x n ∂x j ∂xi ∂x n ∂x j ∂x n∂x n ∂x m∂x j ∂xi ∂x jТаким образом, построено общее решение уравнений (2.40) существованиядефектов третьего сорта:Dijn∂Dij2∂ 2 Di1∂3D03=+++ Dijk∂xn ∂x j ∂xi ∂xn ∂x j ∂xn(2.41)Это решение полностью совпадает со структурой последней строкиТаблицы_3.

Отметим, что аналогия цепочки уравнений (2.27), (2.32), (2.39)так же имеет место. Действительно, до диагональных слагаемых в строках 2,3 и 4 стоят интегрируемые части соответственно дефектного тензора первого,второго и третьего ранга. На "диагональных" местах, где ранг дефектнойкинематической переменной равен её сорту, стоят соответственно неинтегрируемые далее составляющие. Наконец, правее "диагональных"составляющих должны располагаться разрывные составляющие, которыеявляются разными сортами дефектов текущего ранга.Действительно, проинтегрируем формально уравнение (2.41), получимдефектное тензорное поле второго ранга:Dij =∂Di1∂2D0++ Dij2 + Dij3∂x j ∂xi ∂x j(2.42)Здесь ранг третьего слагаемого Dij2 совпадает с его сортом.

Это слагаемое непрерывное, но не интегрируемое. Слева от этого слагаемого в (2.42)находятся интегрируемые части дисторсии, а справа - дефект59Dij3 =Mx∫Dijk3 dx k(2.43)M0В равенстве (2.43) Dij3 - дефекты второго ранга третьего сорта. Dij3 являютсяобобщенными дисклинациями. Заметим, что известные классическиедисклинации являются только антисимметричной частью этого разрывноготензора дисторсии Dij3 .Повторно интегрируя (2.42) получим выражение для дефектного поляпервого ранга:Di =∂D 0+ Di1 + Di2 + Di3∂xi(2.44)Здесь ранг второго слагаемого Di1 совпадает с его сортом.

Это слагаемоеявляется непрерывным, но неинтегрируемым. Слагаемое, стоящее слева отDi1 в (2.44) является интегрируемой частью дефектного поля первого ранга, асправа располагаются дефекты первого ранга - дислокации разных сортов:Di =2Mx∫MDij2 dx j- дислокации второго сорта (три типа сохраняющихся0дислокаций) иDi =3Mx∫MDij3 dx j- дислокации третьего сорта (три типа0дислокаций,способныхрождатьсяиисчезатьнасохраняющихсяобобщенных дисклинациях).Последующее интегрирование (2.44) даст формальное выражение длядефектного поля нулевого ранга:D = D 0 + D1 + D 2 + D 3(2.45)Здесь ранг первого слагаемого D 0 совпадает с его сортом.

Это единственноенепрерывное слагаемое. Слагаемые, стоящие справа от него определяютдефекты нулевого ранга разных сортов:D =1Mx∫M0D3 =Mx∫M1Di dxi ,D =2Mx∫MDi2 dxiи0Di3 dxi - дефекты нулевого ранга, соответственно первого, второго и060третьего сорта. Необходимость введения сортности как свойства дефектов иобусловлено тем, чтобы при определении свойств дефектов одного рангаизбежать следующих громоздких определений:D1 =Mx∫MDi1 dxi - сохраняющиеся скалярные дефекты;0D =2Mx∫MDi2 dxi - скалярные дефекты, способные рождаться и исчезать на0сохраняющихся дислокациях;D =3Mx∫MDi3 dxi - скалярные дефекты, способные рождаться и исчезать на0дислокациях, которые, в свою очередь, могут рождаться и исчезать насохраняющихся обобщенных дисклинациях.Проведенный кинематический анализ сред третьего ранга показал, чтоимеется полное соответствие между содержимым ячеек Таблицы_3 ислагаемыми последовательных квадратур (2.41), (2.42), (2.44), (2.45)уравнений существования дефектов третьего сорта (2.40).Исследуемтеперьсвойствапсевдотензоров-источников.Дляэтогопоследовательно образуем свертки каждой кинематической переменной,начиная с ранга, равного трем, с псевдотензором Леви-Чивиты.Псевдотензор-источник дислокаций Tij образуется сверткой псевдотензораЛеви-Чивиты с тензором кривизн третьего ранга:Tij = Dinm Эnmj∂ 2 Di1∂Din2∂3D033)Эnmj = 0 + 0 + Ξ ij + DinmЭnmj = Tij2 + Tij3+++ Dinm=(∂xm ∂xn ∂xi ∂xm ∂xn ∂xm∂Din2Здесь Tij =Эnmj = Ξ ij - псевдотензор-источник сохраняющихся дислокаций∂xm23Эnmj - псевдотензор-источник дислокаций, способных(сорт 2).