Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 10

Tij3 = Dinmрождаться и исчезать на сохраняющихся обобщенных дисклинациях (сорт 3).Действительно:∂Tij2∂x j=∂ 2 Din2Эnmj ≡ 0∂x j ∂xm61∂Tij3∂x j=3∂Dinm∂D 33Эnmj = inm Эmjn = Ω inn = Tinn≠0∂x j∂x jПсевдотензор-источникскалярныхдефектовTkобразуетсясверткойпсевдотензора Леви-Чивиты с тензором дисторсии второго ранга:Tk = Dij Эijk = (∂D1∂ 2 D 0 ∂Di1+ Dij2 + Dij3 )Эijk = 0 + i Эijk + Dij2 Эijk + Dij3 Эijk = 0 + Tk1 + Tk2 + Tk3+∂x j∂x j ∂xi ∂x jЗаписанное выше равенство позволяет дать следующие естественныеопределения трем сортам псевдотензоров-источников первого ранга:∂Di1Эijk = Tk1 ,∂x jDij2 Эijk = Tk2 ,Dij3 Эijk = Tk3Нетрудно убедится, что из этих определений вытекают следующие свойстваисточников:∂ 2 Di1∂Tk1=Эijk ≡ 0∂xk ∂x j ∂xk2∂Tk2 ∂Dij=Эijk = Tii2 ≠ 0∂xk∂xk3∂Tk3 ∂DijЭijk = Tii3 ≠ 0=∂xk∂xk(2.46)Напомним, что в конце раздела 2.3.3 установлена аналогичная общая связьмежду полными псевдотензорами-источниками Tk и Tii :∂Tk ∂Dij=Эijk = Tii .∂x k∂x kРассмотрим теперь основные типы дефектов второго ранга в дефектныхсредах Сен-Венана.D =3ijMx∫M0=Mx∫M0D dxk =Mx3ijk∫M0M13(γ ijk+ θ k3δ ij − ωqk3 Эijq )dxk =3Mxx1γ dxk + δ ij ∫ θ k3dxk − Эijq ∫ ωqk3 dxk =3 M0M03ijk1= γ ij3 + θ 3δ ij − ωq3Эijq3Последнее слагаемое в записанном выражении определяет поле разрывовпсевдовектораповоротов.Именнотакимобразомтрадиционноиопределяются дисклинации.Слагаемые, полученные разложением разрывной части дисторсии Dij3 потипам, дают естественные определения типов дисклинаций, включая и«классические» дисклинации:62ω q3 =Mx∫ω qk3 dxk - «классические» дисклинации,M0γ =3ijMx∫γ ijk3 dxk - двойникование,M0θ =3Mx∫θ3kdxk - кавитация.M0Однако, как следует из построений, «классические» дисклинации определяеттолько антисимметричная часть Dij3 .

Симметричная часть Dij3 определяетдефекты иной тензорной природы: девиаторная часть γ ij3 определяет полеразрывов деформаций изменения формы и поэтому названа двойникованием[12], [13]. Шаровая часть θ 3 определяет поле разрывов деформацииизменения объема и названа [12], [13] кавитацией.Симметрируя правую часть уравнения (2.40) по первым двум индексам,получимопределенияпсевдотензоров-источниковдлядисклинаций,кавитации и двойникования1Ω ijk = Γijk + Θ k δ ij − Ω qk Эijq3(2.47)В результате, можно записать условия существования полей разрывовотдельно для формоизменения, изменения объёма и поворотов.

Условиесуществования скачков в тензорном поле свободного формоизменения γ ijn3дает определение псевдотензора-источника двойникования. С учетомравенств (2.40),(2.47) получим:3∂γ ijn∂xmЭnmk = ΓijnУсловие существования скачков свободного изменения объёма θ n3 дастопределение псевдотензора-источника кавитации:∂θ n3Э nmk = Θ k∂x mНаконец запишем и условие существования классических дисклинаций 63скачков в тензорном поле свободных поворотов ω 3pn , которое даетодновременноопределениепсевдотензора-источникаклассическихдисклинаций:∂ω 3pn∂xmЭnmk = Ω pkКогда Ω pk = 0 последние уравнения переходят в классические уравнения СенВенана.Поля кривизн будут интегрируемыми или неинтегрируемыми в зависимостиот того, равны ли нулю или нет соответствующие псевдотензоры-источникидисклинаций Ωij , кавитации Θ j и двойникования Γijk . Если псевдотензорыисточники Ωij , Θ j и Γijk дифференцируемы, то они каждый в отдельностиудовлетворяют соответствующим дифференциальным законам сохранения:∂Ωij∂x j= 0,∂Θ j∂x j= 0,∂Γijk∂xk=0В заключение, учитывая определение псевдотензоров-источников можноустановить и общую связь между псевдотензорами-источниками второго итретьего рангов:∂Tij∂x j=∂DinmЭnmj = Ω inn = Tinn∂x j(2.48)Соотношения (2.48) отражают свойства источников дефектов и аналогичныуравнениям (2.46).Таким образом, доказано, что предложенная классификация, нашедшаяотражение в Таблице_3 действительно является полной и может бытьиспользована для прогноза свойств дефектных сред, с рангом дефектов вышедвух.

Эта классификация фактически позволяет прогнозировать новые типыдефектов. В частности, для сред третьего ранга теоретически предсказаносуществование кавитации и двойникования. Также предсказана возможностьрождения и уничтожения дислокаций при отсутствии классическихдисклинаций.64Для дефектной среды Сен-Венана в качестве обобщенных переменныхкинематического состояния среды может быть взят непрерывный скалярныйпотенциалD0 ,непрерывное неинтегрируемое поле перемещенийDi1 ,непрерывная (но неинтегрируемая) часть дисторсии Dij2 и свободныекривизны Dijk3 .

Таким образом, дефектная среда Сен-Венана являетсямоделью среды с сорока степенями свободы. Как и в случае классическойтеории упругости, когда интегрируемая∂D 0и неинтегрируемая Di1 части∂xiвектора перемещений не наделяются разными физическими свойствами, вкачестве обобщенных переменных могут быть выбраны компонентынепрерывной части вектора перемещений Ri , в соответствии с (2.27). Модельтакой среды будет определяться тридцатью девятью степенями свободы, исоответственно, уравнений равновесия тоже должно быть тридцать девять.2.3.5. Кинематическая модель дефектных сред ранга N.Развиваемая методика построения теории дефектных сред, позволяетосуществить более широкое обобщение и предложить алгоритм построениякинематической модели сред заданного ранга N. Для этого проведеманалогию с построением модели сред с сохраняющимися дислокациями.Действительно,припостроенииэтоймодели(средырангаN=2)привлекаются кинематические переменные двух последовательных рангов:псевдотензор-источник дислокаций и тензор дисторсии имеют ранг два (N), адефектный вектор перемещений и вектор дислокаций - ранг равный единице(N-1).Будемназыватьсохраняющийсяпсевдотензором-источникомпсевдотензор-источникмультидислокаций,T....... ijрангаNкинематическуюN −2переменную ранга N, имеющую неинтегрируемую часть, - мультидисторсией65.

Соответственно, кинематическую переменную ранга (N-1), котораяD....... ijN −2будет служить дефектным потенциалом для мультидисторсии, назовемтензоромдефектныхмультиперемещений.D.......iЕёнепрерывнуюN −2составляющуюD.......iназовемтензороммультиперемещенийN −2R.......iаN −2Nразрывную составляющую D.......назовем мультидислокациями D.........iiN −2N −2Определим сохраняющийся псевдотензор-источник мультидислокаций T...ijранга N следующим образом:∂T...

ij∂x j=0(2.49)Тогда поле мультидисторсии будет определено общим решением уравненийсохранения (2.49):T... ij =∂D...inЭnmj∂xm(2.50)Выражение (2.50) дает представаление общего решения уравнения (2.49). Сдругой стороны его можно трактовать как неоднородные уравнениясовместности, т.е. как обобщенные на ранг N неоднородные уравненияПапковича.Представляя решение уравнения (2.50) как сумму общего решения∂R...i∂x jоднородного уравнения (2.50) и частного решения D...Nij неоднородного,получим:D...ij =∂R...i+ D...Nij∂x j(2.51)Антисимметричная часть уравнений (2.51) дает определение псевдотензораисточника ранга (N-1) и, соответственно, его разложение по сортам (N-1) иN:66T...i = D...nm Эnmi =∂R...nЭnmi + D...Nnm Эnmi = T...Ni −1 + T...Ni∂xm(2.52)С другой стороны, равенства (2.52) и (2.50) позволяют установить общуюсвязь между псевдотензором-источником ранга (N-1) и, соответственно,псевдотензором-источником ранга N:∂T...i ∂D...nm=Эnmi = T....ii∂xi∂xiИнтегрирование уравнений (2.51) дает определение дефектного тензорамультиперемещенийD...i = R...i + D...Niи тензора мультидислокацийD =N...iMx∫MD...Nij dx j0Тензор непрерывных мультиперемещений разложим на интегрируемую S ...

инеинтегрируемую D...Ni −1 части:R...i =∂S...+ D...Ni −1∂xiПо определению, неинтегрируемая часть мультиперемещений удовлетворяетуравнению∂D...Nn−1Эnmi = T...Ni −1 ≠ 0∂xm(2.53)Как следует из (2.53), псевдотензор-источник T...Ni −1 удовлетворяет законусохранения:∂T...Ni −1 ∂ 2 D...Nn−1=Эnmi ≡ 0∂xi∂xm ∂xi(2.54)При этом из (2.52) следует, что псевдотензор-источник T...Ni не удовлетворяетзакону сохранения:∂T...Ni= T....ii ≠ 0∂xi(2.55)Итак, с использованием равенств (2.49) и (2.50) получены соотношения (2.54)67и (2.55), которые отличаются рангом входящих в них тензорных объектов.Уравнения (2.54) и (2.55) являются исходными при определении дефектнойсплошной среды ранга N-1, в то время как (2.49) и (2.50) являлись исходнымипри определении дефектной сплошной среды ранга N.

Первоначальновыбирался конечный ранг среды N . Поэтому после Nшагов этогоалгоритма, очевидно, приходим к полю мультиперемещений ранга ноль(скалярному полю) D = D 0 + D 1 + ... + D N −1 + D N . На этом процедура построенияпоследовательности дефектных сред естественным образом заканчивается.Таким образом, предложена общая кинематическая теория дефектов. Этатеория, опираясь на известные в теории дефектов сведения о дислокациях идисклинациях, позволяет прогнозировать новые поля дефектов, указываетусловия их генерации и исчезновения.

Сложность структуры различныхполей дефектов привела к необходимости введения новых понятий (рангдефектов, сорт дефектов, тип дефектов), позволяющих сформулироватьдостаточно общую непротиворечивую классификацию дефектов. Тем неменее, представляется целесообразным определение еще одного свойства глубины дефектности. Понятие глубины дефектности позволяет указатьиерархию причин, определяющих зарождение и исчезновение дефектов.Рассмотрим таблицу 4, построенную для сред N-ого ранга, содержащуюсоставляющиепоследовательныхквадратуруравненийсохраняющихся (“материнских”) дефектов в среде ранга N .68существованияТаблица 4.Ранг\ССорт 0Сорт 1 Сорт 2Сорт 3 ……DD0D1D2D3……DNDi∂D 0∂xiDi1Di2Di3……DiNDij∂2D0∂x j ∂xi∂Di1∂x jDij2Dij3……DijNDijk∂3D0∂xk ∂x j ∂xi∂ 2 Di1∂xk ∂x j∂Dij23Dijk……DijkN……………………………………∂ ( N −2 ) Dij2∂ ( N −3) Dij3D......Di∂∂ N D0....∂xk ∂x j ∂xi ....∂xk ∂x j .......∂xk..........……DijkN ...орт( N −1)NN −1N∂xk1N −2N −3Сорт NNОбратим внимание на то, что все дефекты, расположенные выше диагоналина одинаковое количесто ячеек обладают следующими общими свойствами:43N2дефекты D 1 , Di2 , Dij3 , ...., Dijk...

- сохраняющиеся дефекты. Дефекты D , Di , Dij ,N −1N..., Dijk... могут рождаться и исчезать на сохраняющихся дефектах. ДефектыN −2D 3 , Di4 , Dij5 , ..., DijkN ... могут рождаться и исчезать на дефектах, которые, в своюN −3очередь, могут рождаться и исчезать на сохраняющихся дефектах. И так далее. Эти группы дефектов можно описать с помощью числового параметраh = s − r , где s - сорт дефекта, r - ранг дефекта. Параметр h мы будемназывать глубиной дефектности. Глубина дефектности показывает, в составекакой по счету квадратуы кинематической переменной появляется данныйдефект. Так сохраняющиеся дислокации Di2 появляются в первой квадратуредисторсииDij ,сохраняющиеся дисклинации69Dij3появляютсявпервой квадратуре кривизн Dijk .