Диссертация (Математическая теория дефектных сред), страница 5

Спектр краевых задачопределен шестью граничными условиями в каждой неособенной точкеповерхности.Общей характерной особенностью теорий Тупина, Аэро-Кувшинского иДжеремилло является наличие условий на ребрах.1.6.«Простейшая» теория сред с сохраняющимися дислокациями (2009г.).«Простейший» вариант теории сред с сохраняющимися дислокациями (ССД)сформулированвпредположениисуществованиявсредеполейсохраняющихся дислокаций [7]. Эта модель характеризуется тем, чтоградиентная часть потенциальной энергии является квадратичной формойкомпонентов псевдотензора Ξ ij = Dip2 , q Э pqj плотности дислокаций Де Вита.Наличие ненулевого псевдотензора плотности дислокаций определяетсуществование в среде полей дислокаций.

Тождественное равенство нулюдивергенции этого псевдотензора определяет локальный закон сохраненияполей дислокаций. Таким образом, в данной модели поля дислокаций немогутрождатьсяилиисчезать,атольколокальноменятьсвоюконцентрацию. Лагранжиан L теории может быть представлен в следующемвиде:25L = A−111122222BL[CijmnRi , j Rm, n + 2CijmnRi , j Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ CijmnΞ ij Ξ mn ]dV∫∫∫2BLимеет следующую структуру:Тензор моментных модулей CipmqBL= C3BLδ ipδ mq + (C1BL + C 2BL )δ imδ pq + (C1BL − C 2BL )δ iqδ pmCipmqОтметим, что кинематическая модель теории ССД, совпадает скинематической моделью теории Миндлина и определяется независимымикинематическими переменными Ri и Dij2 .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии U Vследуют формулы Грина, которые определяют силовую модель теории, идают уравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:σ ij1 =∂U V11122= CijmnRm, n + CijmnDmn∂Ri , jσ ij2 =∂U V21222= CijmnRm, n + CijmnDmn∂Dij2mij =∂U VBL= CijmnΞ mn∂Ξ ijТаким образом, теория ССД допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: в общем случае несимметричныхтензоров напряжений σ ij1 и σ ij2 второго ранга и псевдотензора моментныхнапряжений mij второго ранга.ВариационноеуравнениетеорииССДполученоизусловиястационарности лагранжиана:δL = δA − ∫∫∫ [σ ij1 δRi , j + σ ij2δDij2 + mij δΞ ij ]dV == δA − ∫∫∫ [σ ij1 δRi , j + σ ij2δDij2 + minδ ( Dij2, k Э jkn )]dV == δA − ∫∫∫ [σ ij1 δRi , j + (−min , k Э jkn + σ ij2 )δDij2 ]dV − ∫∫ min nk Э jknδDij2 dF == ∫∫∫ [(σ ij1 , j + PiV )δRi + (min , k Э jkn − σ ij2 )δDij2 ]dV + ∫∫ [( Pi F − σ ij1 n j )δRi − min nk Э jknδDij2 ]dF = 0В кинематических переменных (перемещениях и свободных дисторсиях)вариационное уравнение имеет вид:26222222211211BLVDmnRm , nj + CijmnδL = ∫∫∫ [(Cijmn, j + Pi )δRi + (Cijkmnl Dmn , lk − Cijmn Rm , n − Cijmn Dmn )δDij ]dV +221112BL)δDij2 }dF = 0)n j ]δRi + (−Cijkmnl+ ∫∫ {[ Pi F − (Cijmnnk DmnDmnRm , n + CijmnBLBL= CipmqЭ jkp Эnlq .Здесь CijkmnlТаким образом, формулировка теории ССД определяется двенадцатьюдифференциальными уравнениями второго порядка специального вида.Специальный вид определен тем, что дивергенция уравнений равновесиямоментов приводит к локальному закону сохранения σ ij2, j = 0 .

Следовательно,общий дифференциальный порядок будет ниже, чем в теории Миндлина.Спектр краевых задач определен девятью граничными условиями в каждойнеособенной точке поверхности. В этом не трудно убедиться, обративвнимание на то, что в возможной работе моментных силовых факторов наповерхности содержится только шесть из девяти слагаемых:∫∫ m n Э δD dF == ∫∫ m n Э δD (δ= ∫∫ m n Э δ ( D δink2ijjkninkjkninkjkn2im2im*mj+ nm n j )dF =*mj)dF + ∫∫ min (n j nk Э jkn )δ ( Dim2 nm )dF = 0Действительно, второй интеграл тождественно равен нулю в силу сверткисимметричного тензора n j nk с антисимметричным псевдотензором Э jkn .Таким образом, в фомулировках краевых задач «простейшей» теории ССДфигурируют только шесть неклассических граничных условий (в дополнениек трем классическим).1.7.Сравнительный анализ существующих градиентных теорий.Существующие градиентные теории можно разделить на две группы.В первую входят теории Тупина, Аэро-Кувшинского и Джеремилло.Во вторую – теории Миндлина, Коссера и сред с сохраняющимисядислокациями.Первая группа характеризуется тем, что27всетеорииэтойгруппыпостроены на основе классической кинематической модели – каждой точкесреды эти теории приписывают три степени свободы – компоненты вектораперемещений.

Соответственно, и уравнений равновесия в этих теориях три.Вторая группа, в противоположность первой, характеризуется тем, чтотеории этой группы построены на основе неклассической кинематическоймодели. Каждой точке среды эти теории приписывают дополнительныестепени свободы: в теории Коссера – это три компоненты псевдовекторасвободных поворотов, а в теории Миндлина и в теории ССД - трикомпоненты псевдовектора свободных поворотов и шесть компонент тензорасвободных деформаций. Соответственно, и уравнений равновесия в этихтеориях больше: в теории Коссера – шесть, в теориях Миндлина и ССД –двенадцать.Теория Тупина является наиболее общей теорией первой группы исодержит теории Аэро-Кувшинского и Джеремилло как свои строгие частныеслучаи.Теория Миндлина является наиболее общей теорией второй группы исодержит теорию Коссера и теорию ССД как свои строгие частные случаи.Таким образом, имеется возможность проводить сравнительный анализгрупп, сравнивая теории Тупина и Миндлина, как максимально общихтеорий в своих группах.Можно записать лагранжианы обеих теорий в унифицированном виде,записав потенциальные энергии в терминах стесненных Dij1 = Ri , j и свободныхDij2 дисторсий:В теории Тупина:111111UV = [Cijmn+ CijkmnlDij1 DmnDij1 , k Dmn,l ] / 2В теории Миндлина:111122222222Dij2, k DmnUV = [CijmnDij1 Dmn+ 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ Cijkmnl,l ] / 2Такой унифицированный вид позволяет придать потенциальной энергиидисторсий в обеих теориях общий универсальный вид:28pqq111122222CijmnDijp Dmn/ 2 = [CijmnDij1 Dmn+ 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn]/ 2p, q = 1,2В то же время потенциальные энергии кривизн нельзя записать подобным жеобразом.

Если все-таки сделать это:pqqpqqUV = [CijmnDijp Dmn+ CijkmnlDijp, k Dmn,l ] / 2Получится обобщение теорий Миндлина и Тупина одновременно (за счетпоявления слагаемых, билинейных по кривизнам разных сортов, связанныхсо стесненными и свободными дисторсиями):pqpqU V = [CijmnDijp Dmnq + CijkmnlDijp, k Dmnq , l ] / 2 =111222111222= [CijmnDij1 Dmn1 + 2CijmnDij1 Dmn2 + CijmnDij2 Dmn2 + CijkmnlDij1 , k Dmn1 , l + 2CijkmnlDij1 , k Dmn2 , l + CijkmnlDij2, k Dmn2 , l ] / 2Если лишить такую обобщенную среду части своих механических свойств,12221222, Cijmn, Cijkmnl, Cijkmnl, получим теорию Тупина, какположив нулю тензоры Cijmn1112строгий частный случай, положив нулю тензоры Cijkmnl, получим теорию, CijkmnlМиндлина, как другой строгий частный случай.Таким образом, постулировано обобщение всех известных градиентныхтеорий, которое содержит их как свои строгие частные случаи.29ГЛАВА 2ОБЩАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ ДЕФЕКТОВВ Главе-2 изложена общая кинематическая теория дефектных сплошныхсред, позволяющая сформулировать условия существования дефектовразличного типа, их зарождения и исчезновения.

Исследование кинематикидефектов является основным этапом в формулировке феноменологическихмоделей теории дефектных сред и составляет наиболее важный элемент вприменении вариационных методов при построении соответствующихмоделей. Действительно, знание кинематики дефектов позволяет установитьнеобходимыйсписокнепрерывныхаргументовдлякорректнойформулировки лагранжиана.

Особое значение данного исследования состоит,в частности, в том, чтобы установить связь между кинематическимимоделями сплошной среды с полями дефектов и известными градиентнымимоделями сред.2.1.РассмотримКинематика сплошных бездефектных средкинематическиесвязимеждудвенадцатьюзависимымистепенями свободы γ ij , θ , ω k и Ri , которыми наделен произвольновыбранный бесконечно малый параллелепипед [8].Запишем кинематические связи в форме расширенных соотношений Кошидля компонентов тензора дисторсии:∂Ri1= γ ij + θδ ij − ω k Эijk∂x j3(2.1)Здесь, как обычно по повторяющимся индексам осуществляется свертка, Ri вектор перемещений, x j - радиус-вектор точки среды, γ ij — компонентытензора девиатора деформаций, θ -объемная30деформация,ωk-псевдовектор поворотов или упругих вращений, Эijk - компоненты тензораЛеви-Чивиты, δ ij - тензор Кронекера.Представление (2.1) соответствует разложению тензора второго ранга насоставляющие: девиаторную часть, шаровой тензор и ротор.

Интегрируясоотношение (2.1) от фиксированной точки M 0 до произвольной точки M x ,получимRi = R +0iMx∫ [γ1+ θδ ij − ω k Эijk ]dy j .3ijM0(2.2)Здесь dy j - элемент выбранной траектории интегрирования, Ri0 - значениевектора Ri в точке M 0 . Условия существования криволинейного интеграла вформуле (2.2) запишутся в виде:∂ω i ∂γ βj1 ∂θ=Эαβi +Эαij∂x j∂xα3 ∂xα(2.3)Роль этих уравнений впервые оценил Папкович [9], обративший внимание нато, что в односвязном теле они являются необходимыми и достаточнымиусловиямисуществованияутензорадисторсии1Dij = γ ij + θδ ij − ω k Эijk3векторного потенциала Ri . Поэтому соотношения (2.3) названы уравнениямиПапковича.

Интегрирование соотношения (2.3) дает следующее равенство:Mxω =ω +0ii∫M0(∂γ βj∂yαЭαβi +1 ∂θЭαij )dy j .3 ∂yα(2.4)Здесь ω i0 - значение псевдовектора ω i в точке M 0 . Соответственно условиясуществования криволинейных интегралов (2.4), приобретают вид∂21(γ βµ + θδ βµ )Эαβi Эmµj = 0 .∂x j ∂xm3(2.5)Соотношения (2.5), обеспечивающие непрерывность упругих поворотов,являются уравнениями совместности Сен-Венана. Предложенная формазаписиуравненийнеразрывностипозволяетразрешитьпоследниеотносительно производных от объемной деформации в явном виде, выразив31их через компоненты тензора-девиатора деформаций:1 ∂ 2θ∂21=( γ αβ δ ij + γ mµ Эαmi Эβµj )3 ∂xi ∂x j ∂xα ∂xβ 2.(2.6)Систему уравнений (2.6) можно проинтегрировать в квадратурах:Mx∂21θ = θ + θ i ( xi − xi ) + 3 ( xi − yi )( γ αβ δ ij + γ mµ Эαmi Эβµj )dy j∂yα ∂y β 2M000∫(2.7)0Здесь θ 0 и θ i0 - значения θ и ∂θ / ∂xi в точке M 0 , xi0 - координаты точки M 0 .Необходимыми и достаточными условиями (для односвязных сред)интегрируемости системы (2.6) являются, новые уравнения совместноститретьего порядка, записанные относительно только компонент тензорадевиатора деформаций:∂31( γ αβ δ ip + γ mµ Эαm i Эβµp )Э pqj = 0∂xα ∂xβ ∂xq 2(2.8)Полученная система уравнений совместности представляет собой тензорноеуравнение второго ранга, ненулевые компоненты которого составляюттензор-девиатор.

Так как тензор-девиатор имеет только пять линейнонезависимых компонент, дальнейший поиск квадратур не имеет смысла,потому что для построения следующей квадратуры потребовалось бы десятьуравнений для определения третьих производных хотя бы одной функции.Преобразуем (2.2) таким образом, чтобы под знаком криволинейногоинтеграла осталось выражение, определяемое исключительно деформациямиизменения формы.