Автореферат (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 7

Этими слагаемыми обычно пренебрегают в технической теории стержней. Устанавливается, что явная формула при комбинированной деформации изгиба, кручения28и растяжения естественно-закрученных многослойных стержней может быть выведена из полной системы дифференциальных уравнений объемной задачи теорииупругости путем приравнивания работ внешних и внутренних сил и интегрирования по всему поперечному сечению многослойного стержня. Результирующие соотношение для крутящего момента содержит два слагаемых, первое из которыхсвязано с искажением первоначально плоской формы поперечных сечений, а другое обусловлено локальными поворотами, возникающими при изгибе, когда упругий центр и ось предварительного закручивания не совпадают.Как видно из подробного обзора исследований, посвященных закрученнымизотропным стержням, проблема составных закрученных стержней была малоизучены, решения в которых не были доведены до практического использование.В связи с этим, получена приближенная теория закрученных многослойныхстержней произвольного сечения основана на определенных гипотезах, позволяющих разделить компоненты напряжений и деформаций на главные и второстепенные (влияние не более 5%, п.1.4), которыми в ряде уравнений пренебрегается.Таким образом, в развитие работ для изотропных стержней деформации  ki 3определяются суперпозицией трех типов деформации  k03i ,  kci3 и Эkji .Здесь предложены новые кинематические соотношение   (9) более полноотражающие влияние начальной закрученности 0 и деформации кручения  наНДС стержня.

При вычислении  считались малыми члены, содержащие параметр  в третьей и более высоких степенях. Из условия равновесия элемента закрученного стержня при действии растягивающей силы Р, изгибающих Μ1, М2 икрутящего Мt моментов получена система разрешающих уравнений (п.3.2) относительно параметров деформации растяжения , изгиба 1 ,  2 и кручения  в виде:P  ( K  0.5 02 L )  q  s   ,(11)в котором вектор обобщенных сил Р={P, М2, М1, Мt} определяется через векторобобщенных деформаций   { ,  2 , 1, }, и векторы q , s , , устанавливающиевлияние поперечных сил, напряжений в плоскости сечения и температуры, когдаво всех уравнениях сохраняются только члены, содержащие 0 в степени, не вышепервой.

Компоненты матриц K, L и векторов q , s , , приведены ниже –NNk11    c1i cos  dFi ; k12     c1i cos dFi ;i 1FiNi 1FiNNk13    c1i cos  dFi ; k14   0   rp cos  dFi ; k 22     2 c1i cos dFi ;i 1Fii 1Fii 1FiNNNi 1Fii 1Fii 1Fik 24   0   rpc1i cos dFi ; k34   0  rpc1i cos  dFi ; k23    pc1i cos  dFi ;NNi 1Fii 1Fik33    2c1i cos  dFi ; k44   02   r 2 p 2c1i cos dFi  C0 ; k sj  k js ( j , s  1,4).29NNN00 20l11    c1i r 2 33cos2 dFi ; l12     c1i  33 cos2 dFi ; l13    c1ir 2 33cos2 dFi ;i 1Fii 1FiN0l22     2r 2c1i 33cos2 dFi ; l24  i 1Fii 1Fi1 N Ni2ccosdF;lc1i cos2 dFi ;1i3422   0 i 1 Fi 0 i 1FiNN1 Ni22 i 022 2 i 02ccosdF;lrccosdF;l  r c1 33 cos dFi ;1i 131 33i 332 0 i 1Fii 1Fii 1FiN N0i2l23     c1i 33cos 2 dFi ; l44   prc1 cos  dFi ; lsj  l js ( j, s  1,4); 0 i 1Fii 1Fil14 NNNNS1    Эсi dFi ; S 2     Эсi dFi ; S3    Эсi dFi ; S4   0   rpЭсi dFi .i 1FiNi 1Fii 1Fii 1FiNNNcicicicii 13i 13i 13i 13q 1    c35dFi ; q 2     c35dFi ; q 3    c35dFi ; q 4   0   r 2 c35dFi .i 1FiNi 1FiNi 1FiNi 1FiNi ii ii ii i1    33T dFi ; 2      33T dFi ; 3     33T dFi ; 4   0   rp 33T dFi .i 1Fii 1Fii 1Fii 1Fiгде N количество слоев в сечении.

Здесь приняты дополнительные обозначенияi cos   c35i cos  sin  ;   r 2   02 r 4 cos  ;c1i  c33iiiii Э11i Э23i Э13Эс  c13 c23i Э22 c33 c35, p   2 2 ,а также C0 - жесткость на кручение слоистого сечения, определенная по Сен1Ni)dFi .Венану (глава II) C0    ( iyz   xz i 1FiСистема уравнений (11) является нелинейной относительно компонент вектора обобщенных деформаций   { ,  2 , 1 , }.Максимальная деформация поперечного сечения  cij3 (j=1,2) может быть выражена через заданные поперечные силы Qj энергетическим методом (см. п.1.2), иопределяется из равенства, которые аналогичны следующим9 0.5 hсi j 3  Q j  N j , N j  6   [(h 2  4 z 2 ) 2 / ckki ]dz , (j=1, k=4), (j=2, k=5).4 h  0.5  hПолученные линейные относительно начальной закрученности соотношенияиз (11) не отражают такие общеизвестные факты, как зависимость жесткостистержня при растяжении, изгибе и кручении от начальной закрученности.

Этотнедостаток связан с формальным пренебрежением членами порядка 02 независимо от величины других членов. В формулах интегрального характера (11) рольотдельных членов дополнительно зависит от характера распределения напряжений izz по сечению. В связи с этим при интегрировании по сечению многослойного стержня выражения (11) следует рассматривать при сохранении всех членов , q , s ,  , в том числе, имеющие множитель 02. При этом три выражения систем(11) для Р, М1, М2 изменяются незначительно, а выражение Мt зависит от члена с30множителем 02, так как с увеличением закрученности повышается жесткость накручение С0 по Сен-Венану.При использовании КМ в закрученных стержнях появляется ряд дополнительных эффектов, связанных с возможностью варьирования типа и укладки арматуры в слоях, положения слоев относительно оси кручение, а также с малоймежслоевой жесткостью на сдвиг и структурной несимметричностью сечения.Поэтому, появляется возможность измерения обобщенных параметров системдифференциальных уравнений в рамках заданных условий нагрузки и геометриистержня (п.1.5).

В стержнях из слоистых материалов эта взаимосвязанность проявляется в большой мере из-за возможной структурной несимметричности. Так,например, в незакрученном стержне (0=0) параметры жесткости k4j (j=1,2,3) могут отличаться от нуля и в связи с этим появляется эффект кручения при простомрастяжении или изгибе.

Применение точной теории многослойных естественнозакрученных стержней произвольного поперечного сечения на базе общих уравнений теории упругости связано с большими математическими трудностями иприводят к сложным решениям, и поэтому этот путь для разработки практическихметодов расчета не рационален.По найденным величинам  сij3 вычисляются компоненты вектора q в слое i. Вэтом случае основные деформации в поперечном сечении  описываются выражениямиii 33  b     2  1   0r 2 ,  23  0 sin    b  Q2  N 2 ,i13  0 cos    b  Q1 N1 ,   0 ,в которых слагаемые QjNj (j=1,2) есть поперечные силы.

С принятой точностьюдля напряжений в сечении  получаются следующие соотношения:ii iii  c15i  0 cos )  c15i Q1N1  11i Q2 N 2.11  b (c13T , 12 c44i  0 sin    b  c46ii ii  0 cos )  c25i Q1N1   22 22  b (c23i  c25T ,iii  c35i  0 cos  )  c35i Q1 N1   33 33  b (c33T i,(12)iii ii  c55i  0 cos  )  c55i Q1N1  13 23  b 0 c44i sin   c44i Q2 N 2 ,  13  b (c35T ,Характерной особенностью приведенных уравнений, связанных со слоистойструктурой стержней, является то, что параметры c1i меняются от слоя к слою идля вычисления параметров жесткости kmn (n,m=1,4) используются специальносозданные на основе соотношений (11) программы.

Кроме того, из-за измененияiориентации слоя i относительно системы координат параметры упругости сmnявляются переменными. Следует отметить, что взаимосвязанность растяжения, изгиба и кручения являлось предметом многочисленных исследований. Однако восновном они касались стержней из изотропных материалов. В стержнях из слоистых материалов эта взаимосвязанность проявляется в большой мере из-за возможной структурной несимметричности.Из условий  02 r 2  1 ,  2  1 следует, что изменение основных напряженийиз (12) по длине стержня имеет порядок 0. Результаты, полученные в работе,31представляют теоретическую и практическую ценность при изучении поведения ипроектирования многослойных стержневых конструкций неоднородной структуры.

Вообще, задача сформулирована в более общем виде, учитывающем нелинейные деформации, эффекты поперечных сил, деформации в плоскости сечения итемпературы. Отличительной особенностью разрешающих уравнений для многослойного стержня является большая связанность деформаций растяжения , изгиба 1 ,  2 и кручения , чем в случае стержня из однородного изотропного материала. Только тогда, когда направления армирования всех слоев совпадают с направлением оси стержня, указанные уравнения расщепляются и становятся подобными уравнениям для однородного стержня. Достоверность уравнений приближенной теории закрученных слоистых стержней проверяется сопоставлениемих следствий с известными соотношениями для некоторых частных случаев, атакже сравнением результатов расчета с экспериментальными данными (п.3.4)(рис.11, 12).абРисунок 11 - Сравнение расчетных углов упругой раскрутки (  , к , к 1 , к 2 , к 3 ) закрученных образцов прямоугольного сечения с экспериментальными (о) значениями.