Автореферат (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 4

Перемещения любой точки слоя і сечения определяются линейными и угловыми перемещениями в выбранной характерной точке игипотезами о поведении выбранной характерной точке слоя и гипотезами о поведении сечения при деформировании многослойного стержня. После введения таких гипотез трехмерная задача о деформации многослойного стержня сводится кодномерной задаче определения компонент перемещений характерной точки слоясечения, которые являются функциями координатыzи задаются в видеai Mu i  33 i 2 (l  z ) 2  y (l  z )  U i ( x, y ),2J2i M t  a33i M 10.5a35v (l  z ) 2  x(l  z )  V i ( x, y ),i2 J1i 0.5a35i M t  a33i M 1i M 2ia33a33wi  yxFiJ1iJ 2i(1)P  (l  z )  W i ( x, y ),Здесь U i , V i , W i - некоторые подлежащие определению функции координат слоясечения ху;  - относительный угол закручивания на единицу длины стержня;  длина стержня; J ki   xk2 dFi (k=1,2) - главные моменты инерции поперечного сеFчения i-го слоя; Fi - площадь сечения i-го слоя; P , M 1, M 2 , M t - силы и моменты,действующие в поперечном сечении стержня.

Формулы (1) показывают, что скручивающие моменты вызывают также и изгиб, а изгибающие – не только изгиб, нои закручивание и проекция изогнутой оси на главные плоскости xz, yz будут равны14i M 2i M t  a33i M 1a330.5a352 (l  z ) ,  (l  z ) 2 .ii2J22 J1Уравнения равновесия для каждого i-го слоя могут быть приведены к видуi  2U i 2c12i  c66i  2V i 2U i c66 i Z1i ( x, y ),22ixy yx2c112c112 i Vy 2ic662c22i2i Vx 2i2c12i c66i2c222i(2) V Z 2i ( x, y ).xy 2W i c44i  2W i i Z 3i ( x, y ) ,22 yxc55(3)Здесь функция Z ij ( x, y ) (j=1,2) определяются следующими соотношениямиZ1i ( x, y)  Z 2i ( x, y ) Z 3i ( x,2 i2 ii a33ic131i  Wi  WM(cc),21546i J 2iic11c11x 2y 22 ii M t  a33i M1C23i0.5a351iiii  W[(cc)(cc)],25462546xyiс22i J1ic22i a33ii  2U i c46i  2U i c46i  2c32i  2V i2c352c15y)  i i M 2  i i.xy J2 x 2 y 2ic55c55c55c55Специальная форма уравнений равновесия (2), (3) относительно составляющих U i , V i , W i перемещений u i , vi , wi (i  1,2,..., N ) выбрана с целью перенестивправо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольно-поперечных деформаций.

Действительно, если cji5  c46i  0 ( j  1,2,3) , что реализуетсяпри  i  00 или  i  900 , то  i  00 , Z 3i  0 , а Z1i , Z 2i зависят только от изгибающих моментов М1, М2, обуславливая возможность по раздельного определенияфункции W i и функции U i , V i ( i - угол армирования слое i). Дифференциальные уравнения (2), (3) должны быть решены при заданных условиях на боковойповерхности стержня, а также на его торцах.

В сечениях стержня должны выполняться условия непрерывности перемещений U i , V i , Wi при переходе от слоя кслою.В отличие классической теории тонких изогнуто-закрученных стержнейКирхгофа-Клебша решение сводится к системе дифференциальных уравнений спараметрами, учитывающих особенности на границах раздела слоев. Если плоскость поперечного сечения многослойного стержня не является плоскостью упругой симметрию, этот стержень будет испытывать более сложную деформацию,которая называется обобщенным кручением.

Деформация обобщенного крученияхарактеризуются не только искривлением сечения и поворотом его вокруг оси,параллелььной геометрической, но также и изменением формы в плане сечения и15искривлением самой оси. В этом случае все шесть составляющих компонент напряжения, отнесенное к системе координат z, совпадающей с геометрическойосью z, не равны нулю. Поэтому, в приближенной теории закрученных стержнеймногослойного произвольного сечения, основанной на определенных гипотезах,разделяют компоненты напряжений и деформаций на главные и второстепенные,которыми в ряде уравнений можно пренебречь.

Считая многослойный стерженьдостаточно длинным, принимаем, что объемные силы и нагрузки на поверхностиприложенные по торцевым плоскостям приводятся к статически эквивалентнойпродольной силе Р, изгибающим М1, М2 и крутящему моменту Мt.Так как стержень из КМ имеет многослойную структуру, то для него возникает специфическая для армированных стержней задача – задача укладки в сечении слоев постоянной толщины. Так как размеры сечения могут меняться вдольдлины стержня, то и число слоев в каждом сечении будет различным. Расположение отдельных слоев в сечении стержня определяется толщиной монослоя лентыили ткани и наружной конфигураций сечения.

В работе предложен оригинальныйалгоритм расчета координат, оформляющие отдельные слои для стержня произвольного сечения. Предложен алгоритм и он реализован для расчетов в виде пакета программ на языке FORTRAN. Наиболее сложным в алгоритме является процесс построения начала и конца каждого слоя. Такие построения проводятся дляряда следующих друг за другом сечений (см. рис.1). Взятые из разных сеченийкоординаты начала и конца одного слоя образуют координаты одного лепестка,т.е.

решена сформулированная задача раскроя слоев ленты, ткани (см. рис.2).В п.1.8 рассматривается задача о кручении многослойных призматическихстержней прямоугольного сечения, составленного из ортотропных материалов.Оказалось, что для призматического стержня прямоугольного поперечного сечения, составленного из различных ортотропных слоев, существует аналитическоерешение С.Г.Лехницкого - задача о чистом кручении, удовлетворяющие условиясплошности на поверхности контакта слоев. Однако в работе С.Г.Лехницкого небыл проведен анализ решения для многослойного стержня.

В связи с этим на основе составленной программы расчета всесторонне исследовалась распределениекасательных напряжений, перемещении в отдельных слоях и на поверхностях ихконтакта в зависимости от механических характеристик материала этих слоев.В работе С.Г. Лехницкого для многослойного стержня прямоугольного сечеiния касательные напряжения  xz,  iyz , функция кручения  i ( x, y ) и жесткость накручение С в слое i определяются из соотношений 8c , i a 8 f akxkxi*i*i xz   ( 44BB)cos,[(A1)A]sinkikiyzkiiki2 22 2aak 1,3 k k 1, 3 k 8a 2akx, ( x, y )    [ 3 3 Aki Aki* ] coskf iak 1,3 k  iiС  [k 1, 332a 3 N i2a4a 3 Nc(hth(/2)) 44 i cki ] .i,kkik 4 4 i 1k 3 3 i 1(4)16i - модули сдвига i-го слоя в плоскости уz и xz соотЗдесь h=bi-bi-1 толщина, c44i , c55ветственно, bi - расстояние от оси x до линии раздела слоев с номерами i-1 и i; a ширина стержня;  - относительный угол закручивания на единицу длины стержня.Рисунок 1 - Построенные слои поперечныхсечений компрессорной лопатки; номераРисунок 2 - Лепестки а) спинки б) корытцакомпрессорной лопатки.сечений лопатки соответствуют сечениям, извосьми сечений удаленным от ее корневого сечения.Численное исследование задачи о кручении составных стержней прямоугольного сечения показывает существенное изменение напряжений и перемещений при переходе от слоя к слою.

Обеспечение непрерывности касательного напряжения yz на границах контакта слоев приводит к возможности разрушенияслоев с низкой сдвиговой прочностью и, следовательно, к дальнейшему уменьшению их вклада в жесткость на кручение стержня и последующему повышениюскачков напряжения хz (см.рис.3) и перемещения w (см. рис.4), а так же градиентов напряжений yz (см.рис.4).Увеличение межслоевой прочности КМ является основным способом обеспечения целостности и работоспособности стержней из КМ, а также их надежностии эффективности.

Проведенный анализ позволяет дать оценку работоспособности17анизотропной слоистой конструкций при кручении в целом в зависимости от напряженности отдельного слоя.а)б)Рисунок 3 - Распределение касательных напряжений хz в сечении 29-ти слойного стержня с ортотропными (углы армирования 45°, 30°, 15°, 0°, случай а) и изотропными (случай б) наружнымислоями. 0 центр сечения, а/2 - полусторона прямоугольника.а)б)Рисунок 4 - Распределение осевых перемещений W и касательных напряжений уz в сечении 29-ти слойного стержня с ортотропными (углы армирования 45°, 30°, 15°, 0° относительно центра кручения) внутренними слоями.