Глущенко А.Г., Головкина М.В. Физические основы волоконной оптики (2009), страница 11

Основные параметры оптических волокон и значения нормированной частоты V (значения, приведенные в [3] дляволокон производства фирмы Corning).. Одномодовое волокно имеет значительно меньший диаметр сердцевины по сравнению с многомодовым и, как следствие, из-за отсутствия межмодовой дисперсии, более высокуюпропускную способность.

Большинство устройств волоконнойоптики используют область инфракрасного спектра в основномна трех длинах волн: 850, 1310 и 1550 нм.В таблице 9.2 приведены основные параметры некоторыхоптических волокон. Как видно из этой таблицы, в одномодовомволокне SF при длине волны 1550 нм выполняется критерий(9.4), и поэтому распространяется только одна мода. При длиневолны 1310 нм этот критерий не выполнен, что означает распространение нескольких мод на этой длине волны. Однако напрактике волокно помещается в кабель, который при прокладывании приобретает множество изгибов.

Искривление волокнаприводит к быстрому затуханию неосновных мод, поэтому надлине волны 1310 нм рассматриваемое волокно SF проявляет85себя как одномодовое. Однако для длины волны 850 нм критерий нарушается для всех типов волокон.ВыводыРассмотрено строгое решение уравнений Максвелла в оптическом волокне, выражающееся через специальные функции.Показано, что число мод в волокне определяется корнями функций Бесселя и рассчитывается через нормированную частоту V.Рассмотрены условия одномодового режима при распространении волны в оптическом волокне.Вопросы и задачи9.1. Влияют ли параметры затухающей волны, существующей воболочке, на волну в сердцевине волокна?9.2. Ознакомьтесь с решениями (9.6) и (9.7) волнового уравнения для ступенчатого волокна.

Почему их называют модами? Что такое мода? (см. лекцию № 6 и 5).9.3. Опишите вид волны в сердцевине, определяемой функциейБесселя? Как можно охарактеризовать волну в оболочке?9.4. При каком условии в оптическом волокне будет распространяться только одна мода?9.5. Что такое нормированная частота?9.6. Как можно рассчитать количество мод, распространяющихся в ступенчатом и градиентном волокне при большихзначениях нормированной частоты V?9.7. Определите число мод, которое будет распространяться вградиентном волокне с диаметром сердцевины 50 мкм идиаметром оболочки 125 мкм на длине волны 1310 нм.Показатель преломления сердцевины 1,490, показательпреломления оболочки 1,485.9.8.

Имеется ступенчатое волокно с показателем преломлениясердцевины 1,46; Δ = 0,27% . Найти диаметр сердцевиныволокна, в котором будет распространяться только однамода на длине волны 1550 нм.86ЛЕКЦИЯ 10Влияние межмодовой и материальнойдисперсии на распространение сигнала10.1. Межмодовая дисперсия в ступенчатом волокнеЛюбой световой импульс, введенный в волокно, состоит из рядалучей, которые распространяются и вдоль оси волокна и по траекториям, очень наклоненным к ней. Рассмотрим, следуя [1],два крайних луча (рис.10.1.). Луч 1 - осевой. Луч 2- распространяющийся подуглом θ кр , соответствующим полному отражению отграницы раздела с оболочкой. Пусть осевой луч №1пройдет путь L вдоль волокна.

На это он затратитвремяРис. 10.1.L L n1=.(10.1)vcЗдесь v - скорость света в сердцевине. Чтобы сместиться вдольоси волокна на то же расстояние, наиболее наклонный луч №2должен пройти путь L / cos θ кр . На это он затратит времяt1 =t2 =L n1L n 12L==.cos θ кр v cos θ кр c n 2 c(10.2)Таким образом, лучи, введенные в волокно одновременно,пройдя расстояние L, на выход придут с запаздываниемL n1 n1L n1 n1 − n 2− 1) =(.(10.3)c n2cn2В результате световой импульс, содержащий лучи под всемивозможными углами, окажется размытым во времени на величину, определяемую выражениемΔt = t 2 − t 1 =87Δt n 1 ( n 1 − n 2 )=.(10.4)L cn2Такое уширение светового импульса при его распространении, возникающее из-за того, что лучи в волокне распространяются под разными углами и проходят при этом разные расстояния, называется межмодовой дисперсией.Дисперсия Δt имеет размерность времени.

Обычно дисперсия нормируется в расчете на 1 км, тогда под названием "дисΔtнс, измеряемая в.персия" понимается величина τ mod =LкмТаким образом, межмодовая дисперсия для ступенчатого волокна рассчитывается по формулеn 1 (n 1 − n 2 ).(10.5)cn2Для стеклянного волокна без оболочки (показатель преломления n 1 = 1,5 ):τ mod =(1,5 − 1)Δt n 1 ( n 1 − n 2 )1,5нсмкс=== 2,5 = 2,58Lcn21мкм3 ⋅ 10 м / c.Покрытие сердцевины волокна стеклянной оболочкой с показателем преломления n 2 , лишь намного меньшим n 1 , приводит квозникновению трех эффектов:1) существенному уменьшению потерь в том случае, если покрытие имеет высокое качество и необходимую толщину;2) уменьшению межмодовой дисперсии;3) уменьшению вводимой в волокно мощности света (см.

(8.108.11)).τ mod =Пример. Рассмотрим ступенчатое волокно. Пусть n 1 = 1,5 ,Δn = n 1 − n 2 = 0,01 . Числовая апертура такого волокна: sin Ω m = 0,173 . Тогда доля мощности, вводимая в волокно от диффузного источника света равна88Ф= 0,03 (или 3%).Ф0Межмодовая дисперсия при этом равнаτ mod = 34 нс / км .Мы рассмотрели только такие лучи, которые проходят черезось волокна (так называемые меридиональные лучи). Обычно вволокне существуют также лучи, не проходящие через ось (косые лучи). Некоторые из косых лучей могут сохраняться в сердцевине волокна.

Однако на практике такие лучи быстро рассеиваются на изгибах и неоднородностях и покидают сердцевину,не внося большого вклада во временную дисперсию.10.2. Межмодовая дисперсия в градиентном волокнеСтрогое рассмотрение распространения света в градиентномволокне приводит к значительным математическим трудностям.Поэтому просто отметим, что применение градиентного волокнас показателем преломленияr2n (r ) = n 0 [1 − Δ ′ 2 ] , при r < a ,an − n2, можетгде n 0 - показатель преломления на оси, Δ ′ = 0n0устранить межмодовую дисперсию для меридиональных лучей.При этом лучи, идущие в волокне по разным траекториям ипроходящие при этом разный путь (см. рис. 8.10), затрачиваютна это одинаковое время, что и говорит об отсутствии межмодовой дисперсии. Временную дисперсию для косых лучей устранить невозможно.

Необходимо помнить также о том, что в любом случае дисперсия волокна не будет равной нулю из-за наличия материальной дисперсии.10.3. Материальная дисперсияМатериальная дисперсия - это зависимость показателяпреломления среды от длины волны (или частоты). В ре-89зультате наличия материальной дисперсии скорость распространения электромагнитных волн с различными частотами оказывается различной.

Результатом такой дисперсии являетсяуширение светового импульса при распространении в диспергирующей среде. Ниже будет показано, что те же самыепроцессы, которые приводят к зависимости показателя преломления от частоты, вызывают также и затухание в среде электромагнитных волн.При распространении электромагнитная волна, распространяющаяся в диэлектрике, поляризует его молекулы, в результатечего они или их электронные структуры начинают колебаться счастотой волны. При совпадении частоты электромагнитнойволны с собственной частотой колебаний отдельного атома илиэлектрона наблюдается резонанс, в результате чего электромагнитная волна испытывает сильное затухание.

Для того, чтобыисследовать теоретически зависимость показателя преломленияот частоты, достаточно найти зависимость от частоты для диэлектрической проницаемости ε . Показатель преломления связан с ε (см.1.22):n = εμ .Проведем теоретический расчет ε(ω) , следуя [11] и [1]. Рассмотрим сначала взаимодействие электромагнитной волны сотдельным атомом среды. Электроны, входящие в атом, можноразделить на периферийные или оптические и электроны внутренних оболочек.

На поглощение света оказывают влияниепрактически только оптические электроны. Для простоты предположим, что в атоме находится всего один оптический электрон. В классической теории дисперсии его можно рассматривать как затухающий гармонический осциллятор. Его колебанияописываются вторым законом Ньютона:m r ′′ = − k r ′ − g r + e E ,(10.6)где m - масса электрона, e - его заряд,r - радиус-вектор электрона,Fупр = − kr ′ - квазиупругая возвращающая сила, стремящаясявернуть электрон в положение равновесия,90Fтр = −gr - аналог силы трения. Учитывает потери на поглоще-ние света;Fк = e E - сила Кулона.Поделим (9.5) на m :eE.(10.7)mЭто уравнение вынужденных колебаний под действием силыКулона.

Здесьγ = g /( 2m) - коэффициент затухания,r ′′ + 2 γ r ′ + ω 02 r =ω 0 = k / m - собственная частота колебаний.Вообще говоря, правильную теорию дисперсии дает толькоквантовая механика. На самом деле квазиупругих сил и сил трения, пропорциональных скорости заряженных частиц, в атомахи молекулах нет. Однако квантовая механика дает поразительный результат: в отношении дисперсии и поглощения светаатомы и молекулы ведут себя так, как если среда представляласобой набор осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания, подчиняющихся законамзаконам Ньютона.Пусть на оптический электрон действует электрическое полеплоской волныE = E 0 e i ( ω t − k r ) = E (r ) e i ω t .(10.8)Амплитуда поля E(r ) меняется от точки к точке, однако мыпренебрежем этим обстоятельством.

Нас интересует частноерешение уравнения (9.6), представляющее вынужденное колебание осциллятора:r = r0 e i ω t .(10.9)Амплитуду колебаний r0 находим, подставляя (10.9) в (10.7).Если пренебречь отличием микроскопического поля от поля E ,то после подстановки получим:e/mr= 2E .(10.10)ω 0 − ω 2 − 2 i ωγ91Под действием поля электромагнитной волны среда поляризуются. При этом отдельный атом в электрическом поле Е приобретает дипольный моментp = er =где α =e2 / mω02 − ω2 − 2 i ω γE= αE ,(10.11)e2 / m- поляризуемость атома.ω 02 − ω 2 − 2 i ω γПусть N - концентрация атомов (число атомов в единице объема). Запишем вектор поляризации среды:P = NαE .Тогда вектор электрической индукции⎛Nα ⎞⎟ = ε ε 0 E . (10.12)D = ε 0 E + P = ε 0 E + N α E = ε 0 E⎜⎜1 +ε 0 ⎟⎠⎝Диэлектрическая проницаемость среды задается следующимвыражением:e2N⋅mε 0Nα.(10.13)ε =1+=1+ 22ε0ω0 − ω − 2 i ω γТаким образом, мы получили зависимость диэлектрическойпроницаемости от частоты, причем ε оказалась комплексной.Этого и следовало ожидать.