Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 7

л ~ л в Этим для всякого е>0 найдено число л,=лв(е)=1!е такое, что неравенство ~ — О~= — <з выполняется для всех л > лв, н мы доказалн равенство (2). Пример 7. Переменная примера 4 стремится к 1: Ит л =1. (3) л, э л В самом деле, составим неравенство Оно, как мы видели, выполняется для любого з > О, если л ) л,=1/е. Это доказывает равенство (3). Пример 8. Если !!д1<1, то 1нп д" О. В самом деле, пусть пока д~О. Неравенство ! д" — 0 ! = ! д' ! < з верно, если л!я(д! <1не, т. е.

если л > ~ =л,(е). !Ее !я!д! $ КЬ ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 34 Мы доказали (4) при 0 < )о) ( 1. Если о= О, то равенство (4) тривиально. Ведь в этом случае переменная д» есть постоянная, равная нулю: (0,0,0,...). Пример 9. Разложим положительное число а в бесконечную десятичную дробьл о = аа а,ааа» Для его и-й срезки оал~ — а а имеет место равенство 1йп аио=а. (5) В самом деле, )и — а»'(=0,0... Оаа+,аа+, ...

"10 ". » Раа Но если задать е > О, то Всегда найдется такое и„, что 10 "(е 1ап>п, (см, предыдутцнй пример, где надо считать о=10 '). Поэтому ) а — а'а') < е»ап > и„ и мы доказали (5). Замечание. Срезки а'"'(и=1, 2, ...) — рациональные числа. Из (5) следует, что всякое деастоитсяьнос число является пределом последовательности рациональных чисел. Таким образом, всякое иррациональное число можно приблизить рациональным числом с любой напередзаданной степенью точности, В силу этого свойства про множество (2 рациональных чисел говорят, что оно всюду платало в множестве )с всех действительных чисел.

Неравенство (х„— а) < е эквивалентно двум неравенствам — в<к„— а(е или а — е<х„<а+е, 2» Гл.е ПРедел последовлтельности что эквивалентно тому факту, что точка х„ принадлежит к е-окрестности точки а: х„Е(а — е, а+е) (см. т 1.!0). Тогда определение предела можно выразить следующими словами: число (точка) а есть предел переменной х„, если, каково бы нн было е > О, найдется такое число и„ что все точки х, с индексами и> и, попадут в е-окрестность точки а: х„~ (а — е, а+ е) (и > и,).

Очевидно, какова бы ни была окрестность (с, о) точки а, найдется такое е> О, что интервал (а — е, а+е) содержится в (с, д), т. е, (а — е, а+е)<" (с, й) (рис. 7). Поэтому тот факт, что х„- а, можно выразить еще и так: какова бы яи была окрестность (с, а) точки а, все точки х„, начиная с некоторого номера п, должны попасть в эту окрестность, т.

е. должно существовать такое число п„что х„Е (с, й) (и > и,). Что же касается точек х„ с индексами п(~п„то они могут принадлежать я могут не принадлежать к (с, й). Такам образом, если вне (с, а) имеются точки х„, то их конечное число. С другой стороны, если известно, что вне (с, й) имеется только конечное число точек хко хко ..., х„„то, обозначив Ф=п>ах(п„п„..., и,), т, е. максимум среди индексов и„..., п„мы можем сказать, что точки х„с индексом и > й попадут в интервал (с, й). Поэтому понятие предела можно сформулировать и так: переменная х„имеет своим пределом точку а, если вне юобой окрестности втой точка имеетсл конечное ахи пустое мпткество точек х„. Пример !О.

Переменная (( ()и.ь>) (( (6) ии к какому пределу не стремится. В 'самом деле, допустим, что эта переменная имеет предел, равный числу а. Рассмотрим окрестность этой точки в г ь понятие пгвдвлл посладовлтальности з7 Длина ее равна 273. Очевидно, что эта окрестность не может содержать в себе одновременно и точку 1, и точку — 1, потому что расстояние между этими точками равно 2 (2 > 273). Для определенности будем считать, что точка 1 не принадлежит к нашей окрестности.

Но х„=1 для и=-1, 3, 5, ..., т. е, вие нашей окрестности имеется бесконечное число элементов последовательности. е-г ее в' е е сс Х а Ф Рис. 7. Ра. а. Таким образом, точка а не может быть пределом нашей последовательности, и так как эта точка произвольна, то последовательность (6) не имеет предела. Теорема 1, Если переменнан х„имеет предел, то он единственный. В самом деле, допустим, вопреки теореме, что х„имеет два различных предела а и Ь. Покроем точки а, Ь соответственно интервалами (с, й), (е, )) настолько малой длины, чтобы зтп шггервалы не пересекались (рис. 81. Так как х,— а, то в интервале (с, И) находятся все элементы х„, за исключением кояечного нх числа„но тогда интервал (е, )) не может содержать в себе бесконечное число элементов х„и х„не может стремиться к Ь.

Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Теорема 2. Если последовательность (х„) сходится (навеет предел), то она ограничена. Доказательство. Пусть Игпх„=а. Зададим в = 1 и подберем натуральное п,=п,(1) так, чтобы 1 > ( х„— а ( (и > и,), но тогда ! > (х„! — (а( и выполняется неравенство 1+) а)> ( х„( для всех п> и,. Пусть М вЂ” наибольшее среди чисел 1+)а(, (х;), (х,(, ..., (х Тогда, очевидно,, М ~ ~! Х„( тГП Е 1ч. Теорема доказана. 38 ГЛ.

Е ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 3 а м е ч а н и е. Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости последова- тельности, но не достаточным, как показывает пример!О. 1 еорем а 3. Если переменная х, имеет не равный нул~о предел а, то найдется такое п„чи2о 1х,~ > )а)/2 для п > и„. Больше пюго, для указанных п, если а ) О„то х, ) а12, если же а <О, то х„(а12. Таким образом, начиная с некоторого номера, к„сохраняет знак а.

Доказательство. Пусть х„а. Тогда для е= = ~а~/2 должно найтись число и„такое, что 1а(12 > 1а — х„~ 1а~ — 1х„~ (п > п,), откуда 1х„~ ~а) —, —, и первое утверждение тео1а1 1а1 репы доказано. С другой стороны, неравенство 1а 112 > ) 1а — х, ~ эквивалентно следующим двум: а — — < х„< а + — (и > и,). 1а1 (а! Тогда, если а О, то и) я а 2 (п)пО) е 1и1 а если а<0, то х„< а+ —, =а — — „" = ~ (и > п,), )а1 и зтнм второе утверждение теоремы доказано.

Теорема 4. Если х„- а, у,— Ь и х ..у„для всех п=1, 2, ...,, то ае. Ь. Доказательство. Допустим, что Ь<а, Зададим 0 <е < (а — Ь)!2 и подберем числа Ж, и У2 так, чтобы а — е < х„(п > Фе)„у„< Ь+ е (п > М,): зто возможно, потому что х„- а, а у„- Ь. Если п,=-шах(2УИ У2), то, очевидно, у„(Ь+е< < а — е <х„(я» п„), и мы пришли к противоречию, так как по условию х„".'у„для всех п. Следствие. Юлй злементы сходяи1ейся последовательности (х„) принадлежат (а, Ь|„то ее предел также принад.2ежит (а, Ь). Д о к а з а т е л ь с т в о.

В самом деле, а " х„'" Ь. Если 1ппх„=с„то по теореме 4 а<с(ЬТ что и требовалось доказать. 5 2.2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМВННЫМИ ЗВ Замечание. Для интервала(а, Ь) для конечных а и Ь можно утверждать только„что если х„Е (а, Ь), то Иш х„ = сЕ [а, Ь). Таким образом, неравенства в пределе сохраняются нли обращаются в равенство. Например, х„= =1!(и+1) Е (О, 1), но с=ОЕ[О, 11. Теорема 5. Если переменные х„и у„стремятся к однол у и тому же пределу а и х„( г„< у„(п = 1, 2,... ), то переменная, г„также стреийтся к а. Доказательство. Задав е>О, можно найти М, и М2 такие, что а — е < х„(п > 12",), у„< а+в (и > Ж,), откуда для и > п,=шах(М„У2» а — е < х„г„"' у„< а+ а и г„— а»<е (и и ), что и требовалось доказать.

Теорема 6. Если х„- а, то»х„»- )а». Доказательство следует из неравенства Ц х„~ — ~ а ( ~ = е')х„— а», ф 2.2. Арифметические действия с переменными, имеющими предел Пусть х'„и у„обозначают переменные, пробегающие соответственно последовательности (х„» и [у„». По определению сумма х„+ у„, разность х„— у, произведение х„у„и частное х„!у„суть переменные, пробегающиесоответственно последовательности (х„+у„», (х„— у„», (х„у„», (х„~у„». В случае частного предполагается, что у„~ О для всех п=1, 2, ...

Если х„=с для и =1, 2, ..., то в этом случае пишут с ~ у„, су„, с/у„вместо х„-+. у„, х„у„, х„(у„. Справедливы следующйе утверждения: 1пп (х„~ у„) = 1пп х„З- 1пп у„, (1) 1ип (х„у„) = Ит х„ Ищ у„, , „ , (2) 1ип — "= —.", если Ищу„ФО. (3) Е„ 1ее у„ ' Эти утверждения надо понимать в том смысле, что если суи(ествуют конечные пределы х„и у„, то существуют также и пределы их суммы, разности, произведения и 40 Гл. е пяедел последовлтельности частного (с указанной оговоркой) и выполня2отся равенства (1) †(З). Доказательство, Пусть х„— а и у,— Ь.

Зададим е ) 0 и подберем п, так. чтобы ~х„— а~ <е/2, !у„— Ь) <е12 (и) и,). Тогда х".2.у") (а~Ь)~~<~х" а1+1у" Ь1< 2+ 2 е (и) и,), и мы доказали (1). Чтобы доказать (2), заметим, что ! х„у„— аЬ ~ = ~ х„у„— ау„-2- ау„— ПЬ ~ < < ~ х„у„— ау„(+ ! ау„— аЬ ( = ( у„~ ! х„— а ~ + ! а1'1у„— Ь1 (4) Так как у„имеет предел, то (по теореме 2 предыдущего параграфа) существует положительное число М такое, что 1у„~<М (п=!, 2, ...), (5) (а~ <М. (6) Подберем число и, так, чтобы 1х„— а~ <2М, 1у„— Ь1< 244 (п>п,).