Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 6

У полуинтервала (а, Ь) число а всегда конечное, а Ь может быть конечным и бесконечным (Ь< оо). Аналогично у полуинтервала (а, Ь) число а конечное или бесконечное ( — ос<а), а Ь всегда конечное. Если а и Ь конечны и а < Ь, то Ь вЂ” а называется длиной сегмента (а, Ь1, нли интервала (а, Ь), или полуинтервалов (а, Ь1,-[а, Ь).

Если а и Ь вЂ” произвольные точки действительной оси, то число ~а — Ь~ называется расстоянием между точками аиЬ. Произвольный интервал (а, Ь), содержащий точку с(а < с < Ь), мы будем называть окрестностью точки с. В частности, интервал (с — в, с+ в) (в ) 0) называют е.окрвстнсстью точки с. Пусть Х (х) есть произвольное множество действительных чисел. Говорят, что множество Х овраничвно $ ь!ь счктныв и нвсчвтцыв мпожястВА 29 сверху, если Э (действительное) число М такое, что УхЕ Х:: (М; ограничено снизу, если й число гп такое, что УхЕ Х: х> т; и ограничено, если оно ограничено как сверху, так и снизу.

Число М (пг) называется верхней (иивхней) границей множества Х. Число М называется также маясораитой множества Х. Можно еще, очевидно, сказать, что множество Х ограничено, если 3 число М > О такое, что УхЕХ: (х~~.М, так как неравенство (х( ~ М эквивалентно двум неравенствам — М и=х -".М, Если множество Х не является ограниченным, то его называют неограниченным, Его можно определить следующим образом: множество Х действительных чисел неограниченно, если тМ > О йх, Е Х: ( х, ~ > М. К этой формулировке можно прийти, исходя из правила построения отрицания данной логической формулы.

Примеры. Отрезок (а, Ь| есть ограниченное множество. Интервал (а, Ь) есть ограниченное множество, если а и Ь конечны, н неограниченное, если а= — оо или Ь=оп. $1,11. Счетное множество. Счетность множества рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Выше мы определили понятие равенства множеств. Для характеристики степени насьпценности бесконечных множеств элементами удобным является понятие эквивалентности множеств. Множество Х называется бесконечным, если Уп Е )ч*: в множестве Х имеются элементы, количество которых больше и.

Два множества А и В называют эквивалентными, и при этом пишут Л В, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (-+), т. е. существует такое правило, закон, по которому тга Е Л соответствует вполне определенный элемент Ь Е В. Прн этом в силу этого правила двум разным элементам ао а,Е А соответствуют два разньж элемента Ьо Ь,Е В и каждый элемент Ь4 В соответствует некоторому элементу а Е Л. Например, если А — множество точек на окружности радиуса г,  — множество точек на концентрической окружности радиуса Й > г, то очевидно, что А- В (рнс. 6).

Очевидно, что если А=В, то А В. гл.г, зввдзнив Если Х=(х) - Х=(а), то множество Х называется счетным. Естественно, что само множество натуральных чисел Х является счетным (соответствие устанавливается по схеме згз-зл). Множество всех четных натуральных чисел Х,= (2сг) эквивалентно всему множеству Х, причем соответствие устанав. у лнвается по схеме пз-з2п. Отметим, згто здесь Х,эьХ, Х,с=Х, Таким обрасс А Ю мгьс, истинное подмножество (часть) множества оказалось эквивалентным всему множеству. Это свойство присуще только бесконечным множествам (его можно принять за определение беско.

печного множества). Из определения счетности множест- ва вытекает, что его элементы сложно перенумеровать с помощью натуральных чисел, поэтому счетное множество мы часто будем записывать в виде последовательности его злемеятов: Х=(х„х„..., х„, ...). Счетная (теоретико-,ссножесссгяаяная) сумма Е= () Е"=Е'+Ез+... з=г счетных (али конечньсх) лсножеста Е" есть счатнсм множесягво. В самом деле, запищем элементы х) Е Е' (/=1, 2„...) в виде таблицы: Ез= (х,', хг„хз Е' = (х',„х'"„х'„'..., ), Перенумеруем их в следующем порядке з г з з Хзз Хзз' Хг~ Хзз Хзз Хзз Хзз выбрасывая, однако, на каждом этапе нумерадии те элементы, которые уже были занумерованы на предыдущем этапе: ведь может случиться, что Е» и Е' имеют общие элементы. В результате получим бесконечную последовательность элементов (у„у„у„,), очевидно, исчерпывающих множество Е. Это доказывает„что Š— счетное множество, з 1.11. счнтныв и несчнтныв мнохснстнд 21 Аналогично доказывается, что конечная сумма Е = = Е'+...

+Ем счетных или конечных множеств, среди которых есть хотя бы одно счетное, счетно. Т ео р е м а 1. Мнозкество всех рад испольных чисел счетно. До кавите л ьст во. Рассмотрим сначала положчтельные рациональные числа ()+-— — (р!>)). Назовем натуральное число р+о высотой рационального числа руд. Пусть А„— множество всех рациональных чи ел с высотой, равной и.

Чпожества А„состоят из конечного числа зле>лентов (рациональных чисел), например А=й> А=~ —,~,А=~ —,—,~ А=' —,—,— ~, Легко видеть, что (е+= 0 А„ з=! Перенумеруем числа„записаннь!е в фигурных скобках слева направо, выпуская, впрочем, на каждом агапе нумерации те, которые были уже занумерованы на более раннем агапе. В результате получим последовательность 1 ! г =.1 г = —, г .=-2, г =- —., г =3, ! ь 3 2 з 4 3 ь Так как рациональных положительных чисел бесконечно много, то мы используем все натуральные числа.

Значит, (й+ счетно. Далее, очевидно, что (л == ~ — руг)) счетно. Позтому все множество рациональных чисел й == =(йе 00 0 (О!! так>не счетно. Теорема 2. Множес!ого асах Веесжвнжсльньи тсел несчатно. До каза тел ь ство. Длв доказательства достаточно установить, что множество действительных чисел интервала (О, 1) образует несчетное множество. Допустим противное, что интервал (О, 1) есть счетное множество, т. е. асе его то ~кн можно перенумеровать: о! пг хг=-о, а, аз х„ О, а, аз ьо гз! Ыо вто предположение противоречиво. В самом деле, построил вещестгенное число х=о,а,аз ..., где пифры аз подобраны так, чтобы О < а„< 9 н ач зь а,',"'. Ясно, что х Ч (О, 1), однако х нз совпадает ни с одним из чисел х, так как иначе должно было бы быть аа =а1,"'>, что не имеет места.

,— й,'. ГЛЛВА 2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ф 2,!. Понятие предела последовательности Пусть каждому натуральному числу и = 1, 2, 3, , по некоторому закону поставлено в соответствие действительное или комплексное число х„. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел х„ х„ х„, ... илн, короче, последовательность (х„( = (х„ х„ х„ ...(. Говорят еще, что переменная х„ пробегает вначения последовательности (х„1. Отдельные числа х„ последовательности (х„( называются ее элежеитала.

Надо иметь в виду, что х„и х при и~т считаются отличными как элементы последовательности, хотя не исключено, что как числа они равны между собой, т. е. может быть х„=х„. Если положить х„=у„п то последовательность (хп ха превратится во множество (Уо~ У~ У~ ° ° Ь которое в ч 1.6 тоже было названо последовательностью. В этой главе мы будем рассматривать последовательности действиглельиых чисел и это обстоятельство не будем оговаривать особо.

Примеры последовательностей: Г(Ример 1 '11 з з ( =( — ~ ° П р имер 2. ( —, 2, —, 2, ...)=(2~-~)" (. Ф к1, понять!в пгвдвлл послвдовлтальнссти зз 1, 2, —, 4, —, ° ° ~ =(~' и') ( ! 1 (О,, —,, ...1=( 1. (2, 5, 10, ...) =-(по+ !). ( — 1, 2, — 3, 4, ...)=(( — !)" п), Пример 3. Пример 4. Пример 5. Пример 6. В примере 2 переменная х„для четных и принимает одно и то же значение: 2 = хв = х, = х„= )х„— а! (в для всех (натуральных) и > и,, В этом случае пишут Иш х„=!пих„=а или х„— а в г и говорят, что переменная х„ или последовательность (х„! имеет предел, равньгй числу а, или стремится к а. Говорят также, что переменная х„ или последовательность !х„) сходится к числу а.

Если х„=а МпЕХ, то, очевидно, )пп х„=Ища а. Замечание. Если !Впх„=а, то !Ппх„+! — — а; и л Я. С. Вугров, С. М. Нвволвоввх Тем не менее мы считаем, что элементы х„х„... различны. Если все элементы последовательности (х„) равны одному н тому же числу а, то ее называют постоянног!. Легко видеть, что последовательности в примерах 1, 2 и 4 ограничень! (см. 3!.6).

В этом случае говорят также, что соответствующие переменные, пробегающие эти последовательности, ограничены. Что касается последовательностей в примерах 3, 5 и 6, то они неограничены. Однако последовательность з примере 3, очевидно, огра ничена снизу числом О, а последовательность в примере 5 ограничена снизу числом 2. Что касается последовательности в примере 6, то она неограннчена как снизу, так и сверху.

Введем понятие предела последовательности. О п р е д е л е н и е 1. Число а называется пределом последовательности (х„), если для всякого з>0 наИеп1ся (зависли(ее оп! а) число п„=п,(е) такое, что вьтолняепин неравенство гл.е пРедел послздовАтельности обратно. Это следует из того факта, что если !х„— а! е тл ) л„ то !хл+,— а! <е чл>л,— 1, н обратно, Переменная примера 1 имеет предел, равный 0: 1пп —.=- О, ! л-~ ы В самом деле, зададим произвольное е) 0 и решим не- равенство: 1 ! ! ! ! — — О ~ = — < е илн — < л.