Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 8

(7) Тогда из (4) — (7) следует, что гиг ме ~ х„у„— аЬ | < 2'М + — „(и > и,), Этим доказано равенство (2), Пусть теперь к условию, что х„— а и у„Ь, добавляется условие, что Ь ~ О. Тогда 1х„— а1 1Ь вЂ” у„1~ а1 -~ „ , . (в) Теперь уже удобно использовать теорему 3 предыдущего параграфа, в силу которой ~у„! > )Ь)/2 (п> М) (О) для достаточно большого М,. Зададим е > 0 и подберем Ф2 и Ф2 такие, чтобы 1х„— а~<а(Ь!/4 (п) Ф2), (10) - ~ а ( ~ у„— Ь1 < ЕЬ'~4 (и > М,).

(П) 4 Ее АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ 4! Тогда, положив а,= шах(Л'„й1„Жл), будем в силу (8)— (11) иметь 1: хл а! л!Ь! 2 л —" — ~ < — ° — -1--=е (л) а,), Ул Ь~ 4 !Ь) 2 что доказывает равенство (3). Заметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях равенств (1) — (3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы хл и ул. Например, если хл=( — 1)", у, =( — 1)л+', то хл и ул не имеют пределов, в то время как !!ш (хл+ул)=-0, 11шх„у„= — 1.

Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и частного во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли переменная предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другимя переменными, существование и величина пределов которых известны.

Однако часто встречаются случаи, выходящие за границы применимости доказаш!ых теорем, и здесь остается большое поле для инициативы математика. Пример 1. Пусть х„=1+д+... +д', )д) <!. Доказать, что ! !Ипхл =— л Имеем ! — д»~ 1 ! лл+Л х л Так как !ипил+'=0 при !д! < 1, то, применяя формулы (1), (2), получаем 1 1 л 1 ! ! ! 1йп х = Вш — — 1йп дл+' = — — — 0 = — .

л- л л-лл! 4 ! Чл л ! л ! 4 ! л В дальнейшем под символом 1+й+" +!!л+" ==Хо" л будем понимать 1пп ~~.", пь. Таким образом, л-лсо А=Ь Х л" 11шхллл ! ((д! <!). л ! л 42 ГЛ.Е ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ $2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины Переменная а„, имеющая предел, равный нулю, называется бесконечно малой величиной или., короче, бесконечно малой.

Таким образом, переменная а„есть бесконечно малая, если для любого г> О найдется п„такое, что )сс„! <е (п > пс). Нетрудно видеть, что для того, чтобы переменная х„ ссмгла предел а, необходилсо и достаточно, чтобы х„ = а+а„гдг а„есть бесконечно малая. Переменная р„называется бесконечно больиюй величиной или просто бесконечно большой, если для любого М > > О найдется такое п„что )(4„! > М (и > п,). При этом пишут !Нп !1„=- со, или !3„— оо и говорят, что (С„стремится к бесконечности.

Если бесконечно большая !$„, начиная с некоторого и„ принимает только положительные значения или только отрингтельные значения, то пишут !Нп !с„=+ со, или !)„— + оо, (2) соответственно Бш 3„= — оо, или !)ь - — оо. (3) Таким образом, из (2), так же как и из (3), следует (1). Пример переменной (( — 1)"и) показывает, что может иметь место соотношение (1), в то время как не имеет места нн (2), ни (3). Отметим следующие очевидные свойства: 1. Если переменная х„ограничена, а у„бесконечно большая, то х„(у„— О. 2. Если абсолютная величина х„ограничена снизу положиспвльн м числом, а у,— нг равная нулю бесконечно малая, то х„!у„- оо. Докажем только второе свойство, Дано, что для некоторого числа а > О имеет место неравенство )х„! > а (п=1, 2, ...) и для всякого г>О существует и, такое, что !у„)<е (п>~„), (4) Тогда з вл неопгздвлвниые выРАжзния 43 Зададим произвольное положительное число М и подберем по нему е так, чтобы М = а1е, а по в подберем такое я„ чтобы имело место свойство (4).

Тогда (х„/у„! > М (п>п,), что н требовалось доказать. Из высказанных двух утверждений получаются следующие следствия: !1ш — = О, 1йп — = (с ча О). в,~ ю уи чд->в!/и Отметим, что если последовательность (х„) неограничено, то оиа не обязательно бесконечно большая. Например, последовательность (гй-и") =) 1, 2, —, 4...,) неограпичена, но она пе является бесконечно большой, так как в ней имеются как угодно малые члены с каки;1 угодно болыпим (нечетным) номером. 3 а м е ч а и и е.

Любая не равная нулю настоянная величина (последовательность) не является бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой янляется только одна — равная нулю. Гели про некоторую величину известно, что она постоянна и ее абсолютная величина меньше любого положительного числа е, то оиа ранна нулю. Теорема 1. Произведение бесконечно малой последа. вательности на оераниченную является бесконечно шалой яоследовптельностью, т; е. если Ишх„=:О и (д„)~М вп~ Н, то 1ппх„у„=О. В самом деле, зададим е > 0 и подберем и, так, чтобы ! х„! < е(М вп > и,.

Тогда (х„у„— О(=(х„(! у„! ММ=а ч!и > я„ что и требовалось доказать. $ 2.4. Неопределенные выражении 1. Пусть 1ппх„=!пну„=О (у„чьО). Рассмотрим последовательность (х„(у„). О пределе атой последовательности заранее ничего определенного сказать 44 Гл. ь пгедел последовьтельиости нельзя, как это показывают конкретные примеры. 1 ! х„ если х = — у = — — то — "=и — +со при и- оо: и П! и и! 1 хи если х = — у = — то — "= — — О при и — оо; и Пи! и а 1 хи если х = — у — то — =а- а при и- оо; и „! и „! ( — !)и если х = — у = — то — и=( — !)и и предел л ! и и 9 и этой последовательности не существует. Такиы образом, для нахождения предела (х„)у„) не- достаточно знать, что хи- О, уи — О.

Нужны еще допол. нительиые сведения о характере изменения хи и уи. Для нахождения этого предела в каждом конкретном случае требуются специальные приемы. Говорят, что выражение х„!у„при хи - О, у„О представляет собой неопределенность вида /Ох (,оу' 2. Если хи оо, уи — оо, то выражение х„/у„также представляет собой неопределенность и ее называют не- определенностью вида ( — ) .

3. Если хи- О, уи- оо, тодля выражения хиуи полу- чаем неопределенность вида (О оо), 4. Если хи +со, у„— + — оо, то выражение хи+у„ представляет неопределенность вида (оо — оо). Для каждого из отмеченных случаев можно привести примеры. Раскрыть соответствующую неопределенность — зто значит найти предел (если он существует) соответствую- щего выражения, что, однако, не всегда просто. Пример 1.

Если хи =а и +... +а!и+а„ у„=Ь,п'+ ..;+Ь,п+Ь, (а чьО, Ь!+й), то при и оо для выражения х„/у„мы имеем неопреде- ленность вида ® . Раскроем эту неопределенность, а) Если (=т, то, деля числитель и знаменатель нап, получаем вь а ь 'Г 4 Зэ. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 45 при п оо, т. е. 1пп(х„!у„)=а !܄— отношению коэффициентов при старших степенях а в выражениях для х„ и у,. б) Аналогично можно показать, что при т ) 1 (пп(х„!у„) = со, а при т <1 !Нп(х„/у„) =О.

Пример 2. Если «„=~l и+1, у,=)!и, то при а- о для выражения х„— у„имеем неопределенность вида (оо — оо). Раскроем эту неопределенносты х„— у„= г' а+1 — р' и= (г' и+ 1+ г' и) = — О Т' в+1+ Г' в Уз+1+ )г в при а оо, Значит, 1пп (г'а+1 — г' и)=О. й 2.5. ййонотонные последовательности О п р еделен и е. Последовательность (х„) называется неубывающей (нгвозрастающей), если эгп Е Ь! справедливо неравенство «л «» хи+1 (хп ~ ~хи+1). Если на самом деле выполняются строгие неравенства х„< х„+, (х„) х„+,), то последовательность (х„) называется строго возрастающей (строго убывающей) илн просто возрастающей (убывающей), Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие н невозрастающне называются молотонныз!и, Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки х,«х,....<х„..«„„~... (х, ~ гх,~~...~х, эх„+,)...), откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая — сверху, Примеры: ! 1 1 ! 1) ~1, !, —, —, ..., —, —, ...~ — невозрастающая последовательность.

2) (п') — возрастающая последовательность. Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последователю|ость чисел всегда имеет предел. В нашем изложеняи (в $1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств— свойство Ч вЂ” множества действительных чисел. 46 ГЛ.З.

ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 1. Если последовательность действительных чисел аы а„а,„ (1) !Пп а„=а<М л+ээ (2) соответственно Ит а„= а т). ( л-эФ Доказательство, Пусть последовэтельность (1) неубывает и пусть пока а, > О, тогда и все ал > О (я=1, 2, 3, ...).

Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную десятичную дробь: ал = а„э,а,лалэа э (л = 1, 2, ...). (3) Так кэк последовательность (а„) ограничена сверху числом М (а„щ л~ М) и не убывает, то на основании леммы 2 б 1.б деслтнчкые дроби (3) стабилизируются к некоторому числу а ~ М: ал ~ а =уэ,уэуэ"- но тогда а„ стремится к а кэк к своему пределу: !нп ал=а. л-эф В семом деле, для любого г найдется натуральное щ такое, что 1О" л < е. Так кэк ал стабилизируется к а, то алл рэ Тэ ° ума, э+зал, мээ ° для всех л > лэ, где ле достаточно велико, но тогда )а — ал1=а — алч О, О...ОУ,„+тУ„,ьэ... «а10 'л < в (л > ле), лэрвэ т.

е. ал а прн л — оэ. Если а,ело, то прибавим к аэ число с настолько большое, что аз+с > О, и положим Ьл=а„+с (а=1, 2, ...). Последоеателыэость (Ьл) йе убывает, ограничена сверху числом М+с и ее элементы положительны. Поэтому по доказанному выше существует предел Еш Ьл=Ь~М+с, ио тогда существует также э+- предел Ещ а„=да (܄— с)=Ь вЂ” сл М, и теорема доказана для прол л извольиой неубывающей последовательности. Если теперь последовательность (а„) не возрастает н ограничена снизу числом щ, то последовательность чисел ( — ал) не убывает и ограничена сверку числом -щ, н на основания уже доназенного не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (сливу) числом М (соответственно т), то существует дгйслзвительное число а, не превышающее М (не меньшее т), ккоторому эта последовательность стремится как к своему пределу1 В З.з.

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ еу СущсотнуЕТ ПрЕдЕЛ 1!Н1 ( — и„) = — аеп — ЛС, Ка~арЫй МЫ абаЗНЗЧИЛИ арф через — о. Следовательно, суитествует также 1пи о„= — !ии ( — ое)= ч е-~а = — ( — а)=а=ею. Теорема дакзззна. 3 з и е ч з и и е, Есзи иоследавзтельнасть действительных чисел (а„) сходится, то нх десятичные разложения не обязвтельио стзбилизируются.