Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988)

ДопуиКгнв Миниспесрствои высшего и среднего спеииалвносо обраоованин СССР в кснеспие уч рника длн студентов инхенорло-тсенивескик спеииалониепеа вссов ИЭЛАНИЕ ТРЕТЬИ, ИСПРАВЛЕННОЕ МОСКВА НАУКА» ТЛАВНАЯ РВДАКНИЯ еРИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ !989 ББК 22.161.1 Б00 УЛК 517(075.8) Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшан математика. Лт»фференцкальнае и интегральное исчисление« Учеб,— 8-е изд., пснр.— Мл Наука. Гл. ред. физ.-мзт. лиг., 1988.— 432 с.

рецензент члсч корреспондент АН СССР С. И. Похршаез !702000000 — 038 3 88 Б 1ж31021-88 151!1т! 5- 02 — 013737 — 5 42 РГвхатевьстве «Наука». Главная редакция 4»и«иве.магм«ат»»«веков литературы 1рвв Учсбпкк вместе с двуыя другими книгами тех же авторов «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» н «Дифференциальные уравнения.

Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» соответствует програмие по высшей математике длл инженерно-техвнческнх спеш!альностей вузов. Книга содержит следуищне разделы: Введение в анализ. Дифференциальное н интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 1»нд»в. 1-е издание выходило в 1980 г., 2-е издание †!984 г.

Для студентов инжш»ерно.технических специальностей вузов. огллвлкние Предисловие 9 11 12 13 17 13 23 25 27 28 32 32 63 63 74 94 Глава 1. Введение . 5 1.1. Предмет мнтематики. Переменные и постоянные величины, мнолгества 6 1.2. Операции над множестпамн . а 1.3. Символика математической логики 1.4. Действительные числа !.5. Определение равенства и неравенства 5 1.6. Определение арифметических действий $ 1,7.

Основные свойства действательных чисел 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа 1,9. Неравенства для абсолютньгх велачиа . 1.!О. Отрезок, интервал, ограниченное множество . 5 1.11. Счетное множество. Счетность множества рапнональных чисел. Несчетность множества действительных чисел Глава 2. Предел последователаиостн 5 2.!. Понятие предела последовательности 6 2.2.

Арифметические действии с переменными, имеющими предел . ~ $2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины 5 2,4. Неопределенные выражения . — 5 2.5. Монотонные последовательности й' 2.6. Число е . 3 2.7. Принцип вложенных отрезков. 5 2.8. Точные верхняя и нижнян грани множества .

5 2.9. Теорема Больцано — Венерштрасса 5 2.19. Верхний н нижний пределы з 5 2.1!. Условие Коши сходимостн последовательности 5 2.12. Полнота н ьепрерьгвкзсть мникества действнтезьных чисел — Г л а на 3. Фунхцнж Предел функции б 3.1. Функция "й 3.2. Предел функции - й З.З. Непрерывность функции .

4 Здй Разрывы первого н второго рода й 3.5. Функции, непрерывные на отрезке 39 42 43 45 43 50 51 55 56 59 ОГЛАВЛЕНИЯ 9 3.5. Обратная непрерывная функция . 9 3.7. Равномерная непрерывность функции 9 3.8. Элементарные функции й 3.9. Замечательные пределы 4 3 1О.

Порядок переменной. Эквивалентность 98 !О! !ОЗ 116 119 Глава 4 123 123 127 133 136 137 138 140 144 И5 146 149 Г49 !66 !59 !64 167 171 176 177 18! 184 186 190 Глава !95 195 !99 205 209 212 2!4 217 9 5.2 9 5.3 4 5гй 9 5.5 9 5.6 й 5.7 Глава ,й ГгЪ.

22э 229 235 238 244 245 9 6.2 й 6.3 6,4 9 6.5 9 6,6 4 6.7 4 6.8 248 249 $ 4.!. 9 4.2. 2 4-3. 9 4.5. й 4.6. 9 4.8. йт 4.9. $ 4.!О 9 4.11 $ 4.12 9 4.13 ~ 4.!4' 9 4.16 9 4.17 9 4.18 $ 4.19 й 4,20 9 4.21 й 4.22 $ 4.23 Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1!ропззодная Геометрический смысл производной Пронзводиые элементарных функций .

Производная сложной функции Производная обратной функции Производные элементарных функций (продолжение) Лифферепцнзл функции Другое определение касательной . Провэаодная высшего порядка . Лкфферепцпзл высшего порядка. Инвариантное свойство дифференциала первого порядка . Дифференцирование параметрически заданных функций Теоремы о среднеи значении . Раскрытие неопределенностей Формула Тейлора Ряд Тейлора Формулы и ояды Тейлора элементарных функций Локальный экстремум функции . Экстремальные значения функции на отрезке . Выггуклогть кривой. Точка церегнба .. Асимптота графика функпин, Непрерывная н гладкая кривая ..

Схема построения графика функции ... Вектор-функция Векторы касательной и нормали 5. Неопределенные интегралы . Неопределеннмй интеграл. Тзбляца интегралов Методы ингегрнровапия Комгглеггсные числа Теория многочлена и-й степени . Лейсгвнтельный миогочлен л-й степени . Интегрирование рациональных выражений . Интегрирование иррациональных функций . б. Определеннмй интеграл Залачи, приводящие к понятию определеняого ин- теграла, и его определение . Свойства определенных интегралов .

Икгеграл как функция верхнего предела Формула Ньютона †Лейбни . Остаток формулы Тейлора в интегральной форме . Суммы Ларбу. Условия существования интеграла Иптегрнруемость непрерывных и монотонных функ- ций Несобственные иктегралы ОГЛАВЛЕНИ8 9 6.9. Несобственные интегралы от неотрицательных Функций .

$6.10. Интегрирование по частям несобственных интегралов $6.11. Несобственный интеграл с особенностями в нескольких точках 254 260 Глава 7. Приложения ивтеграэов. Приближенные методы . $7Л. Площадь в полярных координатах . а ' 7.2. Обьем тела вращения . 7.3, Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги . 7.4. Кривизна н радиус кривизны кривой. Ээолюта и эзольвента . 7.5.

Площадь поверхности вращении . 7.6. Интерполяцнонная формула Лагранжа . $ 7.7. Квадратурные формулы прямоугольников и транеций $7.8. Формула Симпсона . 263 263 264 265 273 277 279 282 285 Глава 8 333 336 342 343 347 350 357 365 365 367 370 37! 376 377 Глава $9.! э 92 ~ 9.3 5 9.5 4 9.6 $8.! . 1 8.3. $ 8.4. 5 8.5.

6 8.6. 4 8.7. 6 8.8. % 8.9. $ 8.!О Р 8.!1 5 8.12 ~ 8.13 9 8.!5 9 8.!9 , Дифференциальное всчисление функций многих переменных Предварительные сведения . Предел функции Непрерывная функция . Частные производные и производная па напраплсни!о Дифференцируемые Функции Применение дкфференцвала в приближенных вычис- лениях Касательная плоскость. Геометрический смысл диф- ференциала Производная сложной функции.

Производная по ка- п авленшо. Градиент, Х ифференцнал функции. Дифференциал высшего порядка Формула Тейлора . Замкнутое множество Непрерывная функция нз замкнутом ограниченном множестве . Зкстреиумы Нахождение наибольших и наименьших значеннй Функпнн Теорема существования неявной функции . Касательная плоскость н нормаль, Системы Функций, заданных неявно Отображения Условный (относительный! экстремум 9, Рялы Понятие ряда Несобственный интеграл н ряд . Действия с рядэмв . Ряды с неотрицательными членами Ряд Лейбница, Абсолютно сходящиеся ряды .

290 290 292 298 302 307 31! 314 316 32! 326 328 ОГЛАВЛЕНИЕ 4 9.7. Услоа»»о сходящиеся ряды о действительныв» членами . 4 9.3. Последовательности н ряды функций. Равномерная сходимость 4 9.9, Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов . 9,10. Перемножение абсолютно сходящихся рядов . 9,11, Степенные ряды 9.12. Дифференцирование и интегрировавие степенных рядов 4 9.13, Функции аа, а1п я, сова от комплексного переменного й 9,14. Ряды в приближенных вычислениях, ...., .

9.15. Понятие кратного ряда ......, ....., 9.!0. Суммирование рядов и последовательностей Предметный указатель... 373 336 39! 394 399 404 407 4!4 42! 426 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга входит в серию под названием «Высшая математика», состоящую из трех книг: а) Элементы линейной алгебры н аналитической геометрии. б) Дифференциальное и интегральное исчисление. в) Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Авторы думают, что эта серия') может быть учебником для студентов втузов, изучающих математику по программе 500 часов или по программе меньшего объема при соответствующих сокращениях.

При необходимости делаются ссылки пз одноч книги пя другую. Авторы прп написании этих книг придерживались программы курса «Высшая математика для иижснерпо-технических специальностей высших учебных заведений», утвержденной Учебно-методическим управлением по высшему образованию Министерства высшего и среднего специального образования СССР, Авторы учли, что в наших школах сейчас изучаются начала аналитической геометрии и математического анализа. В главе 1 несколько параграфов посвящено «действительному числу», хотя явно этого в программе нет — этн вопросы излагаются в 1Х и Х классах средней школы.

Мы думаем, что эти вопросы следует повторить во вводных лекциях. Студент должен знать, что действительное число можно рассматривать как десятичное разложение. Доказательство леммы 2 о неубывающей ограниченной последовательности десятичных дробей надо считать весьма желательным. Но при изложении этих вопросов можно огрантшиться только $ 1.7 и 1.8. ') Однако серия не охватывает раздел этой программы «Теория вероятностей» и не полностью охватывает раэдел «Численные методы>. ПРЕДИСЛОВИЕ Конечно, данную книгу и книгу аЭлементы линейной алгебры и аналитической геометрии» надо изучать параллельно.

Нет нужды давать советы, и какой последовательности должно происходить изучение. Отметим только, что перед главой 8 о функциях многих переменных читатель должен ознакомиться с понятием л»-мерного пространства. В свою очередь, для изучения самосопряженного оператора и квадратичных форм понадобятся свойства функций, непрерывных на замкнутом множестве 58.!2 данной книги). А потом, параграф, посвященный экстремумам функций многих переменных, потребует знания квадратичных форм. В условном экстремуме серьезно используется представление об ортогональных подпространствах и-мерного пространства.

Второе и третье издания отличаются от первого рядом изменений и дополнений, Более подробно изложен вопрос о применении понятия дифференциала в приближенных вычислениях. Приведены доказательства свойств непрерывных функций многих переменных на замкнутых множествах. Введен пункт об однородных функциях. В главе 9 добавлен материал по теории кратных рядов и теории суммнруемости. Выражаем благодарность секции технических Вузов Научно-методического Совета по математике при Минвузе СССР под руководством профессора Л.