Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 5

Подобные правила моэхно было бы привести для остальных арифметических действий, ио а зточ нет необходимости — оня хорово известны из курса алгебры. $ 1.7. Основные свойства действительных чисел 1. Свойства порядка. 1,. Для каждой пиры действительных чисел а и Ь имеет место одно и только одно соотношение: а=В, а>Ь, а<О. 1,. Из а < Ь и Ь < с следует а < с(траизитивноесвойство анака «<»). 1,.

Если а < (э, то найдется такое число с, что а <с< О. гл. ь введении 11. Свойства действий сложения и вычи- танияя. 11,. а+Ь Ь+а (переместительное или коммутативное свойства). 11, (а+Ь)+сь-а+(Ь+с) (сочетательное или ассоциа- тивное свойство). 11,. а+О=а, 1!ао а+( — а) О. 11,. Из а < Ь следует, что а+с < Ь+ с для любого с. Чйсло а+( — Ь) естественно назвать разностью а — Ь, т. е. писать а — Ьг и+( — Ь), потому что, если его доба- вить к Ь, то получим а: !и + ( — Ь) 1+ Ь и -1- !( — Ь) + Ь) = а + 0 = и. Из приведенных свойств легко следует, что разность единственна. Можно доказать, что так определенная рав- ность совпадает с разностью, определенной формулой (12) в !.6.

111. Свойства действий умножения н де- ления. 111п аЬ Ьа (переместительное или коммутатнвное свойство). 111,. (аЬ) с а (Ьс) (сочетательиое или ассопнативное свойство). !11а а 1 =. а. 111,. а †„ ! (а ~ О». 1 111,. (а-1-Ь)с ас+Ьс (распределительный или дистри- бутивный закон). 111„. Из а < Ь, с) О следует ас < Ьс. Число а — (Ь „-ь 0) естественно назвать частным ! а Ь Ь (= ) а 11 — =а — ), потому что, если его умножить на Ь, то Ь 'Ь)' получим а: ( й'- (-")= ~'-')="=' Из приведенных свойств легко следует, что частное от деления а на Ь единственно.

Можно доказать, что так определенное частное совпадает с частным, определенным формулой (!3) й 1.6. 1У. Архимедово свойство. Каково бы ни было число с ) О, существует натуральное и ) с. В самом деле, если с а„а,а,..., то можно взять и а,+2. $ ьа, АксиомАтикА двйствительного числА 15 Из архимедова свойства и некоторых предыдущих свойств следует, что, каково бы ни было положительное число е, всегда можно указать такое натуральное и, что 1 выполняется неравенство — „< е.

В самом деле, согласно 1Ч для числа !/е можно указать натуральное и такое, что 1!в < и, что в силу 111, влечет нужное иер авенство. Заметим, что для данного числа с>О в ряду О, 1, 2, ... целых неотрицательных чисел, очевидно, имеется единственное т, для которого выполняются неравенства т«с < !п+1. Свойство Ч. Если последовательность дебствгапельных чисел а„а„а„... не убывает и ограничена сверху числом М (а„(М), то суи1ествует число а(М, к которому вта последовательность стремшпся как к своему пределу: 1пп а„=-а(М.

Это значит, что для всякого как угодно малого положительного числа е > О найдется натуральное число и, такое, что 1а — аа)=а — а„< е для всех и > и,. Доказательство свойства Ч мы не будем считать обявательным, но оио приведено (см. далее й 2.5, теорема 1). Как мы увидим, свойство У есть непосредственное следствие леммы 2 1 1.б, в которой, в частности, утверждалась, что неубываю!пая ограниченная сверку числом М последовательность бесконечных десятичных дробей стабилиаируется к некоторой десятичной дроби а ( М (а„ . а).

Дело а том, что на того, что а, стабилизируется к а, следует, что а„ стремится к а как к своему пределу. й 1.8. Аксиоматический подход к понятию действительного числа 1(ы назвали бесконечные десятичные дроби действительными числами, ввели для них понятия О, 1, >, = и арифметические операции, и сформулировали их основные свойства 1 — Ч, которые могут быть доказаны. Нужно сказать, что свойства 1 — Ч подобраны экономно н полно, настолько, что из них можно получить логически все остальные свойства чисел. Существует аксиоматический подход к определению действительного числа, заключающийся в том, что дейст- гл.

ь введение вительными числами назыажотся некоторые объекты (вещи) а, б, с,, удовлетворяющие свойствам 1 — Ъ'. При таком подходе свойства 1 — Ч называется аксиомами числа. При аксиоматическом подходе формулировки свойств (теперь аксиом) должны быть ньч колько видоизменены. Аксиомы П теперь уже формулируются так: каждой паре чисел в силу некоторого закона соответствует число а +Ь, называемое их суммой, при этом выполняются аксиомы 11,— 11...

Аксиома П, должна быть сформулирована в виде: существует число О (пуль) такое, что а+О=а для всех а. Аксиома П, формулируется так: для любого числа а существует число, обозначаемое через — а такое, что а+ ( — а) = О. Наконец, аксиома 1П, принимает вид: существует число ! (единица), отличное от О, такое, что а 1=а для всех а. Обозначим через !! множество всех действительных чисел, т. е, всех вещей, подчиняющихся аксиомам 1 — Ч. Тогда в 1! имеется нуль О и единица 1. С помощью аксиом можно доказать, что О (1 и имеют смысл числа 2=1+1, 3=2+1, .. и числа — 1, — 2, — 3, В результате получим множество всех целых чисел (различных между собой!) ..., — 2, — !, О, 1, 2, ....

На основании аксиом этн числа можно делить друг на друга, исключая деление на О. Поэтому в 1! есть рациональные числа ь т)п = ~- тр)пр (п ) О, (и О, р=ЕО). Но тогда в й имеются также и конечные десятичные дроби. Из последних можно построить ограниченные сверху неубывающие последовательности. На основании аксиомы Ч в В должны существовать пределы таких последователыпгстей. Некоторые из этих пределов не являются конечнымн десятичными дробями — это числа, отли |иые от конечных десятичных дробей.

Их удобно записывать в виде бесконечных десятичных дробей. В рез. льтате от аксиом с помощью логических рассуждений мсвкпо прийти к бесконечным десятичным дробям. Конечно, мы здесь привели только схему рассуждений, которая не претендует на доказательство. Из сказанного следует, что с формальной точки зрения все равно, исходим лн мы при определении действительных чисел из бесконечных десятичных дробей или из аксиоматического подхода. 3 1В НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ АБСОЛЮТНЫХ ВЕЛИЧИН 27 Конечно, с философской точки зрения второй подход более приемлем: числа суть абстракции, еырзжаюшие количественные отношении реального мира, а десятичные дроби — формальные символы, их представлявшие.

ф 1.9. Неравенства для абсолютных Величии Неравенство |а| <В, эквивалентно двум неравенствам — з(а<В. Отсюда неравенство (1') |а|(|Ь|+|а — Ь|, |Ь|:и |а|+|а — Ь(, т. е. |а| — |а — Ь ((|Ь((|а|+|а — Ь(, но тогда верно (5). |а — Ь((з (2) эквивалентно неравенствам Ь вЂ” з < а < Ь +з, (2') Аналогично неравенство |а — Ь((В (3) эквивалентно неравенствам Ь вЂ” В. а(Ь+е. Справедливы также неравенства |а,+Ь((|а|+|Ь|, (4) | а — Ь ! ~ ! | а | — | Ь ! |. (б) Неравенство (4) можно получить, рассмотрев отдельно четыре случая! 1) а, Ь ."О, 2) а, Ь(0, 3) а(0(Ь, 4) Ь""'0(а.

Например, в случае 2) а+ЬЕВЬ(0, |а+Ь|= — (а+Ь) — а — Ь=(а|+|Ь(, а в случае 3), если допустить, что |Ь!'= |а|, |а+Ь(=Ь+а(|а|+|Ь!. Случай 3) при допушении |Ь|(|а| читатель разберет сам, так же, как случай 1). Случай 4) сводится к слу- чаю 3). Далее, в силу (4) гл. ь введение й 1.1О. Отрезок, интервал, ограниченное множество Пусть числа (точки) а и Ь удовлетворяют неравенству а < Ь. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а<х<Ь, называется отрезком (с концами а, Ь) или сввментом и обозначается так: (а, Ь1. Множество чисел х, удовлетворяющих неравенстмм а<х<Ь, называется интервалом (с концами а, Ь) нли открытым отрезком и обозначается так: (а, Ь).

Множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ~ х < Ь или а < х < Ь, обозначаются соответственно '1а, Ь), (а, Ь) н называются полуоткрытыми отрезками или нолуинтервалами. Первый, например, закрыт слева и открыт справа. Часто рассматривают еще множества, называемые бесконечными интервала.ми и лолуинтврвалами: 1) ( — оо, оо), 2) ( — оо, а1, 3) ( — оо, а), 4) (а, оо), 5) 1а, со). Первое из них есть множество всех действительных чисел (действительная прямая); остальные состоят из всех чисел, для которых соответственно: 2) х<а, 3) х< а, 4) а < х, 5) а < х.

Символы — оо и +со удобно называть бесконечными числалш, а обычные числа — конечными числами. Отметим, что назвав символы +со и — оо бесконечнымн числами, мы вовсе не считаем их числами. Подчеркнем, что у отрезка 1а, Ь1 концы — конечные числа, у интервала же (а, Ь) его «концы» могут быть конечнъгми и бесконечными.