Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 2

Д. Кудрявцева, коллективу кафедры высшей математики № 2 Леш)нградского политехнического института, профессору А. И. Прилепко и руководимой им кафедре высшей математики Московского инженерно-физического института за обсуждение наших учебников и ценные замечания и предложения, которые, несомненно, способствовали улучшению содержания учебников.

Мы также выражаем благодарность Ю. И. Волкову„ М. Ш. Коссу, А. М. Полосуеву, Я, М. Тобольцеву, А. Ф. Шапкину и ряду других читателей за ценные конструктивные предложения, которые мы старались учесть при работе над учебником. В 1984 г. комплекс наших учебников по высшей математике, состоящий из трех книг и задачника, удостоен премии МВ и ССО СССР, а в 1986 г.— диплома почета ВДНХ СССР. ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ й $.1.

Предмет математики, Переменные и постоянные величины, множества Среди всех наук математика занимает особое место. Математика определяется как наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Конечно, если учесть современное состояние математики и разнообразие изучаемых ею структур, то пространственные формы и количественные отношения необходимо понимать в самом общем виде. Математика дает другим наукам язык чисел и символов для выражения различного рода отношений между явлениями природы. Но прежде чем применять математику, биолог, физик или экономист должны глубоко понять суть изучаемого явления, расчленить его на части, поддающиеся математической обработке. Объектами изучения в самой математике являются логические модели, построенные для описания явлений природы и общества.

Математика изучает соотношения между элементами этих моделей. Если математическая модель верно отражает суть данного явления, то она позволяет вскрывать и необнаруженные вначале закономерности, т. е. математика способна вскрывать и качественную сторону явления. В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать различные процессы.

Например, одно и то же дифференциальное уравнение описывает и характер радиоактивного распада, и изменение температуры тела, При изучении явлений природы и общества мы на каждом шагу сталкиваемся с изменением величин, с зависи. мостью одной из величин от другой. Поэтому понятие ш гл. ь ввндвннв о переменной величине является основным в математическом анализе. Под переменной величиной мы будем понимать величину, которая в процессе изучения какого-лнбо явления принимает хотя бы два различных значения. Величина, которая при исследовании данного вопроса принимает только одно значение, называется»остояннои. с1>.

Энгельс отмечал, что введение декартовой переменной величины внесло в математику движение и диалектику. Если все значения, принимаеь>ые переменной величиной, объединить, то мы получим л>ножесп>во значений этой величины. Понятие множес>нва также является основным в математике, это простое, нервнчное понятие, которое мы не будем пытаться определить через другие простые понятия. Множесп>во †э совокупность, собрание какнх-либо объектов произвольной природы. Так можно говорить о множестве студентов ннстнтута, о множестве молекул в данном теле, о множестве телевиворов с цветным изображением в данной аудитории н т, д. Объекты, входящие в данное множество, будем называть югеженепами множества. Мы будем обычно обозначать множества большими буквами А, В, ..., Х, У, ..., а их элементы малыми буквами а, Ь, ..., х, у, Если элемент х принадлежит множеству А, то этот факт обозначают так: хб А.

Если же х не входит в мно>кество А, то пишут: х4 А. Символом А<=.В (мном(ество А вкл>очено в множество В1 обозначают тот факт, что если хЕА, то хЕВ. Множество А в этом случае называется под>яножес>пвсм множества В, Употребляется также равносильная запись В=>А (множество В включает в себя множество А). Символы <=, =.> называются знаками включения. Если множество не содержит нн одного элемента, то его называют пус>пыл> н обозначают символом 8. Ясно, что ййс. А, где А — любое множество.

Для обозначения множеств широко употребляют фигурные скобки, внутри которых тем или иным способом опнсывщотся элементы, нз которых этн множества состоят. Выражение И= 11, 2, 3, ~ обозначает множество натуральных чисел, 10, 1, 2, ...1 — множество целых неотрицательных чисел, а 2=1..., — 2, — 1, О, 1, 2, ...1 5 ЬЕ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ !! — множество всех целых чисел.

Вот еще пример: А= = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, О) — множество, состоягцез из цифр десятичной системы счисления. Очевидно 2Е А, 1 а — Е А. 2 Говорят, что множества А я В ровны, и пишут А =В, если ЛшВ и ВшА. На вопрос о том, равны ли данные множества, далеко не всегда легко ответить. Например, если А=(6, 8, 10, ...), В=(р+д) есть множество сумм простых чисел р и о, больших чем 2, то ясно, что ВшА. Однако до настонцего -времени не установлено, верно лп, что А<=В, т.

е. Можно ли любое четное число 6 представить в виде суммы двух простых чисел, ббльших двух. В данком курсе мы в основном будем иметь дело с числовыми множествами, т. е. элементами их будут числа. й 1.2. Операции над множествами Для множеств можно ввести арифметические операции сложения и умножения, которые обладают свойствами, во многом аналогичными соответствующим свойствам ш2ераций сложения и умножения чисел. Пусть даны два произвольных множества А и В. Суммой или объединением множеств А и В называется множествоС, состоящее из элементов множеств А и В; при этом пишут; д Л С = А -',- В или С = А и В (рис. 1) Легко видеть, Лад лю что А+А=А. Произведением или леРис.

1. Рвс. 2. ресечением множеств А и В называется множество, состоящее из элемеятов, одновременно принадлежащих множеству А и множеству В. Пересечение множеств обозначается через АВ или А П В (рис. 2). Очевидно, что ЛП А=А. Если ЛВ= О, то будем говорить, что множества А и В не пересекаются. Используя понятие равенства множеств, можно доказать, что: 1) А+В=.В+А, 2) (А+В)С=АС+ВС, 3) (ЛВ)С= =- А(ВС), 4) (А +В)+С=А-)-(В+С), Докажем, например, 2). Если хЕ(Л+В)С, то, согласно определению произведения, хб А+В и хЕС. Из определения суммы следует, что хЕ А или хЕ В. Пусть для определенности хЕА. Тогда хбАС, а следовательно, хЕАС+ВС.

Зна- 1З Гл. 1. звадкние чит, (Л + В) С с= АС+ ВС, Если теперь элемент х ~ АС+ ВС, то выполняется по крайней мере одно из соотношений хГ ЛС, к~ВС, для определенности пусть к~ АС. Тогда А хб А+В и х~С, т. е. х~ Е(А+В) С. Отсюда АС+ВС«" А с -~~ 1=(А+В) С. Этим равенство 2) доказано. ~)+,1„А Рсгзносп1аю множеств А и В называется множеством = А' В, Рис. 3. Рнс 4 состоящее нз элементов А, которых нет в В. Заметны, что в общем случае (А ' В)+В=т А (рис. 3). Но если В«=А, то (А' В)+В=-А (рис. 4). Множества с введенными операциями сложения и умножения образуют своеобразную алгебру, где нет коэффициентов и степеней. 3 1.3, Символика математической логики г(ля сокращения записи э дальнейшем мы будем употреблять некоторые простейшие логические снмэолы.

Если нас нптересуег не сущность какого-либо предлон«ения, а его связь с другими, то это пред»о»кение будем обозначать одйой аз букв с«, Р, .... Запись и аф р означает: «из предложения и следует предложение ()». Знаком и4Ф Р будем обоаначэть тот факт, что предложения и н р зкииаалеитны, т.

е. из сс следует р и из () следует и. Запись ух~А: и означает: «для всякого элеиента хц А имеет кесто предложение а». Симаол»у называется квснтором всеобщности. Запись Зу~В: р означает: «сущестнует элемент р~В, для которого имеет место предложение 5». Симнол З наэыээется квснтором существования. Символ а будем понимать как оглрнцансе предложения а или, норотко, «не ак Построя»» отрицание утверждения тгх Е А; а. Если данное утэер»кденне не имеет места, то предложение и имеет место пе для всех хбА, т.

е. сушестаует элемент я~А, для которого а пе имест места: уха А: и4»у З«Е А; и. Совершенно аналогично Зу~н: ((ЕЗ тубВ: Р таккм образом, чтобы построить отрицание данной логической формулы, содержащей знаки у и З, необходимо знак К заменить на З, а знак З иа В и отрицание (черту) перевести на свойство, стоящее после двоеточия. Например, отрицание предложения З М тх б А: ) (х) й М имеет нид зл4 духа А; 1(х) м ФФ чм зхбА: 1 ( ) ~ м ез»ум зх ~ А: 1 (х) > м. э ь4, действительные числА $ 1А. Дейстгнтельиые числа Понятие числа является первичным и основным в математике.

Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел )ч = (1, 2, 3, ..., и, ...) появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа У.=(..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3, ...) и рациональные числа й=-(т/п), где т, я ~ у, п ныл. Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь т(п несократима, если пе будет делаться оговорки на этот счет.