Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 11

Если переменная х„не имеет предела, то заведомо с' < с, если же предел х„существует, то оба процесса необходимо прйведут к одному и тому же числу с=с', $ 2.11, услОВие коши сходимости пОследОВАтельнОсти 59 $ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности Пусть задана последовательность действительныл чисел 1«„), сходящаяся к конечному пределу а: Ипг к„=а. Это значит, что для всякого е>0 найдется число и,= п,(в) такое, что ) х„— а ) < е)2 'тп > и,.

Наряду с натуральным числом и > и, можно подставить в это неравенство другое натуральное число т и;1 ) х„— а ) < е/2 ч1т > и,. Тогда )х„— х 1=)х — а+а — х ! <!хв — а)+)х — а) < в а < — + — — а чеп, гп>п,. Мы получили следующее утверждение: если переменная х„имеет конечны!1 предел, то для нее выполняется условие (Коши' )): для любого е>О найдеп1ся п,=-п,(В) такое, что ! х — х„) < в чгп, т > п„. Последовательность чисел, удовлетворяющая условию Коши, называют еще фундаментальнвбг псследсватель- НССП1ЬЮ. Оказывается, что имеет место также обратное утверждение: если последовательность действительньгх кисел (х„) фундаментальная, т. е. удовлетворяет услови)о Кош1с, то она имеет предел, т.

е. суи,ествует число а (конечное) такое, что х„- а, и- оо, Доказательство, Начнем с того, ша докажем, но фундаментальная последовательность ограничена. В самом деле, положим в 1 н подберем, согласно условию Коши, число не=не !1) так, что ) «а — «~ ) < ! чп. ш > "а г) О. Л. Коши (!твв — 185Т) — франпузский математик. В его трудах впервые определены осиовяые понятия математического анализа (предет, непрерывность, интеграл, „,) так, как вто принято в современной матеиатикв. 60 РЛ Я. ПРИДИЛ ПОСЛПДОВАТИЛЬНОСТИ откуда 1 > !к„— х,„»~»х„! — (ха! или 1+»х !'дь!х„! стл, ш > ла. Зафиксируем и > ла к обозначим М = шах (1+! к, (, »хл!», о<л, т.

е. максимум чисел (х„», где л~ле, и числа 1+»х, !. Тогда в силу (1) Покажем, что в данном случае не только эта подпоследователь. ность, но н вся, последовательность имеет предел а; Вш ха=а. л-~ю В самом деле, согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для любого в > О найдется лз такое, что ! Кл — Км ! < а/2 СГЛ, Ш > ЛС. (2) С другой стороны, в силу того что х„— а, й со, можно укана вать такое йс, что (х„— а! < з!2 Уь > Ьа. учитывая. что ла — ь со прн Ь вЂ” со, можно найти такое Ьс > йе, что лл, > ла.

Поэтому (Э) ! х„— а ! < е/2. В силу (2), где надо положить ш=ла„и (3) имеем »к„— а(=(х„— ха, +х„„— а! ~ ! а а ! 2+2 Чсл > ле, и мы доказали, что последовательность (х„» имеет предел, равный а, МЛь!х„! Чл Е Ф, и огранвченность последовательности (х„» доказана. По теореме Больпано — Вейерштрасса нз ограниченной последовательности (х„» можно выделять подпоследовательность (х„а(, схо. дящуюся к некоторому (коиечиому) числу а, т, е. йш х„=а.

сс Итак доказана Теорема ! (критерий Коши сун(ествован и я п редел а). Для того ппобы последовательность действительнык чисел (х„» имела конечный предел, необходимо и достаточно, шпобы она была фундаментальной (удовлетворяла условшо Коши).

Э ЗЛЗ..ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ щ й 2.12. Полнота и непрерывность множества действительных чисел В предьщущих параграфах мы доказали ряд свойств действительных чисел, важнейшие из которых мы перечисляем: 1) Существование предела у ограниченной монотонной последовательности (9 2.б, теорема 1). 2) Принцип вложенных отрезков (~ 2.7, теорема 1). 3) Существование точной верхней грани у произвольного ограниченного множества (9 2.8, теорема 1). 4) Сходимость фундаментальной последовательности к пределу (критерий Коши,. 4 2.11, теорема !).

Хотя перечисленные свойства и выглядят различно, на самом деле между ними имеется глубокая внутренняя связь. Не так уж трудно показать, что утверждения !) — 4) (при наличии свойств 1 — 1ьг числа) эквивалентны между собой, т. е. Нз любого из иих следуют три остальные. В этой книге было показано, что из !) (плп„что все равно, свойства т', см. 5 1.6) и свойств ! — 1т' следуют 2), 3), 4), Свойства 1) — 4) называются еще свойствами непрерывности или полнении множества всех действительных чисел.

Чтобы уяснить их роль, рассмотрим множество только рациональных чисел, которое обоаначим через П. Свойства 1 — !'т' для рациональных чисел аынолняются. Однако свойство Ч и, следовательно, любое из свойств !! — 4) лля рациональных чисел, вообще говоря, ие аынолняются. Поясним это на примере. Для этого нам будет удобно оперировать также н множеством всех действительных чисел, которое обозначим через и. Зададим бесконечную непериодическую десяннную дробь а=-а,,а,аэаэ " . Таким образом, а — иррациояальясе число, т. е.

а ц Н, но а Е. ч. Дробь а порождает последовательность среэок. а'а'=ач,аю. ° ач (а=1, 2, ° ..) — рациональных чисел,— яе убынаюшую н ограниченную сверху целым числом ае+ ! Не существует рационального числа, к котоому наша последовательность рациональных чисел (ага>) сходится. самом деле, мы знаем, что переменная аш! сходится к а (см. нример 9 4 2.(1, т. е. к иррациональному числу, а к другому числу она сходиться не ыожет.

Мы показали, что свойство 1) в О, вообще говоря, не выполняется. Нетрудно показать, что и свойства 2), 3), 4) в (), вообще говоря, не выполняются. ГЛ.Е ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Множество действительных чисел называется полным в силу того, что для него выполняется свойство 4), заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к некоторому действительному числу. Множество Я рациональных чисел не является полным. Оио содержит фундаментальные последовательности, не сходящиеся к рациональным числим. Добавляя к Я иррациональные числа, мы получаем пространство действительных чисел, уже полное. глдвд з ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ й 3.1.

Функция 3.1.!. Функция от одной переменной. Пусть Š— множество чисел и пусть в силу некоторого вполне определенного закона каждому числу х из Е приведено в соответствие (одно) число у„тогда говорят, гто на Е задана функция, которую записывают так: и=) (х) (хЕЕ). (1) Говорят еще, что у есть функция одной переменной х, заданная на Е, потому что можно, как мы увидим ниже, рассматривать функции многих переменных. Это определение функции предложено Н. И. Лобачевским и Днрихле'). Множество Е называют областью задания или определення функции Г(х) Говорят также, что задана независимая переменная х, которая может принимать частные значения х из множества Е, и каждому хЕЕ в силу упомянутого закона приведено в соответствие определенное значение (число) другой переменной у, называемой функцией или зависи,.иой переменной.

Независимую переменную называгот араументом. Для выражения понятия функции употребляют геометрический язык. Говорят, что задано множество Е точек х действительной прямой — абласгяь определения нлн задания функг(ии — и закон, в силу которого каждой точке х ЕЕ приводится в соответствие число у=)(х). Если мы хотим говорить о функции как о некотором законе, приводящем в соотиетствие каждому числу х ЕЕ некоторое число у, то достаточно ее обозначить одной ') Н. Н. Лобачеасиий (1792 — 1855) — великий русский математик, создатель неевклидовой геометрии.

Лежен Дирихле (1805 — 1859)— вемеииий математик. ГЛ.З.ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ буквой !'. Символ 1'(х) обозначает число у, которое в силу закона ! соответствует значению хЕ Е. Если, например, число 1 принадлежит области Е задания функции Г, то Г(!) есть значение Функцше ~ в точке х=-1. Если 1 яе принадлежит Е(1 ЕЕ), то говорит, что функция ! не определена в точке х =1.

Множество Е, всех значений у=!(х), где хЕЕ, пазывается образом множества Е прн помощи функции /. Иногда пишут в таком случае Е, =-.~(Е). Но это обозначение надо употреблять с осторожностью, по возможности разъясняя его всякий раз, когда оио употребляется, чтобы не было путаницы с обозначением у=г(х), гле х есть произвольная точка (число), принадлежащая множеству Е, а у — соответствующая ей прн помощи функции (закона !) точка множества Е,. Говорят еще, что функ-' ция ( отображает множество Е на множество Е,. Если образ Е,=г" (Е) с А, где А — множество чисел, вообще не совпадающее с Е„то говорят, что функция ! отображает Е в А, Для функций г и гв, заданных на одном и том же множестве Е, определяются сузьиа (+гь, разность г — гь, произведение ~гг, частное ~/~.

Это новые функции, значения которых выражаются соответствующими формулами ~ (х) + гг (х), ~ (х) — ~г (х), ~ (х) ч (х), — ~> (х Е Е), (2) где в случае частного предполагается, что гь(х)~ьО на Е. Для обозначения функции употребляют и любые другие буквы: Е, Ф, Ч", ..., так же как вместо х, у можно писать г, и, о, .... Если функция ! отображает множество Е в Е„а функция Р отображает множество Е, в множество Е„то функцию г =р д(х)) называют Функцией от функции, или сложной функцией, или суперпозицией Г и р, Ои» определена на множестве Е и отображает Е в Е,. Возможна сложная функция, в образовании которой участвует и функций: г=р,(р,(р,(... (Е„(х))...))). Практика доставляет нам много примеров функций. Например, площадь 3 круга есть функция его радиуса г, выражаемая формулой Е=пг'. Эта функция определена, очевидно, на множестве всех положительных чисел г. Можно, не связывая вопрос с площадью круга, говорить о зависимости между перемениымн Е н г, выражен.

ной формулой 5 иг'. Функция З=ц~(г), заданная этой й 3.1. ФУНКЦИЯ формулой, определена на всей действительной оси, т. е. для всех действительных чисел у, не обязательно только положительных. Ниже приводятся пр н мер ы функций, заданных формулами: 1) у=)г' ! !в хп, 2) у=!д(1+х), 3) у=х — 1, хп — ! 4) у= — „,, 5) у=асса!пх, Мы имеем в виду действительные функции, принимающие действительные значения у для действительных значений аргумента х. Нетрудно видеть, что областями определения приведенных функций являются соответственно: 1) отрезок 1 — 1, 1]=( — 1(~х(1); 2) множество х > — 1; 3) вся действительная ось; 4) вся действительная ось, из которой исключена точка х= 1; 5) отрезок ( — 1, !!. Функции, определяемые в примерах 1) и 2), можно рассматривать как функции от функции; 1) у=)/ й, и=! — п, о=х'! 2) у=!пи, и =1+х.

Важным средством задании функции является график. Зададим прямоугольную систему координат х, у (рис. 11), на осн х отметим отрезок (а, Ь1 и изобразим любую кривую Г, обла- у" дающую следую1цим свойством: ка- А кона бы ни была точка хЕ (а, Ь1, прямая, проходящая через нее ! ! ! ! параллельно осн у, пересекает кривую Г в одной точке А. Такую заданную в прямоугольной (декартовой) системе координат кривую Г Рис. 1!. мы будем называть графиком. График определяетфункциюу=р(х) на отрезке(а, Ь)следующим образом. Если х есть произвольная точка отрезка (а, Ь1, то соответствующее значение у=!(х) определяется как ордината точки А (см. рнс.

11), Следовательно, прн помощи графика дается вполне определенный закон соответствия между х и у=!(х). Мы задали функцию при помощи графика на множестве Е, являющемся отрезком [а, Ь1. В других случаях Е может быть интервалом, полуиитервалоы, всей действи- 3 Я, с. иугппь с.м. Нппппьпппи И гл. в м нлцна. хв вдвл атнкцни тельной,осью„мнажесввом ~рацнональнык эояек, прннаа.лежащик к данному .ннтерлалуп н т...д. Зададим на некотором интервале (а, д) функцию Дх) я произвольное,(постоянное) число аФО.