Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988), страница 12

С помощью и н 'Г можно сконструировать ряд функций~ !,) аг (х); 2) г'(х)+а; 3) г(х — а); 4) г(ах). Функции 1) н 2) определены на том же:интервале (а, д). Ордннаты графика функции 1) увеличены в ы раз сравнительно с соответствующими ордннатамн )'(х). 'График функции 2) получается нз графика г поднятием последнего на величину а, если а~ О н опусканием:на !сс1, если а.<О;,графнк же функции 3) получается .нз врафика;Г путем сдвига последнего впрано на величину а, если гс,~ О н агино на .)а1 если а <О.

Наконец, функция Ф) .прн кх >'О определена, .очевидно, на интервале (а/а, 6/сс); график ее получается нз графика Г путем равномерного егв сжатия в чх раз. Функцию ~ называют четной нлн нечетной, .если она определена на множы:тве, симметричном относительно нулевой точки, н обладает на нем свойством ~( — х) =р(х) нлн свойством 1( — х) = — ~ (х).

График чпаной фунмцнн, овевндно, .симметричен относительно юсн .у, а -график .нечетной функция симметричен относительно начала координат, Например, х'",(А — натуральное), соз,х, !й!к:), $~!+.~',,;~(!х.)) четные функции, а х'"+ ' (й'=з: Π— целое), з!и х, х'р'1+ х', х7 (! йх )) — нечет. ные функпнн.

Нетрудно видеть, что произведение двух 'четных или двух нечетных функций чють функция чэпншя, а произведение четной функции на нечетную есть 'нечетная фуниция. Конечно, большинство функций не четны н не нечетны, График функции у = г'(х), х Е Е, можно определить еще как совокупность тачек (х, г(х)) с абсциссой х и ординатой г(х), где хЕЕ. Функция Г называется возрастающей (неубывающец) на Е, если для любых хЭ, х,ЯЕ, для которых х; <х„ выполняется неравенство !(х1) Г(х,) Д(х)ч-.!'(х,)).

Функция !". называется убывающей (невоэрастающей) на Е, если для любых хо х,чЕ, для которых хт <х„ выполняется неравенство ~(х,) ~ '~(ха) (~(х,):=в~(х,)). Функция,~ называется ограниченной (неограниченной) на Е, если ее образ Еч=((Е) при помощи !". есть ограниченное (неогранвченйое) множество. Напримерс функция й= 1/х убывает н не ограничена на (О, сс), на. овраннченн на (1, со)'. Функция 7, определенная на всей вещественной оси, надывается азриадачесю17 е лериодохг Т > О', если г(х) =- =-Т(х+Т) тх.

Мажио:говорить тзкже о'функция, перноднческой с периодом Т иа: ннтеряале (а, Ь) (сегменте ~'а, Ь1), если равенство Р(х)'=7 (х+Т)' верно для'всежтаких хгс(а, Ь) (илн !а, Ь1), для: которыя х+Т~(а, Ь) ([а, Ь1). Например;. функцня з!н х периода 2тс. Функция з1нглх, гделзц )р, тоже пернэдн 2п:, но ене также Рис. !х. имеет меяьшнВ пернод Т =2ж!иг. Пр имер 6.. Функция: (пиенум х. нли знак х) 1'„х> О, й=з!йа-х= О, х,=О; — 1ы х<О задана яе бесконечном интервале ( — со, ос). Она нечетная. Образ ее есть мнжесгво, состоящее. из трех точек: 1; 6, — !. ПФ амар 7, Фунчаязна / х'+1, хя.,О„ (: з1п'х, х > О, имеет график, изображенный на рис.

12; Она убывает на ( — оо, О) и имеет период 2н на (О, оо). Эта функция на различных частях области ее определения задана. различными формулами. Функция может быть задана в анде таблицы. Например, мы могли бы нзмерять температуру Т воздуха через каждый час. Тогда каждому моменту времени Т=О; 1, 2, ..., 24' соответствовало бы, определенное число Т'в ваде таблицы: 1Л.З.ФУНКЦИЯ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Таким образом, мы получили бы функцию Т =~((), определенную на множестве целых чисел от 0 до 24, заданную таблицей.

Если функция д=~(х) задана на некотором множестве Е формулой, то всегда можно считать, чта ей соответствует вполне определенный график, определяющий геометрически эту функцию. Обратное совсем не ясно: если функция задана произвольным графиком, то мажет лн оиа быть выражена некоторой формулой? Это очень сложный вопрос. Чтобы ответить на него, надо отдать себе отчет в том, какой смысл мы вкладываем в слова формула.

Выше, когда мы говорили, что данная функция д=г(х) выражается формулой, мы молчаливо считали, что при этом у получается яз х прн помощи конечного числа таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корня той или иной степени, логарифмирование, взятие операции зш, соз, агсюп и других алгебраических и тригонометрических операций.

Математический анализ дает средства для значительного расширения понятия формулы. Весьма важным таким средством является разложение функции в бесконечный ряд по элементарным функциям. Многие, а может быть и все, встречающиеся на практике функции могут быть изображены формулой, представляющей собой некоторый бесконечный ряд, членами которого являются элементарные функции, которые будут определены ниже. Но сейчас об этом говорить не время. Мы еще не готовы к этому. Так или иначе, задана ли функция )'(х) формулой илн же другим каким-либо способом, например при помон~и графина, она уже может служить объектом изучения средствами математического анализа, если она удовлетворяет некоторым дополнительным общим свойствам, таким, как непрерывность, монотонность, выпуклость, дифференпируемость н др.

Но об этом будет идти речь впереди. Важнейшим средством изучения функции является понятие предела, являющееся основным понятием математического анализа. Данная глава посвящена этому понятию. Если каждому числу х, принадлежащему данному множеству Е чисел, в силу некоторого закона соответствует определенное множество е„чисел д, то говорят, что этим законом определена мяогозначная функция д=~(х).

Если окажется, что е„для каждого хЕ Е состоит только з зь»хнкция из одного числа и, то мы получим однозначную функцию. Однозначную функцию называют просто «функцией» без добавления прилагательного «одпозначная», если только зто не приводит к недоразумениям. Алгебра и тригонометрия доставляют нам примеры многозначных функций; такими являются функции ~р х, Агсз!п х, Агс1н х, Функция ~-$' х определена для х'.,»О.

Оиа двузначна для х > О: каждому положительному х соответствует два действительных числа (отличающихся друг от друга зиакамн), квадраты которых равны х. Впрочем, символ »' х (у=2, 3,...) мы будем понимать всюду, если это пе оговорено особо, как арифметическое значение корня й-й степени из х -.О, т. е. как неотрицательное число, й-я степень которого равна х (см, $ 3.8). Что же касается функции Агсз1пх, то она бесконечнозначная. Она приводит в соответствие каждому значению х из отрезка [ — 1, 11 бесконечное множество значений у, которые могут быть записаны по формуле у=( — !)»а«сз1пх+вп (й=О, д-1, д-2,,).

3.1.2. Функции многих переменных. Выше мы говорили о функциях от одной переменной. Но можно говорить также о функциях двух, трех и вообще и переменных. Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество Е пар чисел (х, у). При этом имеются в виду упорядоченные пары. Это значит, что две пары (х„ у,) и (х„ у,) считаются равными (совпадающими) тогда й только тогда, когда х, = х, и у,=у,. Если в силу некоторого закона каждой паре (х, у) ЕЕ приведено в соответствие число г, то говорят, что этим определена на множестве Е функция г=)'(х, у) от двух переменных х и у. Так как каждой паре чисел (х, у) соответствует на плоскости, где введена декартова система координат, точка с абсциссой х и ординатой у, и, наоборот, каждой точке, таким образом, соответствует пара (х, у), то можно говорить, что наша функция ~(х, у) задана на множестве Е точек плоскости.

Функцию г=!(х, у) от двух переменных изображают в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная гв гл.э. этыкцмя.пэздвл этнкции система ксюрдинат х, у, г, в виде геометрического места точек (х, у, г(х, у)), проекции которых (х, у) принадлежат множеству Е определения у. Например, таким геометрическим местом для функции г = к 1 — х*-ут (хт+у' < 1), является верхняя половина шаровой поверхности радиуса 1 с центром в нулевой точке. В этом же духе можно определить функцию трех переменных. Областью ее определения может теперь служить некоторое множество упорядоченных троек чисел (х, у, г) или, что все равно, соответствующих им точек трехмерного пространства, где введена декартова система координат. Если каждой тройке чисел (точке трехмерного пространства) (х, у, г) Е Е в силу некоторого закона соответствует число и, то говорят, что этим на Е определена функция и=Р(х, у, г).