Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 6

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Решениеуравнений, не разрешенных относительнопроизводной. Нахождение особых решенийНайти все решения данных уравнений, выделить особые решения (если они есть), сделать чертеж:Задача 9.1.y 2 − y 2 = 0.Решение: Уравнение записано в виде F (x, y, y ) = 0.В данном случае уравнение можно легко разрешить относительно производной:y = ±y.Получили два уравнения, которые легко решаются:y = y⇒y = Cex;y = −y⇒y = Ce−x .529Практическое занятиеРешение можно записать и в виде одной формулы:y = Ce±x .Теперь проверим, существуют ли особые решения.

Для этоговычислим производную Fy :2y = 0,⇒y = 0.Подставляя полученное значение производной в исходноеуравнение, получим решение, которое, возможно, будет особымрешением данного уравнения:y = 0.Так как особое решение – это решение, через каждую точкукоторого проходит бесконечно много интегральных кривых, то,сделав эскиз графиков интегральных кривых (рис. 9.1), можнооценить, является ли функция y = 0 особым решением нашегоуравнения.Yy=0y = Ce xXy = Ce-xРис.

9.1. Интегральные кривые уравнения y 2 − y 2 = 0Уравнения, не разрешенные относительно производной53Так как через каждую точку линии y = 0 проходит не бесконечно много, а только одна интегральная кривая, то функцияy = 0 не является особым решением уравнения y 2 − y 2 = 0,но она является решением данного уравнения и входит в полученное общее решение (для получения этой функции из общегорешения достаточно положить в нем C = 0).Задача 9.2.(y + 1)3 = 27(x + y)2 .Решение: В этом случае уже нельзя, как в предыдущем,легко разрешить уравнение относительно производной. Заметив, что y + 1 = (y + x) , заменим в исходном уравнении выражение y + 1 на (y + x) :(y + x)3 = 27(x + y)2 .Теперь, сделав замену переменных x + y = t, получим уравнение, которое можно разрешить относительно производной илегко решить разделением переменных:t3 = 27t2 ;dtdx = 2 ;3t 32dt= 3t 3 ;dx√3x + C = t;(x + C)3 = t.Возвращаясь к переменным x и y, получим искомую функцию:(x + C)3 = x + y,или в равносильном видеy = (x + C)3 − x.Для нахождения особого решения найдем линию, на которой нарушено условие теоремы о существовании решения уравнения, не разрешенного относительно производной.

Для этого549Практическое занятиесоставим систему, состоящую из данного уравнения и его производной по y : F (x, y, y ) = 0;(y + 1)3 = 27(x + y)2 ;⇐⇒Fy (x, y, y ) = 0.3(y + 1)2 = 0.Функция y = −x является решением данной системы, которое получается после исключения из нее y (так называемая дискриминантная кривая). Легко видеть, что эта функция есть также решение рассматриваемого дифференциального уравнения.

Поскольку в каждой точке найденной кривой нарушены условия теоремы существования и единственности решения уравнения, не разрешенного относительно производной,а именно на этой кривой Fy (x, y, y ) = 0, то y = −x – особоерешение.Следующие задачи можно решить методом введения параметра.Задача 9.3.Решить уравнениеx = y 3 + y .Решение: Введем параметр p = y . Тогдаx = p3 + p.Возьмем полный дифференциал от обеих частей равенства:dx = (3p2 + 1)dp.dydydy, dx =, то, заменив dx на, получимdxppравенство, из которого можем найти функцию y(p):Так как p =y=dy = p(3p2 + 1)dp,31(3p3 + p)dp = p4 + p2 + C.42Уравнения, не разрешенные относительно производной55Таким образом, мы нашли решение в параметрическом виде:x = p3 + p,y = 34 p4 + 12 p2 + C.В некоторых случаях возможно исключение параметра изполученных равенств.Задача 9.4.Решить уравнениеy = y 2 + 2y 3 .Решение: Аналогично предыдущей задаче, введем параметр p = y :y = p2 + 2p3 .Взяв полный дифференциал, сделав замену dy = p dx, котоdy, и проинтегрировав, получимрая следует из равенства p =dxфункцию x(p):dy = (2p + 6p2 )dp,p dx = (2p + 6p2 )dp,dx = (2 + 6p)dp,x = 2p + 3p2 + C.Получили решение в параметрической формеx = 2p + 3p2 + C,y = p2 + 2p3 .Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие уравнения, выделить особые решения(если они существуют):1.8y 3 = 27y;56102.Практическое занятиеy 2 (y 2 + 1) = 1;Решить уравнения методом введения параметра:3.x(y 2 − 1) = 2y ;4.y (x − ln y ) = 1;5.y = ln(1 + y 2 );6.y = (y − 1)ey .10.

Контрольная работа по дифференциальнымуравнениям первого порядкаПримерный вариант контрольной работыРешить задачу Коши и уравнения:y − 4y = x + 1,1.2.y(2) = 1;(x2 + y 2 )y = 2xy;2y + (x2 y + 1)xy = 0;3.4.√y + x 3 y = 3y;5.2y = x + ln y .Численное решение задачи Коши5711. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Численноерешение начальной задачи длядифференциального уравнения первого порядка11.1. Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.Напишите программу для нахождения решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для одного из уравнений и начальных условийиз Таблицы 1 в соответствии с вариантом, указанным преподавателем. Предусмотрите возможность задания различных начальных условий как на левой, так и на правой границе произвольного интервала нахождения решения. Осуществите расчетс разными значениями шага интегрирования и параметра α вметоде Рунге-Кутта второго порядка точности.

Сравните полученные решения с решениями, полученными по методу Эйлераи методу Рунге-Кутта разных порядков точности. Результатыпредставьте в виде графиков на экране терминала.11.2. Численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка, имеющего особенность.Напишите программу для нахождения решения задачи Коши методом Рунге-Кутта второго порядка точности для одногоиз уравнений, имеющего особенность внутри указанного интервала или на его границе, и начальных условий из Таблицы 2в соответствии с вариантом, указанным преподавателем.

Выберите различные значения недохода до особенности, сравнитеполученные результаты между собой. Осуществите расчет дляразличных начальных значений при их задании на правой илилевой (если возможно) границе интервала интегрирования, варьируя параметр α и шаг интегрирования.

Сравните полученные решения с решениями, полученными по методу Эйлера иметоду Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Результатыпредставьте в виде графиков на экране терминала.5811№123456789101112131415161718192021222324252627282930Самостоятельная работаТаблица 1УравнениеНач. условия [a, b]√y = 2 sin(x + y) − yy(0) = 0[0, 2]y = e−xy cos xy(0) = 0[0, 1]y = arctg(ln(xy))y(0) = 1[1, 2]y = ln(1 + x2 + y 2 )y(0) = 1[0, 1]y = x2 + tg yy(−1) = −1 [−1, 0]yy = e sin xyy(0) = 1[−1, 0]√y = y + cos xy(1) = 1[1, 2]2+y 2 )y = e−(xsin xy(0) = 1[0, 2]√√y = x + yy(1) = 0[1, 3]yy = √ln xy(2) = 1[2, 3]y = x + sinyy(0) = 0[−1, 0]√y = y ln xy(2) = 1[1, 2]√y =x+ yy(0) = 1[0, 1]yy = arctg x2y(1) = 1[1, 2]y = sin(y tg x)y(0) = 1[0, 1]√xy = arctg 2 + yy(0) = 0[0, 1]√y = x2 + 2 yy(2) = 4[2, 3]y = sin(x2 + y 2 )y(1) = 1[1, 3]2y = e−(x +y)y(1) = 0[1, 2]xy =√e ln yy(1) = 1[0, 1]y = e x sin yy(0) = 0[0, 1]√y = x2 + 3 yy(2) = 1[2, 3]y = e−y arctg(x + y)y(0) = 1[0, 2]y = e−(x+y) ln xy(1) = 1[1, 2]√y = y arctg xy(0) = 1[0, 1]22y = x sin yy(1) = 1[1, 2]y = cos(x+ y) +2x − yy(0) = 0[0, 2]y = sin 32 x + y −x2y(0) = 0[0, 1]y = xy − cos ln(x2 + y 2 )y(0) = 1[0, 2]√y = arctg x + yy(0) = 0[0, 1]Численное решение задачи Коши№12345678910111213141516171819202122232425262728293059Таблица 2УравнениеНачальные условия√√y 1 − x = x 1 − x sin y + 1x ∈ [0, 1], y(0) = 1y√ = y tg x + cos1 xx ∈ [1, 2]y x − 1,5 = ln(xy)x ∈ [2, 1]1 √y = − ln(1+x2 +y2 ) x−yx ∈ [2, 1], y(2) = 1√y cos x = x yx ∈ [1, 2]y sin x2 = −eyx ∈ [1, 2]√1y = sin x + yx ∈ [−1, 0)y sin√x = e1/yx ∈ [−1, 0), y(−1) = ±1−yy = xe tg xx ∈ [1, 2]y (ln x − 1) = yx ∈ [2, 3]y (x + sin y) = tg xx ∈ [1, 2], y(1) = 0y = y ln(tg x)x ∈ [1, 2]y (ex − 1) = sin yx ∈ [−1, 1], y(−1) = ayy = sin √1−xx ∈ [0, 1]y arctg x = 1 − y 2x ∈ [−1, 0)y = sin(y tg x)x ∈ [1, 2]√y = y tg2 xx ∈ [1, 2]√y (π − 4 arctg x) = 1 − yx ∈ [0, 1]√y (1 − sin x) = yx ∈ [1, 2]yy ln x = ex ∈ [0,5, 1]1√y sin y = e x−1x ∈ [2, 1]√1y = y − arctgx ∈ [−1, 0]x√y = e− y tg xx ∈ [1, 2]−(x+y)y ln x =ex ∈ [2, 1], y(2) = 1√y = y tg xx ∈ [1, 2]y = cos(y 2 tg x)x ∈ [1, 2]y = ln(y cos x)x ∈ [1, 2]√y = ln( y sin x)x ∈ [2, 4]1√y = ye 1−xx ∈ [0, 1]y arctg x − 1 = y 2x ∈ [0, 2]6012Самостоятельная работа12.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.Дифференциальные уравнения высших порядков.Уравнения, допускающие понижение порядкаРассмотрим последовательно, в каких случаях возможно икак осуществляется понижение порядка дифференциальногоуравнения.(1) Если уравнение имеет видy (k) = f (x),(12.1)то оно сводится к квадратурам с помощью подстановкиy (k−1) = u, тогда y (k) = u и уравнение (12.1) приводится к простейшему уравнению первого порядка u = f (x),которое имеет решениеu(x) = f (x) dx = F (x) + C1 ,где F (x) – одна из первообразных от f (x). Так какu(x) = y (k−1) , то получаем уравнениеy (k−1) = F (x) + C1 ,которое интегрируется также, как уравнение (12.1).Таким образом, в результате k-кратного последовательного интегрирования уравнения (12.1) получим y=.

. . f (x) dx dx . . . dx + C1 xn−1 + C2 xn−2 + . . . n раз. . . + Cn−1 x + Cn .(2) Если в уравнение не входит искомая функция y и, возможно, несколько ее производных низшего порядка, тоесть уравнение имеет видF (x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0,Уравнения, допускающие понижение порядка61то порядок уравнения можно понизить, взяв за новуюнеизвестную функцию z(x) низшую из производных,входящих в уравнение, то есть сделав замену переменных y (k) = z.

В результате получим уравнение (n − k)-гопорядка:F (x, z, z , . . . , z (n−k) ) = 0.Если это уравнение интегрируется в квадратурах, такчтоz = ϕ(x, C1 , . . . , Cn−k ) или Φ(x, z, C1 , . . . , Cn−k ) = 0,то, возвращаясь к переменной y, получим соответственно:y (k) = ϕ(x, C1 , . . .

, Cn−k ) или Φ(x, y (k) , C1 , . . . , Cn−k ) = 0.Это – уравнение вида (12.1), рассмотренного выше.(3) Если в уравнение не входит независимая переменная x,то есть уравнение имеет видF (y, y , y , . . . , y (n) ) = 0,то порядок уравнения можно понизить, взяв за новуюнезависимую переменную y, а за новую неизвестнуюфункцию(12.2)y = p(y).Тогда по формуле для производной сложной функции имеемd(y ) dp(y)dp dydp==·=p ;y =dxdxdy dxdyddpddpd(y)dy=p=p=y =dxdxdydydy dx 22dp2d p=p+ p 2.dydy(12.3)(12.4)6212Практическое занятиеАналогично можно найти и производные более высоких порядков.После подстановки выражений (12.2), (12.3) и (12.4)для y , y , y и т.д. в данное дифференциальное уравнение получаем уравнение, порядок которого на единицуменьше порядка исходного уравнения.(4) Порядок уравнения легко понижается, если удаeтся преобразовать уравнение к такому виду, в котором обе егочасти являются полными производными по x от какихнибудь функций.Например, пусть дано уравнение yy = y 2 .