Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 9

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныенеоднородные уравнения с постояннымикоэффициентамиЗадача 16.1. Решить уравнениеy + 4y + 4y = xe−2x .Решение: Выпишем характеристическое уравнениеλ2 + 4λ + 4 = 0⇒λ1,2 = −2.Общее решение исходного уравнения имеет видy = y0 + y1 ,в котором y0 = C1 e−2x + C2 xe−2x – общее решение линейногооднородного уравнения (C1 , C2 – произвольные постоянные).Поскольку собственное значение λ1,2 = −2 имеет кратность 2 и совпадает с показателем экспоненты в правой частинеоднородного уравнения, то его частное решение имеет видy1 = x2 (ax + b)e−2x , где a и b – неопределенные коэффициенты.Подставив y = y1 и его первую и вторую производные в урав1нение, найдем искомые коэффициенты a = , b = 0. Отсюда6получаем общее решение исходного уравнения:1y = C1 e−2x + C2 xe−2x + x3 e−2x .6Задача 16.2.

Решить уравнениеy − 9y = e3x cos x.8616Практическое занятиеРешение: Выпишем характеристическое уравнение:λ2 − 9 = 0,решив которое, найдем собственные значения:λ1,2 = ±3.Запишем теперь общее решение соответствующего линейного однородного уравненияy0 = C1 e3x + C2 e−3x ;где C1 , C2 – произвольные постоянные.Для функции в правой части неоднородного уравнения имеем показатель в экспоненте γ = α + βi = 3 + i, которое корнемхарактеристического уравнения не является. Поэтому частноерешение этого неоднородного уравнения имеет видy1 = e3x (a cos x + b sin x).Последовательно находя первую и вторую производные этого выражения и подставляя его вместе с производными в исходное уравнение, после решения соответствующей системы най61дем a = − , b = .

Итак, общее решение уравнения373716sin x −cos x .y = C1 e3x + C2 e−3x + e3x3737Задача 16.3. Решить уравнениеy + 6y + 10y = 3xe−3x − 2e3x cos x.Решение: Запишем характеристическое уравнениеλ2 + 6λ + 10 = 0.Находим его корни:λ1 = −3 + 2i,⇒λ2 = −3 − 2i,Линейные уравнения с постоянными коэффициентами87следовательно, общее решение однородного уравнения имеетвидy0 = e−3x (C1 cos 2x + C2 e−3x sin 2x).Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения ypart в виде суммы частных решений ypart = y1 + y2 двухнеоднородных уравненийy + 6y + 10y = 3xe−3x ,(16.1)(16.2)y + 6y + 10y = −2e3x cos x,тогда общее решение неоднородного уравнения представляетсобой сумму общего решения соотвествующего однородногоуравнения и частного решения неоднородного уравнения:y = y0 + y1 + y2 .Будем искать частное решение уравнения (16.1) в видеy1 = (ax + b)e−3x ,(16.3)а частное решение уравнения (16.2) в видеy2 = e3x (c cos x + d sin x).(16.4)Найдем производные функции (16.3)y1 = ae−3x −3(ax+b)e−3x ,y1 = −3ae−3x −3ae−3x +9(ax+b)e−3x .Подставляя функцию (16.3) и ее производные в уравнение(16.1)−6ae−3x + 9(ax + b)e−3x + 6(ae−3x − 3(ax + b)e−3x )++10(ax + b)e−3x = 3xe−3x ,получим систему уравнений для коэффициентов a, b :9a − 18a + 10a = 3,−6a + 9b + 6a − 18b + 10b = 0,откуда находим a = 3, b = 0, то естьy1 = 3xe−3x .8816Практическое занятиеАналогично поступаем и для функции y2 (16.4).

Найдем еепроизводныеy2 = 3e3x (c cos x + d sin x) + e3x (−c sin x + d cos x),y2 = 9e3x (c cos x + d sin x) + 3e3x (−c sin x + d cos x)++3e3x (−c sin x + d cos x) − e3x (c cos x + d sin x)и подставим в уравнение (16.2):9e3x (c cos x + d sin x) + 6e3x (−c sin x + d cos x)−−e3x (c cos x + d sin x) + +18e3x (c cos x + d sin x)++6e3x (−c sin x + d cos x) + 10e3x (c cos x + d sin x) = −2e3x cos x.Получим систему уравнений для коэффициентов c, d :36c + 12d = −2−12c + 36d = 0,11решая которую, находим c = − 20, d = − 60, то есть11cos x +sin x .y2 = −e3x2060Таким образом, имеем общее решение11y = e−3x (C1 cos 2x+C2 sin 2x)+3xe−3x −e3xcos x +sin x ,2060где C1 , C2 – произвольные постоянные.Задача 16.4. Решить уравнениеy − 6y + 9y = xe3x + e3x cos 2x.Решение: Для однородного уравнения выпишем характеристическое уравнение λ3 − 6λ2 + 9λ = 0, которое легко раскладывается на множители λ(λ − 3)2 = 0 и имеет кратный кореньλ1,2 = 3 кратности два и простой корень λ3 = 0.

Поэтому общеерешение однородного уравнения имеет видy0 = (C1 + C2 x)e3x + C3 .Линейные уравнения с постоянными коэффициентами89Правая часть уравнения состоит из двух слагаемых; дляпервого показатель в экспоненте γ1 = α1 + β1 i = 3, а для второго γ2 = α2 + β2 i = 3 + 2i. Так как эти числа различны, тонадо искать отдельно решения уравненийy − 6y + 9y = xe3x ,y − 6y + 9y = e3x cos 2x.Частное решение исходного уравнения будет суммой частных решений этих двух уравнений.Собственное значение λ1,2 = 3 совпадает с γ1 и имеет кратность s = 2, поэтому частное решение первого уравнения имеетвид y1 = x2 (ax+b)e3x .

Выполняя дифференцирование и подставив в первое уравнение y = y1 , y = y1 , y = y1 , y = y1 , послерешения системы уравнений для коэффициентов a, b найдем11a= , b=− .1818Далее, число γ2 = α2 + β2 i = 3 + 2i не является корнемхарактеристического уравнения, поэтому частное решение второго уравнения имеет вид y2 = e3x (c cos 2x+d sin 2x). Выполняядифференцирование и подставив во второе уравнение y = y2 ,y = y2 , y = y2 , y = y2 , после решения системы уравненийдля коэффициентов c, d найдем13c=− , d=− .5226Общее решение исходного уравнения равноy = y0 + y1 + y2 ,гдеy1 = x211x−e3x ;181831sin 2x .y2 = e3x − cos 2x −52269016Практическое занятиеОтсюда получаем общее решение исходного уравнения11x−e3x +y = (C1 + C2 x)e3x + C3 + x2181831+e3x − cos 2x −sin 2x .5226Задача 16.5.

Решить методом вариации произвольных постоянных уравнениеex·y − 2y + y =xРешение: Выпишем характеристическое уравнение длясоответствующего однородного уравнения:λ2 − 2λ + 1 = 0и найдем его корни(λ − 1)2 = 0⇒λ1,2 = 1.Имеем общее решение линейного однородного уравненияy0 = C1 ex + C2 xex .Будем искать частное решение ȳ неоднородного уравнения,считая C1 , C2 функциями от x: C1 = z1 (x) и C2 = z2 (x) :ȳ = z1 (x)ex + z2 (x)xex .Подставив y = ȳ в исходное уравнение с учетом дополнительных ограничений, налагаемых на производные z1 (x) и z2 (x)в методе вариации произвольных постоянныхz1 (x)ex + z2 (x)xex = 0,Линейные уравнения с постоянными коэффициентами91и исключая слагаемые, содержащие сами функции z1 (x), z2 (x),получим следующую систему уравнений:z1 (x)ex + z2 (x)xex = 0,x(16.5)exx z1 (x)e + z2 (x)(x + 1)e = ,xиз которой находимz1 = −x + C, z2 = ln |x| + C,ȳ = (−x + C1 )ex + (ln |x| + C2 )xex .Заметим, что коэффициенты при z1 (x) и z2 (x) в системе(16.5) совпадают с элементами определителя Вронского дляфундаментальной системы решений ex , xex соответствующего однородного уравнения и получаются из фундаментальнойсистемы последовательным дифференцированием.Общее решение исходного уравнения имеет видy = C1 ex + C2 xex − xex + x ln |x|ex .Задачи для самостоятельного решенияРешить уравнения:1.y + y = 4xex ;2.y + y = 4 sin x;3.y + 3y − 4y = e−4x + xe−x ;4.y − 4y + 8y = e2x + sin 2x.Решить уравнения методом вариации постоянных:1;5.y + 3y + 2y = xe +19217Практическое занятие1;sin x6.y + y =7.x3 (y − y) = x2 − 2.17.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныеуравнения с переменными коэффициентамиЛинейное дифференциальное уравнение сохраняет свой видпри любой замене независимой переменной, причем однородное уравнение остается однородным. Это свойство можно использовать для того, чтобы попытаться привести однородноеуравнение с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами. Оказывается, что если уравнениеy (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn−1 (x)y + pn (x)y = 0(17.1)можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной, то только поформуле вида npn (x) dx.(17.2)t=cЗаметим, что подстановка (17.2), даже если она и не приводит к уравнению с постоянными коэффициентами, иногда всеже полезна, так как приводит уравнение (17.1) к такому виду,в котором коэффициент при искомой функции есть постояннаявеличина.Уравнения Эйлера принадлежат к классу линейных уравнений с переменными коэффициентами, которые с помощьюзамены переменных приводятся к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Уравнение Эйлера имеет видa0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + . . . + an−1 xy + an y = f (x),где a0 , a1 , . . . , an – некоторые постоянные.(17.3)Уравнения Эйлера93В соответствии с 17.2), уравнение Эйлера (17.3) преобразуется с помощью замены независимой переменной x посредствомвведения новой независимой переменной t по формуламt = ln x,x = et ,при x > 0(17.4)(или x = −et при x < 0, что дает общее решение того же вида).

Поскольку при замене независимой переменной уравнениеостается линейным, то, как можно доказать, при подстановке(17.4) оно превращается в уравнение с постоянными коэффициентами.Докажем это непосредственными выкладками. Вычислимвыражения для нескольких производных от y по x через производные по t, где x и t связаны зависимостью (17.4). Имеем: 22dy dtddydyyddyyddy−t−t−2t== e−t ;e=e.=e−dxdt dxdt dx2dtdtdt2dtИз полученных формул видно, что выражения для первойи второй производных по x содержат множители e−t и e−2t .Допустим, что k-тая производная имеет вид: kk−1ydydyddk y−kt,=e+ α1 k−1 + . . . + αk−1dxkdtkdtdtгде α1 , . . . , αk−1 – некоторые постоянные. Тогда производная(k + 1)-го порядка будет равна k dd ydk+1 y−t,=edxk+1dt dxkи в итоге будет содержать множитель e−(k+1)t перед скобкой, которая представляет собой линейную комбинацию производныхот (k + 1)-го до первого порядков с постоянными коэффициентами.

Таким образом, при подстановке вычисленных нами производных в уравнение (17.3) нам придется при всяком k умноdk yжать k на ak xk = ak ekt ; при этом показательные множители,dx9417Практическое занятиесодержащие t, сократятся, и мы получим линейное уравнениес постоянными коэффициентами.Можно показать, что для полученного уравнения с постоянными коэффициентами относительно независимой переменнойt характеристическое уравнение имеет видa0 λ(λ−1)(λ−2) . .

. (λ−n+1)+. . .+an−2 λ(λ−1)+an−1λ+an = 0.После нахождения корней характеристического уравнениявыписываем общее решение однородного уравнения для переменной t и делаем обратную подстановку t = ln x. Если уравнение (17.3) неоднородное, то нужно предварительно решитьнеоднородное уравнение, полученное в результате перехода кпеременной t при замене (17.4) и в левой, и в правой частяхуравнения (17.3), и только после этого сделать подстановкуt = ln x.Подобно тому, как для уравнений с постоянными коэффициентами можно рациональными операциями найти частное решение в случае правой части вида Pn(x)eαx , где Pn (x) – многочлен степени n, так и для рассматриваемого класса уравнений это, очевидно, возможно, если правая часть имеет видxα Pn(ln x), где Pn (x) – многочлен, или равна сумме xα sin(ln x)и xα cos(ln x).Замена искомой функции. Для приведения однородного линейного уравнения к уравнению с постоянными коэффициентами можно использовать однородное линейное преобразованиеискомой функции, т.е.

подстановку видаy = α(x)z,(17.5)где z — новая неизвестная функция, так как всякое преобразование вида (17.5) не нарушает ни линейности, ни однородностилинейного дифференциального уравнения (17.1).Коэффициент α(x) всегда можно выбрать так, чтобы в полученном уравнении коэффициент при производной (n − 1)-гоУравнения Эйлера95порядка равнялся нулю.