Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 13

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Критерийустойчивости по первому приближениюЗадача 24.1. Исследовать на устойчивость все положенияравновесия системы уравнений dx = −2x + y + x3 ,dtdy = −x − 2y + 3x5 .dtРешение: Положения равновесия данной системы определяются из уравнений−2x + y + x3 = 0,−x − 2y + 3x5 = 0.Отсюда находим три положения равновесия: x = 0, y = 0;x = 1, y = 1 и x = −1, y = −1. Исследуем устойчивость каж-13024Практическое занятиедого из них.

Система первого приближения, соответствующаяположению равновесия x = 0, y = 0, имеет видdxdt = −2x + y,dydt = −x − 2y.Ее характеристическое уравнение−2 − λ1 = 0,λ2 + 4λ + 5 = 0. −1−2 − λКорни этого уравнения λ1,2 = −2 ± i. Значит, положениеpавновесия x = 0, y = 0 асимптотически устойчиво.Разложим правые части исходной системы в oкpecтности положения равновесия x = 1, y = 1 в ряд Тейлора:−2x + y + x3 = (x − 1) + (y − 1) + . . . ,−x − 2y + 3x5 = 14(x − 1) − 2(y − 1) + . . .

.Здесь многоточием обозначены члены не ниже второго порядка малости по отношению к x − 1 и y − 1.Отсюда видно, что система первого приближения в окрестности точки x = 1, y = 1 естьdvdu= u + v,= 14u − 2v,(24.1)dtdtгде u = x − 1, v = y − 1; корни характеристического уравненияэтой системы λ2 + λ − 16 = 0 действительны и имеют разныезнаки, поэтому положение равновесия x = 1, y = 1 исходнойсистемы неустойчиво.В окрестности точки x = −1, y = −1 разложения правыхчастей исходных уравнений таковы:−2x + y + x3 = (x + 1) + (y + 1) + .

. . ,−x − 2y + 3x5 = 14(x + 1) − 2(y + 1) + . . . .Поэтому система первого приближения в окрестности точкиx = −1, y = −1 совпадает с исследованной ранее системой(24.1), если в этой системе положить u = x + 1, v = y + 1.Критерий устойчивости по первому приближению131Следовательно, положение равновесия x = −1, y = −1 такженеустойчиво.Задача 24.2. Исследовать устойчивость решения x = 0,y = 0, z = 0 системы уравненийdx dt = − sin (x − z),dy= − sin2 (x − z) − y − sin z,dt dz = tg (y − z).dtРешение: Уравнения первого приближения, соответствующие данной системе, имеют видdx= −x − z,dtdy(24.2)= −y − z,dt dz = y − z.dtСобственные числа матрицы коэффициентов системы уравнений (24.2) определяются из характеристического уравнения−1 − λ01 0−1 − λ−1 = 0 или (λ + 1)(λ2 + 2λ + 2) = 0.

01−1 − λКорни характеристического уравнения – действительныйλ1 = −1 и комплексные λ2,3 = −1 ± i, – имеют отрицательныевещественные части. Следовательно, нулевое решение x = 0,y = 0, z = 0 данной системы уравнений асимптотически устойчиво.Задача 24.3. Найти все положения равновесия системыуравнений dx = xy + 4,dt(24.3)dy22 = x + y − 17.dt13224Практическое занятиеИсследовать иx устойчивость и определить типы особых точек.Решение: Положения равновесия (особые точки) даннойсистемы определяются из системы уравненийxy + 4 = 0,x2 + y 2 − 17 = 0.Решая эти уравнения, находим четыре положения равновесия: A(−1; 4), B(−4; 1), C(1; −4) и D(4; −1).Раскладывая правые части исходной системы в ряд Тейлорав окрестности положения равновесия (x0 , y0 ) и ограничиваясьв этих разложениях линейными членами, получим уравненияпервого приближенияdxdt = y0 (x − x0 ) + x0 (y − y0 ),dydt = 2x0 (x − x0 ) + 2y0 (y − y0 ).Заменяя x − x0 на x, а y − y0 на y, имеемdxdt = y0 x + x0 y,dydt = 2x0 x + 2y0 y.Составляем характеристическое уравнение y0 − λx0 λ2 − 3y0 λ + 2(y02 − x20 ) = 0.

2x0 2y0 − λ = 0,Если y02 < x20 , то корни характеристического уравнения действительны и имеют разные знаки. Так как координаты положений равновесия B и D удовлетворяют этому условию, тоуказанные положения равновесия неустойчивы. Особые точки(−4; 1) и (4; −1) являются особыми точками типа “седло”.Характеристические уравнения, соответствующие точкам Aи C, имеют видλ2 − 12λ + 30 = 0 и λ2 + 12λ + 30 = 0.Критерий устойчивости по первому приближению133Оба корня первого из них положительны, а второго – отрицательны. Поэтому положение равновесия A(−1; 4) неустойчиво, а положение C(1; −4) асимптотически устойчиво.Особая точка A является неустойчивым узлом, а точка C –устойчивым узлом.

Поведение траекторий в окрестности положений равновесия изображено на рис. 24.1.Рис. 24.1. Траектории решений системы (24.3)Задача 24.4. Исследовать устойчивость всех особых точексистемы уравнений dx = x2 − y 2 − 5,dt(24.4)dy = x2 + y 2 − 13.dtОпределить типы особых точек.Решение: Особые точки (положения равновесия) даннойсистемы определяем из системы алгебраических уравненийx2 − y 2 − 5 = 0,x2 + y 2 − 13 = 0.13424Практическое занятиеОтсюда находим четыре особые точки: A(−3; −2), B(−3; 2),C(3; 2), D(3; −2). Система первого приближения, соответствующая исходной системе, в окрестности особой точки (x0 ; y0 )имеет видdxdt = 2x0 (x − x0 ) − 2y0 (y − y0 ),dydt = 2x0 (x − x0 ) + 2y0 (y − y0 ),откуда, заменяя (x − x0 ) на x и y − y0 на y, получимdxdt = 2x0 x − y0 y,dydt = 2x0 x + 2y0 y.Собственные числа матрицы коэффициентов этой системыопределяются из уравненияλ2 − 2(x0 + y0 )λ + 8x0 y0 = 0.(24.5)Если x0 y0 < 0, то уравнение (24.5) имеет действительныекорни разных знаков.

Неравенство x0 y0 < 0 выполняется дляособых точек B и D. Таким образом, эти точки неустойчивы иявляются особыми точками типа “седло”.yBCx0ADРис. 24.2. Траектории решений системы (24.4)Особые точки на фазовой плоскости135Для точек A и C, как нетрудно убедиться, корни уравнения (24.5) комплексные. При этом действительные части корней уравнения, соответствующего точке A, отрицательны, а соответствующего точке C – положительны. Поэтому точка Aсоответствует асимптотически устойчивому положению равновесия (устойчивый фокус), а точка C – неустойчивому положению равновесия (неустойчивый фокус). Траектории решенийисходной системы изображены на рис.

24.2.Задачи для самостоятельного решенияИсследовать на устойчивость все положения равновесия систем уравнений:dxdt = y,1.dy= − sin x. dtdxdt = 1 − x − y + xy,2.dy= xy − 2. dtdxdt = −x + y − 1,3.dy2dt = ln(x − y).25. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Особые точки нафазовой плоскостиЗадача 25.1. Определить тип положения равновесия и характер поведения фазовых кривых системы уравнений dx = x,dtdy = x + 2y.dtСделать чертеж.13625Практическое занятиеРешение: Система имеет единственное положение равновесия x = y = 0.Составим и решим характеристическое уравнение: 1−λ0 = 0, (1 − λ)(2 − λ) = 0, λ1 = 1, λ2 = 2.

12−λ Собственные значения λ1 и λ2 – вещественные, различные иимеют одинаковые знаки. Следовательно, положение равновесия (0; 0) – неустойчивый узел, так как оба собственных значения положительны. Для λ1 = 1 находим собственный вектор{1; −1}, а для λ2 = 2 – собственный вектор {0; 1}.На плоскости xOy строим прямые x + y = 0 и x = 0, направленные вдоль указанных векторов. Каждая из этих прямых содержит три фазовые кривые, а именно положение равновесияи два луча, на которые прямые разделяются точкой O (0; 0).Остальные фазовые кривые касаются при подходе к точкеO (0; 0) прямой x + y = 0, которая соответствует меньшемупо модулю собственному значению |λ1 | < |λ2 |. Схематическиповедение фазовых кривых изображено на рис.

25.1.yx+y=00xРис. 25.1Задача 25.2. Исследовать поведение фазовых кривых системы уравнений dx = −3x + 2y,dtdy = x − 4y.dtОсобые точки на фазовой плоскости137Сделать схематический чертеж.Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: −3 − λ21−4 − λ = 0,λ2 + 7λ + 10 = 0,λ1 = −2, λ2 = −5.Корни характеристического уравнения действительные иотрицательные; следовательно, положение равновесия – устойчивый узел.Прямые, содержащие фазовые кривые системы, ищем в видеy = kx.

Подставляя y = kx в уравнениеx − 4ydy=,dx −3x + 2yполучаем уравнение для определения k:1 − 4k1k=k1 = −1,k2 = .,2k 2 + k − 1 = 0,−3 + 2k2Значит, y = −x и y = x/2 – искомые прямые. Остальные фазовые кривые – части парабол, касающихся в начале координатпрямой y = x/2. Их схематически можно построить, например, методом изоклин. То, что эти параболы касаются именно прямой y = x/2, следует из того, что собственный вектор{2; 1} матрицы коэффициентов данной системы, соответствующий собственному значению λ1 = −2 (меньшему по модулю),параллелен прямой y = x/2 (фазовые кривые изображены нарис. 25.2 (a)).Задача 25.3. Определить тип положения равновесия системы уравнений dx = 2y,dtdy = 2x + 3ydtи исследовать поведение фазовых кривых.13825Практическое занятиеyyy=y=0Рис.