Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 15

ln |x| = C + y 2 + 1; x = 0. 2. y = 2+C cos x; y = 2−3 cos x.23. y(1−Cx) = 1; y = 0; y(x+1) = 1. 4. (Ce−x −1)y = 2; y = 0.xy.6.x+2y+2=Ce; x + 2y + 2 = 0.5. 2x+y−1=Ce7. 4x + 2y − 1 − 2 ln( 4x + 2y − 1 + 2) = x + C.Занятие 4.ln C|x|; y = 0. 2. y 2 −x2 = Cy; y = 0.1 yln; y = xe2πk ,3. y = −x ln ln Cx. 4.

ln Cx = ctg2 xyk = 0, ±1, ±2, . . . 5. arcsin = ln Cx · sgn x; y = ±x.x2y−x. 7. x = −y 2 ln Cx; y = 0.6. 2x + y − 1 = Ce8. y 2 e−1/xy = C; y = 0; x = 0.9. Количество соли x(t) = 10e−t/20 ; x(60) = 10e−3 ≈ 0.5 кг.10. Объем СО2 (в м3 ) x(t) = 0.08 + 0.22e−t/10 ; x(t) = 0.1 приt = 10 ln 11 ≈ 24 мин.1. x = ±yЗанятие 5.1. Температура x(t) = 20 + 80 · 2−t/10 ; x = 25 при t = 40 мин.pρ 2(R − r2 ).2. Скорость v(r) =2µ3 4−kh=Q(3. Q(h) = Ce , Q(4)04 ) 0, 316Q0 .g tg kg(C − t), g = 10, k = 0.012,4. Скорость v(t) =kk1v(0) ≈ 1.75; v(t) = 0 при t = C ≈ 1.75 сек;C = √ arctggkg1k 2lnv (0) + 1 ≈ 16.3 м (без учетанаибольшая высота h =2kgсопротивления воздуха t = 2 сек, h = 20 м).

t3/222RH5. (2R − h(t)) = 0.45πr 2g , h = 0 при t = 0.45πr2 Rg ≈H1040 сек.Ответы6. H 5/2 − [h(t)]5/2 =27 сек.1493d2 H 2 t √2g;8R2h = 0 при t = (4R2 /3d2 ) 2H/g ≈ Занятие 6.1. y = Cx2 . 2. a ln(a ± a2 − y 2 ) ∓ a2 − y 2 = x + C.3. y = C(x2 + y 2 ). 4. x2 + y 2 = Cx.Занятие 7.1. y = (2x + 1)(C + ln |2x + 1|) + 1. 2. y = ex (ln |x| + C); x = 0.3. y = x(C + sin x).

4. x = (C − cos y) sin y. 5. y 3 = Cx3 − 3x2 .6. y 2 = Cx2 − 2x; x = 0. 7. y = x4 ln2 Cx; y = 0.1.3.5.7.Занятие 8.24y ln x + y 4 = C. 2. x2 + (x2 − y 2 )3/2 = C.3222x + ln(x + y ) = C. 4. y 2 = x2 (C − 2y); x = 0.3y(x2 − C)y = 2x. 6.

x + 2 ln |x| + y 2 − = C; x = 0.2x−xln |y| − ye = C; y = 0.Занятие 9.1. y 2 = (x + C)3 ; y = 0. 2. (x + C)2 + y 2 = 1; y = ±1.2p23. x = 2,y = 2− ln |p2 − 1| + C.p −1p −14. x = ln p + (1/p), y = p − ln p + C.5. x = 2 arctg p + C, y = ln(1 + p2 ); y = 0.6.

x = ep + C, y = (p − 1)ep ; y = −1.Занятие 12.1. C1 x − C12 y = ln |C1 x + 1| + C2 ; 2y = x2 + C; y = C.2. y 3 = C1 (x + C2 )2 ; y = C. 3. y + C1 ln |y| = x + C2 ; y = C.x3x224. y = C1 − C1 x + C2 ; y =+ C.2125. 3C1 y = (x − C1 )3 + C2 ; y = C; y = C − 2x2 .6. C12 y + 1 = ± ch(C1 x + C2 ); C12 y − 1 = sin(C1 x + C2 ); 2y =(x + C)2 ; y = 0.7. x = ln |p| + 2C1 p − C2 , y = p + C1 p2 + C3 ; y = C1 x + C2 .150ОтветыЗанятие 13.y = C.

2. y 2 = x2 + C1 x + C2 .C2 y 2 − C1 = C22 (x + C3 )2 ;2y = C2 eC1 x . 4. y = C2 (x + x2 + 1)C1 .4C1 y 2 = 4x + x(C1 ln C2 x)2 .y = −x ln(C2 ln C1 x); y = Cx.371C11sin 2t −sin 4t −cos 2t +7. y = − t cos 2t + t +816481924C2 sin t + C3 , x = sin t, t ∈ [−π/2, π/2].1.3.5.6.Занятие 14.1.3.4.5.6.7.8.yyyyyyy= C1 ex + C2 e−2x . 2. y = C1 e2x + C2 ex/2 .x).= e2x (C1 cos x + C2 sin √√2x−x= C1 e + e (C2 cos x 3 + C3 sin x 3).= C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sin x.= C1 + C2 ex + C3 e−x + C4 e3x + C5 e−3x .= ex (C1 + C2 x + C3 x2 ).= C1 + (C2 + C3 x) cos 2x + (C4 + C5 x) sin 2x.Занятие 15.11.

y = C1 e−x + C2 e3x + e4x .5x−x2. y = C1 e + C2 e + xex + x2 + 2.x2x0, 3 cos x + 0, 1 sin x.3. y = C1 e3 + C22 e + xxx−+ex + C1 ex + C2 e−3x .4. y = 12 162 32xxcos x + C2 +sin x.5. y = C1 −445x326. y = C1 +C2 e −0, 2x −0, 12x −0.048x+0.02(cos 5x−sin 5x).Занятие 16.1. y = C1 cos x + C2 sin x + (2x − 2)ex . 2. y = C1 cosx +xx1C2 sin x − 2x cos x. 3.

y = C1 ex + C2 e−4x − e−4 −+e−x .56 362x2x4. y = e (C1 cos 2x+C2 sin 2x)+0, 25e +0, 1 cos 2x+0, 05 sin 2x.Ответы1515. y = (e−x + e−2x ) ln(ex + 1) + C1 e−x + C2 e−2x . 6. y = (C1 +1ln | sin x|) sin x + (C2 − x) cos x. 7. y = − + C1 ex + C2 e−x .xЗанятие 17.1. y = C1 x3 + C2 x−1 . 2. y = C1 + C2 ln |x| + C3 x3 .3.

y = x2 (C1 cos ln |x| + C2 sin ln |x| + 3).4. y = (x − 2)2 (C1 + C2 ln |x − 2|) + x − 1, 5.125. y = C1 x2 + (C2 − ln x − ln2 x).x36. y = x(C1 + C2 ln |x|) + 2x3 .3/21/2333 + C2 x + + C3 x + .7. y = C1 x +222√√nn2 x−2 x+ C2 e.8. y = C1 cos + C2 sin . 9. y = C1 exxЗанятие 20.122e−C1 t .1. x = C2 eC1 t , y =2C1 C21 C11 C1+ C2 t , y =− C2 t .2. x =2 t2 t2C1 −C1 t22−C1 t23. x = C2 e, y=te.C24. x2 − y 2 = C1 , 2t + (x − y)2 = C2 .Занятие 21.x= C1 , xy+z 2 = C2 .

2. x+z = C1 , (x+y+z)(y−3x−z) = C2 .yyx3. x − y + z = C1 , ln |x| + = C2 . 4. = C1 , x2 + y 2 + z 2 = C2 z.zzЗанятие 22.3t−3tx = 2C1 e − 4C2 e ,x = et (C1 cos 3t + C2 sin 3t),1.2.y = C1 e3t + C2 e−3t .y = et (C1 sin 3t − C2 cos 3t).x = (2C2 − C1 ) cos 2t − (2C1 + C2 ) sin 2t,3.y = C1 cos 2t + C2 sin 2t.1.152Ответы4.x = (C1 + C2 t)e3t ,y = (C1 + C2 + C2 t)e3t .x = (C1 + C2 t)e ,y = (2C1 − C2 + 2C2 t)et .x = (C1 + 3C2 t)e2t ,7.y = (C2 − C1 − 3C2 t)e2t .5.1.3.5.6.7.8.tx = (C1 + C2 t)e−t ,6.y = (C1 + C2 + 2C2 t)e−t .Занятие 23.2t2t3tx = C1 + 3C2 e , x = C2 e + C3 e ,2. y = C1 et + C2 e2t ,y = −2C2 e2t + C3 e−t ,z = C + C e2t − 2C e−t .z = C et + C e2t + C e3t .12323 1t2t5tt−t x = C1 e + C2 e + C3 e , x = C1 e + C3 e ,4.

y = C1 et + C2 e2t ,y = C1 et − 2C2 e2t + C3 e5t ,z = −C et − 3C e2t + 3C e5t .z = 2C e2t − C e−t .123232t3tx = C1 e + e (C2 cos t + C3 sin t),y = e3t [(C2 + C3 ) cos t + (C3 − C2 ) sin t],z = C e2t + e3t [(2C − C ) cos t + (2C + C ) sin t].12332x = C2 cos t + (C2 + 2C3 ) sin t,y = 2C1 et + C2 cos t + (C2 + 2C3 ) sin t,z = C et + C cos t − (C + C ) sin t.13233t−t x = C1 e + C2 e ,y = −C1 e3t + (C2 + 2C3 )e−t ,z = −3C e3t + C e−t .13t2tx = (C1 + C2 t)e + C3 e ,y = (C1 − 2C2 + C2 t)et ,z = (C − C + C t)et + C e2t .1223Ответы153Занятие 24.1.

(2kπ, 0) – устойчивые, (π + 2kπ, 0) – неустойчивые.2. (1;2) и (2,1) – неустойчивые. 3. (2;3) – неустойчивое, (-1; 0)– устойчивое.Занятие 25.1. Неустойчивый узел. 2. Устойчивый узел. 3. Седло. 4. Центр.5. Устойчивый узел. 6. Неустойчивый фокус.Занятие 26.1. (2; 4) – узел, (−1; −2) – фокус. 2. (3; 0) – фокус, (1; 1) –узел, (−1; 1) и (−3; 0) – седла. 3. (2; 2) – узел, (−2, 0) – седло,(−1; −1) – фокус.154ОтветыЛИТЕРАТУРА1. Зубков В.

Г., Ляховский В. А., Мартыненко А. И., Миносцев В. Б. Под редакцией Миносцева В. Б. Курс высшей математики. Ч. 2 — М.: МГИУ, 2004.2. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Росвузиздат,1962.4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.5. Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения.

— М.:МГИУ, 2007.6. Самойленко А. М, Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. — М.: Высшаяшкола, 1989.7. Степанов В. В. Курс дифференциальныч уравнений. —М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.8. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальнымуравнениям. — М.: Интеграл-Пресс, 1998.Оглавление1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Проверка решенийдифференциальных уравнений2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Метод изоклин3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Решение уравненийс разделяющимися переменными4.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Решениеоднородных уравнений. Задачи, сводящиеся крешению дифференциальных уравнений5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Физическиезадачи, решаемые с помощью дифференциальныхуравнений6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Геометрическиезадачи, решаемые с помощью дифференциальныхуравнений7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныеуравнения8. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.

Уравнения в полныхдифференциалах. Интегрирующий множитель9. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Решение уравнений,не разрешенных относительно производной.Нахождение особых решений10. Контрольная работа по дифференциальнымуравнениям первого порядка11. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Численноерешение начальной задачи для дифференциальногоуравнения первого порядка11.1. Численное решение задачи Коши для155410182229364146515657156Оглавлениедифференциального уравнения первогопорядка5711.2. Численное решение задачи Коши длядифференциального уравнения первогопорядка, имеющего особенность5712.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Дифференциальныеуравнения высших порядков. Уравнения,допускающие понижение порядка6013. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Дифференциальныеуравнения высших порядков. Уравнения,допускающие понижение порядка7014. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныеоднородные уравнения с постояннымикоэффициентами7515.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныенеоднородные уравнения с постояннымикоэффициентами7916. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныенеоднородные уравнения с постояннымикоэффициентами8517. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныеуравнения с переменными коэффициентами9218. Контрольная работа по дифференциальнымуравнениям высших порядков10119. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА. Численноерешение краевой задачи для дифференциальногоуравнения второго порядка методом прогонки10220. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ.

Системыобыкновенных дифференциальных уравнений.Метод исключения неизвестных10421. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Системыобыкновенных дифференциальных уравнений.Интегрируемые комбинации. Первые интегралы111Оглавление15722. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейные системыс постоянными коэффициентами. Метод исключениянеизвестных11823. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Линейныесистемы с постоянными коэффициентами с тремяуравнениями12224. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Критерийустойчивости по первому приближению12925.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Особые точки нафазовой плоскости13526. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Нелинейныесистемы. Устойчивость положений равновесия14127. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.Численное решение задачи Коши для системдифференциальных уравнений146Учебное изданиеЕвгений Александрович ПушкарьДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯУчебнo-методическое пособиеРедактор К.В. ШматОформление обложки А.М. ГришинойСанитарно-эпидемиологическое заключение№ 77.99.02.953.Д.002624.03.06 от 30.03.2006Подписано в печать 09.02.2007Формат бум.

60х84/16. Изд. № 1-02/07Усл. печ. л. 10,0 Уч.-изд. л. 10,5 Тираж 1000 Заказ № 163Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16По вопросам приобретения продукциииздательства МГИУ обращаться по адресу:115280, Москва, Автозаводская, 16www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.ru; тел.: (495) 677-23-15Отпечатано в типографии издательства МГИУ115280, Россия, г.Москва, ул.Автозаводская, 16тел./факс: (495) 674-62-50, 677-21-82, 677-24-92, 677-23-15WWW.IZDAT.MSIU.RU, e-mail: izdat@msiu.ruПРЕДЛАГАЕМ ВАШЕМУ ВНИМАНИЮ КНИГИПушкарь Е.А.Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.: МГИУ,2007.

– 254 с.Учебное пособие предназначено для студентов высших учебныхзаведений направления «Прикладная математика и информатика» (010500) и специальности «Математическое обеспечениеи администрирование информационных систем» (010503)и соответствует программе дисциплины «Дифференциальныеуравнения»Миносцев В.Б.Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч. 1. – М.: МГИУ,2006. – 480 с. Гриф Минобразования РФПредставлены лекции и практические занятия по следующимразделам: множества, системы координат, функция одной переменной, теория пределов и числовые ряды, дифференциальноеисчисление функции одной переменной, элементы линейной,векторной и высшей алгебры, аналитической геометрии.Учебное пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений.Миносцев В.Б.Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч. 2.