Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 5

Следовательно, зеркало, отвечающее требованиям условий рассматриваемой задачи,имеет форму параболоида вращения.Задачи для самостоятельного решенияРешить задачи:1. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.2. Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2a.3.

Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касанияи от начала координат.4. Найти кривую, у которой расстояние любой касательнойот начала координат равно абсциссе точки касания.Линейные уравнения417. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ЛинейныеуравненияЗадача 7.1. Решить уравнение:xy − 2y = 2x4 .Решение: Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнениеxy − 2y = 0.Это уравнение решается разделением переменных:dxdy=2 ,yxинтегрируя которое, получим общее решение однородного линейного уравнения:y = Cx2 .Теперь применим метод вариации произвольной постоянной. Примем, что в полученном решении C – функция от x(C = C(x)). Продифференцируем общее решение однородногоуравнения, учитывая, что C = C(x), и подставим в исходноенеоднородное уравнение полученное решение y = Cx2 и выражение для его производной y = Cx x2 + 2xC.

Получим уравнение для C = C(x):x(Cx x2 + 2xC) − 2Cx2 = 2x4 .Приведя подобные, получим дифференциальное уравнениес разделяющимися переменными относительно C. Решим этоуравнение:dC= 2x4 ,x3dxИнтегрируя, получим общее решениеC = x2 + C1 .427Практическое занятиеТеперь, подставив C = C(x) в общее решение однородногоуравнения, получим общее решение исходного линейного неоднородного уравнения:y = x2 (x2 + C1 ),илиy = x4 + C1 x2 .Обратите внимание, что общее решение линейного неоднородного уравнения является суммой общего решения соответствующего линейного однородного уравнения (y = C1 x2 ) инекоторого частного решения исходного неоднородного линейного уравнения (то, что функция y = x4 – решение исходногоуравнения, можно легко проверить, подставив эту функцию иее производную в это уравнение).Задача 7.2. Решить уравнение:(x + y 2 )dy = ydx.Решение: Данное уравнение не является линейным относительно y, но это уравнение линейно относительно x.

Поэтомубудем искать не функцию y = y(x), а функцию x = x(y). Поделив исходное уравнение на dy, получим уравнение, линейноеотносительно x:dx= x + y2;ydydxy − x = y2.dyВначале решим соответствующее однородное линейное уравнение:dxy − x = 0.dyЭто уравнение решается разделением переменных:dx dy= ;xyЛинейные уравнения43x = Cy.Теперь применим метод вариации произвольной постоянной.Ищем решение линейного неоднородного уравнения, считая,что C = C(y):x = C(y)y,xy = Cy y + C.Подставим эти два выражения в исходное уравнение для нахождения C(y):y(Cy y + C) = Cy + y 2 ⇒ Cy = 1 ⇒ C = y + C1 .Теперь, подставив полученную функцию C в общее решениеоднородного линейного уравнения, получим общее решение исходного, неоднородного, уравнения:x = y 2 + C1 y.Задача 7.3.

Решить уравнение:y + 2y = y 2 ex .Решение: Это уравнение не является линейным ни по x,ни по y, но его можно привести к линейному. Это так называемое уравнение Бернулли. В общем виде оно выглядит так:y + a(x)y = y n b(x).Уравнение Бернулли решается подстановкой z = y 1−n .Рассмотрим наше уравнение.

Поделим его на y2 , азатем сде−zx11= 2 ·лаем замену переменной y = · При этом yx =zz xzСократив, получим уравнение−zx + 2z = ex .447Практическое занятиеНовое уравнение линейно относительно z. Найдем z = z(x),решая сначала однородное линейное уравнение, а затем применяя метод вариации произвольной постоянной:dz= 2dx ⇒−zx + 2z = 0 ⇒z⇒ln |z| = 2x + ln C ⇒ z = Ce2x ,В полученном решении линейного однородного уравненияварьируем произвольную постоянную C, считая, что C = C(x):zx = Cx e2x + 2Ce2y ,z = C(x)e2x ,dC 2x− dC = e−x dx,e = ex ⇔⇒−dxC(x) = e−x + C1 ,z = (e−x + C1 )e2x ,z = ex + C1 e2x .Теперь, вспомнив, что z = y1 , получим общее решение:y=1·ex + C1 e2xЗадача 7.4.

Решить уравнение:y = y 4 cos x + y tg x.Решение: Данное уравнение также нелинейное. Поделимего на y 4 :yxtg x+= cos xy4y3y1и сделаем замену переменной z = 3 . В этом случае z = − 4 ,y3y1yследовательно 4 = − zx . После замены переменных и необy3ходимых сокращений получим линейное дифференциальноеЛинейные уравнения45уравнение, решаемое описанными выше методами:1− zx + z tg x = cos x.3Решаем соответствующее однородное линейное уравнение:1− zx + z tg x = 0,3dz= 3 tg xdx ⇒ z = C cos3 x,zВ полученном решении линейного однородного уравненияварьируем произвольную постоянную C:C = C(x),zx = Cx cos3 x − 3C cos2 x sin xи подставим в исходное неоднородное уравнение1− (Cx cos3 x − 3C cos2 x sin x) + C cos2 x sin x = cos x,33dx.−dC =cos2 xИнтегрируя это уравнение и подставляя найденное выражения для C = C(x) в решение однородного уравнения, находимC = e−3 tg x + C1 ;z = C1 cos3 x + e−3 tg x cos3 x;Делая обратную замену переменных, получим общее решение:1·y=√33−3tgx3C1 cos x + ecos xЗадачи для самостоятельного решенияРешить уравнения:1.(2x + 1)y = 4x + 2y;4682.(xy + ex )dx − xdy = 0;3.y = x(y − x cos x);4.(sin2 y + x ctg y)y = 1;5.xy 2 y = x2 + y 3 ;6.xydy = (y 2 + x)dx;7.√xy − 2x2 y = 4y.Практическое занятие8.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Уравнения вполных дифференциалах. ИнтегрирующиймножительПроверить, что следующие уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их:Задача 8.1.(2 − 9xy 2 )xdx + (4y 2 − 6x3 )ydy = 0.Решение: Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Действительно, если этоуравнение в полных дифференциалах, то существует такаяфункция U (x, y), что dU = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, и общий интеграл уравнения имеет вид U (x, y) = const.В данном уравненииP (x, y) = (2 − 9xy 2 )x,а Q(x, y) = (4y 2 − 6x3 )y.∂Q∂P≡является достаточным условием∂y∂xтого, что уравнение является уравнением в полных дифференТогда тождествоУравнения в полных дифференциалах47циалах. Находим∂Q∂P= −18x2 y ≡= −18x2 y,∂y∂xто есть требуемое тождество выполнено.Проинтегрировав функцию P (x, y) = Ux по переменной x,получим функцию U :U = (2 − 9xy 2 )xdx = x2 − 3y 2 x3 + C,где C является функцией от y:U = x2 − 3y 2 x3 + ϕ(y),Найдем ϕ(y), продифференцировав U по переменной y иучитывая, что Uy = Q:Uy = −6x3 y + ϕ(y);−6x3 y + ϕ(y) = 4y 3 − 6x3 y;ϕ (y) = 4y 3⇒ϕ(y) = y 4 ;U = x2 − 3y 2 x3 + y 4 .Тогда функция U (x, y) = C будет искомым решением уравнения в полных дифференциалах:x2 − 3y 2 x3 + y 4 = C.Задача 8.2.

Решить уравнениеe−y dx − (2y + xe−y )dy = 0.Решение: Аналогично предыдущей задаче, проверим усло∂Q∂P≡:вие выполнения тождества∂y∂x∂P= (e−y )y = −e−y ,∂y488Практическое занятие∂Q= (−2y − xe−y )x = −e−y .∂xНайдем функцию U , интегрируя P (x, y):U = e−y dx = xe−y + ϕ(y),Uy = −xe−y + ϕy = Q = −2y − xe−y⇒ϕy = −2y,ϕ(y) = −y 2 .ТогдаU = xe−y − y 2 ,а искомое решение – функцияxe−y − y 2 = C.Решить следующие уравнения, найдя каким-либо способоминтегрирующий множитель или сделав замену переменных:Задача 8.3.(x2 + y 2 + x)dx + ydy = 0.Решение: Убедимся, что данное уравнение не являетсяуравнением в полных дифференциалах:∂P= (x2 + y 2 + x)y = 2y;∂y∂Q= yx = 0;∂x∂Q∂P=·∂y∂xТеперь проверим, нельзя ли найти интегрирующий множитель, который зависит только от одной переменной. Для этогопосмотрим, от каких переменных зависят выраженияPy − QxPиPy − Qx·QУравнения в полных дифференциалах49Py − Qx2y= 2– зависит от обеих переНайдем, чтоPx + y2 + xPy − Qx2yменных; вычислим== 2.

Будем считать, что этоQyвыражение зависит от x.Py − Qxзависит только от одной переТак как выражениеQменной (от x), то существует интегрирующий множитель µ(x),зависящий от этой переменной. Попытаемся вычислить функцию µ(x), домножив на нее исходное уравнение и используя∂Q∂P=. Получимусловие∂y∂xµ(x)(x2 + y 2 + x)dx + µ(x)ydy = 0;∂P= (µ(x)(x2 + y 2 + x))y = 2µ(x)y;∂y∂Q= (µ(x)y)x = yµx ;∂x2µy = yµx .Из полученного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными найдем µ:µ = C1 e2xПоскольку в полученном решении C1 – произвольная постоянная, то примем C1 = 1.

Домножим исходное уравнение наполученный интегрирующий множитель:e2x (x2 + y 2 + x)dx + ye2x dy = 0.Легко проверить, что полученное уравнение уже являетсяуравнением в полных дифференциалах и при решении его описанным выше способом получается функция2x + ln(x2 + y 2 ) = C.508Практическое занятиеЗадача 8.4. Решить уравнениеyydx − xdy = 2x3 tg dx.xРешение: Легко проверить, что уравнение не являетсяуравнением в полных дифференциалах, но его левая часть y напоминает числитель в полном дифференциале дроби d.xЧтобы в левой части получился полный дифференциал, разделим обе части уравнения на x2 .

Тогда получим уравнениеy yyydx − xdydx⇔−d=2xtgdx.=2xtgx2xxxТеперь, сделав замену переменных t = xy , получим уравнение−dt = 2x tg tdx,которое решается разделением переменных.Такой метод решения называется методом выделения полных дифференциалов.Решим полученное уравнение:ctg t dt = −2xdx⇒ln | sin t| = −2x2 + ln |C|,2sin t = Ce−2x .Делая обратную замену переменных, получим общий интеграл:y2sin = Ce−2x .xЗадачи для самостоятельного решенияПроверить, что следующие уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах, и решить их:ydx + (y 3 + ln x)dy = 0;1.x22.2x(1 + x − y)dx − x2 − ydy = 0;Уравнения, не разрешенные относительно производной51Решить уравнения, найдя интегрирующий множитель илисделав замену переменных:3.(x2 + y 2 + y)dx − xdy = 0;4.y 2 dx − (xy + x3 )dy = 0;dy1dx += 0;y−xy5.6.(x2 + 2x + y)dx = (x − 3x2 y)dy;7.y 2 dx + (ex − y) dy = 0.setcounterequation09.