Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения в задачах и примерах, страница 3

Тогдаdt+ 1. Подставим эти соотношения в исходноеy = t + x, yx = dxуравнение. Получимdtdt+ 1 = cos t ⇔= dx.dxcos t − 1Проинтегрировав обе части полученного равенстваdt,dx =cos t − 1находим:tx = ctg + C.2Для получения решения сделаем подстановку t = y − x:y−x+ C.x = ctg2224Практическое занятиеЭто уравнение определяет искомую функцию y = y(x) внеявном виде.Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие уравнения и задачи Коши:1.y 2 + 1dx = xydy;2.y ctg x + y = 2,3.xy + y = y 2 ,4.y − xy 2 = 2xy;5.y − y = 2x − 3;6.(x + 2y)y = 1,7.y =√где y (x) → −1 при x → 0;где y(1) = 0, 5;где y(0) = −1;4x + 2y − 1.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Решениеоднородных уравнений.

Задачи, сводящиеся крешению дифференциальных уравненийЗадача 4.1. Решить уравнение:(x + 2y)dx − xdy = 0.y= t. ТогдаРешение: Сделаем замену переменных:xy = tx, dy = tdx + xdt. Подставив y и dy в исходное уравнениеи приведя подобные члены, получим уравнение с разделяющимися переменными, решать которое мы уже умеем:(x + 2tx)dx − x(tdx + xdt) = 0;Решение однородных уравнений23x(1 + t)dx − x2 dt = 0;(1 + t)dx = xdt;dtdx=;x1+tln |x| + ln C = ln |1 + t|;ln C|x| = ln |1 + t|;Cx = 1 + t;Сделав обратную замену t = xy , получим искомую функцию:y⇒y = Cx2 − x.Cx = 1 +xПоскольку при решении уравнения с разделяющимися переменными мы разделили на x, то теперь нужно проверить,не является ли функция x = 0 еще одним решением нашегоуравнения (легко видеть, что в общее решение эта функция невходит).

Подставив ее и ее дифференциал в исходное уравнение, получим тождество 0 ≡ 0, следовательно, функция x = 0 –частное решение данного уравнения, помимо найденного вышеобщего решения.Задача 4.2. Решить уравнение:(y 2 − 2xy)dx + x2 dy = 0.Решение: Очевидно, это уравнение тоже является однородным, поскольку коэффициенты при дифференциалах – однородные функции x и y. Сделаем такую же подстановку, каки в предыдущей задаче.

Тогда(x2 t2 − 2x2 t)dx + x2 (tdx + xdt) = 0.Раскрыв скобки и приведя подобные, получим, как и в предыдущем случае, уравнение с разделяющимися переменными,которое легко решается:x2 (t2 − t)dx = −x3 dt;244Практическое занятиеdtdx= 2;xt −ttln C|x| = ln·t−1Сделав обратную подстановку, получим общий интегралуравненияCx(y − x) = y.Полученный общий интеграл определяет искомую функциюy = y(x) в неявном виде.Поскольку при решении уравнения с разделяющимися переменными мы делили на x, то теперь нужно проверить, не является ли функция x = 0 еще одним решением нашего уравнения(легко видеть, что в общее решение эта функция не входит).Подставив ее и ее дифференциал в исходное уравнение, получим тождество 0 ≡ 0, следовательно, функция x = 0 – ещеодно (частное) решение данного уравнения.При разделении переменных мы также делили на t2 − t, поэтому необходимо проверить, не являются ли соотношения, полученные при приравнивании к нулю выражения t2 −t, решениями исходного уравнения.

Легко видеть, что t = 0 дает y = 0,а t = 1 дает y = x. Подставляя эти соотношения в исходноедифференциальное уравнение, найдем, что они удовлетворяютуравнению и являются решениями.Эти частные решения могут быть получены из общего решения при C = 0 и C = ∞ (последнее означает перенос постоянной C в правую часть решения за счет деления на C, введениеновой произвольной постоянной C̃ = 1/C и приравнивание новой постоянной к нулю). Из записи общего решения в виде−x(y − x) = C̃yследует, что решение x = 0 содержится в общем решении.Задача 4.3.

Решить уравнение:(2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0.Решение однородных уравнений25Решение: Данное уравнение, очевидно, не является однородным, оно легко приводится к однородному переносом начала координат в точку пересечения прямых 2x − 4y + 6 = 0 иx + y − 3 = 0.

Поэтому найдем точку пересечения этих прямых,решая систему2x − 4y + 6 = 0,x + y − 3 = 0.В результате решения этой линейной системы получим точку x0 = 1, y0 = 2. Сделаем подстановку x1 = x−1, y1 = y −2.При этом dx = dx1 , dy = dy1 . Подставляя в исходное уравнение, имеем(2(x1 + 1) − 4(y1 + 2) + 6)dx1 + (x1 + 1 + y1 + 2 − 3)dy1 = 0.После приведения подобных членов получим однородноеуравнение(2x1 − 4y1 )dx1 + (x1 + y1 )dy1 = 0,которое решаем с помощью подстановки y1 = x1 t, при этомdy1 = x1 dt + tdx1 . Получаем(2x1 − 4x1 t)dx1 + (x1 + x1 t)(x1 dt + tdx1 ) = 0.Приводя подобные члены и разделяя переменные, получимравенство, которое можно проинтегрировать:−1 − tdx1dt;= 2x1t − 3t + 2ln C|x1 | = 2 ln |t − 1| − 3 ln |t − 2| ;(t − 1)2Cx1 =;(t − 2)3Cx1 (t − 2)3 = (t − 1)2 ;3 2y1y1Cx1−2 =−1 .x1x1264Практическое занятиеСделав обратную замену переменных x1 = x − 1, y1 = y − 2,получим общий интеграл:C(y − 2x)3 = (y − x + 1)2 .Задача 4.4.

Решить уравнение:√2y + x = 4 y.Решение: Данное уравнение не является однородным, однако его можно привести к однородному, сделав замену y = z m .Число m заранее не известно, поэтому определим его, сделав вуравнении указанную замену (в этом случае y = mz m−1 z ):m2mz m−1 z + x = 4z 2 .Это уравнение будет однородным в том случае, когда степени всех его членов равны между собой, то есть m − 1 = 1 = m2 .Из этих равенств определим m: m = 2, тогда уравнение можнопривести к однородному заменой y = z 2 :4zz + x = 4z.Полученное уравнение уже является однородным и его можно решить описанными выше методами. При решении и обратной замене переменных получаются следующие функции:√√(2 y − x) ln[C(2 y − x)] = x,√2 y = x.Рассмотрим теперь физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.Задача 4.5. Сосуд объемом 20 литров содержит воздух(80% азота и 20% кислорода).

В сосуд втекает 0,1 литров азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99% азота? (При решении задачи считать, что втекающийРешение однородных уравнений27азот вследствие перемешивания распределяется по объему сосуда равномерно.)Решение: Примем за независимую переменную время t, аза искомую функцию V (t) – объем азота в сосуде (в литрах).Тогда за промежуток времени ∆t количество азота в сосуде изменится на ∆V = V (t+ ∆t)−V (t). С другой стороны, за время∆t в сосуд попадет 0, 1∆t литров азота, через то же время всосуде окажется V (t) + α(t) литров азота, то есть один литрлитров азота, а вытечет за это времясосуда содержит V (t)+α(t)200, 1 V (t)+α(t)∆t литров азота (функция α(t) → 0 при ∆t → 0).20Таким образом, за время ∆t содержание азота в сосуде изме∆t литров.нится на ∆V = 0, 1∆t − 0, 1 V (t)+α(t)20Перейдя к пределу при ∆t → 0, получим уравнение с разделяющимися переменными:Vdt.200Решая это уравнение, получим функциюdV = 0, 1dt −tV = Ce− 200 + 20.Теперь, используя условие, что в момент времени t = 0 всосуде находилось V = 20 · 0, 8 = 16 литров азота, вычислимконстанту C:16 = C + 20,C = −4.Таким образом, мы получили уравнение зависимости объемаазота в сосуде от времени:tV (t) = 20 − 4e− 200 .Теперь, используя это уравнение, можем вычислить время,через которое в сосуде окажется 99% азота, так как 99% азотасоставляют V = 20 · 0, 99 = 19, 8 л.

Подставив это значение в284Практическое занятиевыражение для V (t), вычислим t:t19, 8 = 20 − 4e− 200 ,t4e− 200 = 0, 2,te− 200 = 0, 05.Потенцируя, находимt = −200 · ln 0, 05 = −2, 99 · (−200) = 598 с.Полученное время есть искомое время заполнения сосудаазотом на 99%.Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие однородные уравнения:1.x3 y = y(2x2 − y 2 );2.(x2 + y 2 )y = 2xy;3.xy = y − xey/x ;4.5.xy = y cos ln xy ;xy = x2 − y 2 + y;6.(2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy = 0;7.2x2 y = y 3 + xy;8.ydx + x(2xy + 1)dy = 0.В следующих задачах считать, что втекающий газ (илижидкость) вследствие перемешивания распределяется по всему объему вместилища равномерно.9.

В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли.В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той жеЗадачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений29скоростью. Сколько соли останется в баке через час?10. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15 %углекислого газа (CO2 ). Вентиляция подает в минуту 20 м3 воздуха, содержащего 0,04 % CO2 .

Через какое время количествоуглекислого газа в комнате уменьшится втрое?5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ. Физическиезадачи, решаемые с помощью дифференциальныхуравненийЗадача 5.1. После выключения двигателя лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, котороепропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки2 м/с, через 4 с ее скорость стала равна 1 м/с. Когда скоростьуменьшится до 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка дополной остановки?Решение: Пусть v = v(t) – скорость лодки в момент времени t. Тогда v(0) = 2. Согласно второму закону Ньютона,dv= F (t), где F (t) — сила, действующая на лодку, и m —mdtмасса лодки. По условию задачи сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки: F (t) = −kv(t), где k > 0 – коэффициент пропорциональности, а знак минус означает, что силанаправлена против движения. Сила тяжести, действующая налодку, уравновешивается силой Архимеда, обе этих силы перпендикулярны поверхности воды, поэтому дифференциальноеуравнение движения лодки имеет видdvm = −kv.dtЭто уравнение с разделяющимися переменными.

После разделения переменных и интегрирования получимdvm = −kdt =⇒ m ln |v| = −kt + ln |C|v305Практическое занятиеи, следовательно, общее решение имеет видkv = Ce− m t .Согласно начальному условию, v(0) = 2, поэтому C = 2 иkv(t) = 2e− m t .Из того факта, что скорость лодки известна через 4 секунды:kv(4) = 1, можно определить величину mk : 1 = 2e−4 m , откудаk= ln42 .mtТаким образом, скорость лодки V (t) = 21− 4 . Время T , через которое скорость лодки станет равной 0,25 м/с, находим изTTуравнения 0, 25 = 21− 4 , откуда 2−2 = 21− 4 , −2 = 1 − T4 , следовательно T = 12 с. Длину пути, пройденного лодкой, вычислимпо формулеts(t) =tv(τ ) dτ =0201− τ48 − 4t.dτ =1−2ln 2Отсюда видно, что лодка может пройти путь (за бесконечное8время!), который не превосходит 11, 5 м.ln 2Задача 5.2. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км.

Сколько времени он падалдо раскрытия парашюта? Известно, что предельная скоростьпадения человека в воздухе нормальной плотности составляет50 м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. (Ускорение силы тяжести g считать равным 10 м/с2 .)Решение: Примем за независимую переменную t – времяпадения парашютиста, а за искомую функцию v(t) – скоростьпарашютиста. Тогда силу сопротивления воздуха Fdrag запишем следующим образом:Fdrag = kv 2 (t),Задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений31где k – коэффициент пропорциональности.Теперь запишем сумму сил, которые действуют на парашютиста при падении в проекции на вертикальную ось:ma = mg − Fdrag ,где a – ускорение парашютиста.Учитывая, что ускорение a = dvdt , получим дифференциальное уравнение, связывающее скорость парашютиста v и время tmdv= mg − kv 2 .dtОбозначим для удобстваkm= η.

Получим11 dv= g − v2.η dtηДанное уравнение является уравнением с разделяющимисяпеременными, решая его, получим скорость парашютиста какфункцию времени:1dv = dt;− 1η v2 − gη1t=−ηdvv2 −1ηg·Проинтегрировав данное равенство и выразив из найденноготаким образом уравнения функцию v(t), получим:√−2 ηgtg1−e√·v=−2η 1 + e ηgtТеперь, используя эту функцию, определим постоянную η.Предельная скорость падения человека в воздухе нормальнойплотности составляет 50 м/с.