Диссертация (Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения), страница 8

По-кажем, что при условии того, что третья компонента тензора магнитнойпроницаемости µ33 известна, задача имеет аналитическое решение.Справедлива следующая теорема.Теорема 1.8. Пусть известны значение µ33 тензора магнитной прони цаемости µb1 , ρ(j) = Re Aeiγ0 l1 /F (j) , ζ (j) = Im Aeiγ0 l1 /F (j) и ρ(j) <1, (ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 ,bµ1существует и единственно и выражается формулами: 2−2−2π 2(ω−ω)µ0µ−1µ11 = a 2 1 2 2 33 ,e (1) (ω1 )e (1) (ω2 )γ0QQ−ω2ω1(1.114)µ−133 ,(1.115)µ22 =π 2(ω1−2ae (2) (ω2 ) 2Q−ω2− ω2−2 ) e(2) 2 Q(ω1 )ω1µ0γ02компоненты диэлектрического тензора определяются по формулам: (2) 2 ! π 2 µ1τ22ε11 = 2+,ω µ22 ε0a µ33l163ε22 =ε33 =1ω2µ1ω 2 µ11 ε0гдеe(j) = Q(j)Qj = 1, 2,(1)τ (1) = τ1 = γ0 l1(2)τ (2) = τ1 = γ0 l1(3)τ (3) = τ1 = γ0 l1(j)11 ε0 π 2 µaµ33 π 2 µa1111µ22++(1)τl1(3)τl12 !2 !,, (j) pζ + (ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 − 1p=,1 − (ρ(j) )2µ11µ0µ22µ0µ11µ0! (1) pζ + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1p,1 − (ρ(1) )2! (2) pζ + (ρ(2) )2 + (ζ (2) )2 − 1p,1 − (ρ(2) )2! (3) pζ + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1p,1 − (ρ(3) )2(2)при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) ≥ 1,(j)(j)(j)(j)= sign sin τ1ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ , sign ζ(j = 1, 2, 3) и(1)τ (1) = τ2(2)τ (2) = τ1(3)τ (3) = τ1e(j) = (Q(j) )−1Q!p(1)21 − (ρ )µ11,= γ 0 l1 pµ0 ζ (1) + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1!p(2)21 − (ρ )µ22= γ 0 l1, pµ0 ζ (2) + (ρ(1) )2 + (ζ (2) )2 − 1!p1 − (ρ(3) )2µ11,= γ 0 l1 pµ0 ζ (3) + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1(j)(2)при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) < 1,(j)(j)(j)(j)ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ= sign sin τ2(j = 1, 2, 3).Иначе обратная задача PεbR1 не имеет решения.64Доказательство.

Из выражений (1.98) теоремы 1.7 для ε11 , ε22 , рассмотренных на двух различных частотах ω1 и ω2 , получаем выражения (1.114)и (1.115) для компонент µ11 и µ22 тензора магнитной проницаемости.Вывод формул для элементов тензора диэлектрической проницаемости ε11 , ε22 , ε33 аналогичен приведенному выводу в теореме 1.7.65Глава 2Обратные задачи восстановленияэлектромагнитных параметровмногосекционной диафрагмы впрямоугольном волноводеДанная глава посвящена обратным задачам восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольномволноводе.Результаты Главы 2 опубликованы в [7, 8, 9], [74]-[80].2.1Анизотропная многосекционная диафрагма(класс M)2.1.1Восстановление вещественной диэлектрической проницаемостиВ пункте 2.1 будут рассмотрены обратные задачи восстановления вещественной диэлектрической проницаемости εj (1 ≤ j ≤ n) каждой сек-ции многосекционной изотропной диафрагмы по коэффициенту прохождения F/A (задача PεRj ) или отражения B/A (QRεj ).66Рассмотрим задачу PεRj .

Коэффициент прохождения F/A прошедшего поля известен из эксперимента. В пункте 1.1 была получена рекуррентная формула (1.25)–(1.26) зависимости коэффициента прохожденияF/A от диэлектрической и магнитной проницаемостей и длины каждой секции. Рассмотрим изотропный случай, то есть, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости являются скалярными величинами.Будем предполагать, что магнитная проницаемость внутри волновода ив каждой секции диафрагмы известна и принимает следующее значение:µ0 = 1. Тогда формулы (1.25)–(1.26) примут вид:nQγjFj=0,=(+)(+)A−iγle 0 n γn pn+1 + γ0 qn+12где(+)(+)(+)(+)(+)(2.1)(+)pj+1 = γj−1 pj cos αj + γj qj i sin αj , qj+1 = γj−1 pj i sin αj + γj qjcos αj ,(2.2)(+)p1(+)= 1, q1r= 1, αj = γj (lj − lj−1 ), l0 = 0r2π2π22(2.3)γj = ω εj µ0 − 2 = kj − 2 (j = 1, n)aaЗдесь в отличие от формул (1.25)– (1.26) выражения для коэффициентов(+)(+)p j , qjпредставлены для изотропного случая.Для того, чтобы определить n вещественных неизвестных, требуетсяиметь n различных комплексных уравнений.

В случае, если n = 2m,необходимо провести измерения на k = m различных частотах. В случае,если n = 2m+1, достаточно провести измерения на k = m+1 различныхчастотах. В результате получим систему (2.4):2nQγj (ωk )Fj=0 , j = 1, n (2.4)(ωk ) =(+)(+)A−iγ(ω)le 0 k n γn (ωk ) pn+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) qn+1 (ωk )67Решая систему (2.4) методом Левенберга-Марквардта, находим искомыедиэлектрические проницаемости каждой секции.Теорема существования и единственности решения задачи PεRj будетсформулирована и доказана в следующем пункте.Рассмотрим обратную задачу QRεj .Коэффициент отражения B/A прошедшего поля известен из эксперимента.В первой главе была получена рекуррентная формула (1.34)–(1.36)зависимости коэффициента отражения B/A от диэлектрической и магнитной проницаемостей и длины каждой секции.

Рассмотрим изотропный случай, то есть, когда диэлектрическая и магнитная проницаемостиявляются скалярными величинами. Будем предполагать, что магнитнаяпроницаемость внутри волновода и в каждой секции диафрагмы известны и принимают следующие значения: µj = µ0 = 1 (j = 1, . . . , n). Тогдаформулы (1.34)–(1.36) примут вид:(−)(−)γn pn+1 + γ0 qn+1B,=(+)(+)Aγn pn+1 + γ0 qn+1(2.5)где(±)p1(±)(±)= 1; p2= γ0 cos α1 ± γ1 i sin α1 ;(±)(±)pj+1 = γj−1 pj cos αj + γj qj i sin αj ;q1± = 1; q2± = γ0 i sin α1 ± γ1 cos α1 ;(±)(±)(±)αj = γj (lj − lj−1 ) ,j = 2, n.qj+1 = γj−1 pj i sin αj + γj qjcos αj ;(2.6)Коэффициенты γj определяются по формуле (2.3). Таким образом,мы имеем комплексное уравнение с n действительными неизвестными.Для того, чтобы определить n вещественных неизвестных требуется иметьn/2 различных комплексных уравнений. В случае если n = 2m необходимо провести измерения на k = m различных частотах. В случае, если68n = 2m + 1 достаточно провести измерения на k = m + 1 различныхчастот.

В результате получим систему (2.7):(−)(−)γn (ωk ) pn+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) qn+1 (ωk )B,(ωk ) =(+)(+)Aγn (ωj ) pn+1 (ωk ) + γ0 (ωk ) qn+1 (ωk )(2.7)j = 1, n.Решая систему (2.7), например, методом Левенберга-Макрвардта, находим искомые диэлектрические проницаемости каждой секции.2.1.2Восстановление вещественной диэлектрической проницаемости и толщины каждой секцииВ пункте 2.2 рассмотрены обратные задачи восстановления вещественной диэлектрической проницаемости εj и толщины lj (1 ≤ j ≤n) каждой секции многосекционной изотропной диафрагмы по коэффициенту прохождения F/A (задача PεRj , lj ) или отражения B/A ( задачаQRεj , lj ).Рассмотрим задачу PεRj , lj .

Решение данной задачи так же, как и решение задачи PεRj , рассмотренной в предыдущем пункте, сводится к решению системы нелинейных уравнений (2.4). Отличие состоит в том, чтоколичество k различных частот, на которых проводятся измерения, совпадает с количеством секций, т.е k = n, так как система решается относительно 2n вещественных неизвестных εj (j = 1, ..., n) и lj (j = 1, ..., n).Решая систему численным методом решения систем нелинейных уравнений, методом Левенберга-Марквардта, находим все неизвестные εj и lj ,j = 1, ..., n.Решение данной задачи также как и задачи QRεj , рассмотренной впредыдущем пункте сводится к решению системы нелинейных уравнений(2.7).

Отличие состоит в том, что количество k различных частот, накоторых проводятся измерения, совпадает с количеством секций, т.е k =69n, так как система решается относительно 2n вещественных неизвестныхεj (j = 1, ..., n) и lj (j = 1, ..., n). Решая систему численным методомрешения систем нелинейных уравнений, например, методом ЛевенбергаМарквардта, находим все неизвестные εj и lj , j = 1, ..., n.2.1.3Восстановление комплексной диэлектрической проницаемостиВ пункте 2.3 рассмотрены обратные задачи восстановления комплексной диэлектрической проницаемости εj (1 ≤ j ≤ n) каждой секциимногосекционной изотропной диафрагмы по коэффициенту прохождения F/A (задача PεCj ) или отражения B/A (задача QCεj ).Рассмотрим задачу PεCj .Коэффициент прохождения F/A известен из эксперимента.Решение обратной задачи PεCj сводится к решению системы уравне-ний (2.4).

Отличие состоит в том, что количество уравнений, входящихв систему, в 2 раза больше (т.е j = 1, 2, . . . , n) в силу того, что εj величина комплексная. Решая полученную систему численным методом решения нелинейных систем, например, методом Левенберга-Марквардта,находим искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждойсекции.Рассмотрим задачу QCεj .Решение обратной задачи QCεj сводится к решению системы уравнений(2.7). Также отличие состоит в том, что количество уравнений, входящихв систему, в 2 раза больше (т.е j = 1, 2, . .

. , n) в силу того, что εj величина комплексная. Решая полученную систему численным методом решения нелинейных систем, например, методом Левенберга-Марквардта,находим искомые комплексные диэлектрические проницаемости каждойсекции.70Будем предполагать, что εj (j = 1, . . . , n) – комплексные числа. Рассмотрим уравнение (1.25). Оно может быть записано в следующей форме:2Aγ0 eiγ0 ln,H=FG (h) = H,гдеG (h) =(2.8)(+)γn (+)+ µγ00 qn+1(n) pµ11 n+1nQγj(2.9)(j)j=0 µ11и h := (ε1 , . . .

, εn ).Будем рассматривать (2.8) как комплексную функцию n комплексных переменных. Из (2.2) следует, что:!!pj+1cos αj i sin αj=qj+1i sin αj cos αjγj−10(j−1)µ11γj0pj(j)µ11qj!,(2.10)где j = 1, . . . , n. Тогда pn+1 , qn+1 можно представить как произведениематриц с помощью формулы (2.10).

Из представления (2.10) выберемдля каждого фиксированного j только ту матрицу, которая зависит отγj . Окончательно получим:!γj0(j)cos αj i sin αj µ11γj+1i sin αj cos αj0 (j+1)γj−1µ11=γj γj−1(j) (j−1)cos αjiµ11 µ11γj+1 γj−1iγj2(j) (j)µ11 µ11γj γj+1γj0(j)µ11sin αjsin αj (j) (j+1) cos αjµ11 µ11.(j)Разделим матрицу (2.10) на γj µ11 , получим:(j+1) (j−1)µ11µ11γj−1(j−1) cos αjµ11(j)γj+1 γj−1 µ11i(j+1) (j−1)µ11γj µ11isin αj71γj(j)µ11γj+1sin αj(j+1)µ110(j−1)µ11cos αj=..(2.11)Используя ряды Тейлора для функций sin αj и cos αj и полагая αj =γj (lj − lj−1 ), преобразуем матрицу (2.11) в матрицу:∞∞γj P (−1)n 2n+1 2n+1γj−1 P (−1)n 2n 2ni (γlj(j−1)(2n)! γj ljµ11µ11 j) n=0 (2n+1)! jn=0∞∞n γj+1 γj−1 µ(11 j) Pγj+1 P (−1)n 2n 2n(−1)2n+1 2n+1lγi (j+1) (j−1)(j+1)j(2n+1)! j(2n)! γj ljµ11µ11γjµ11n=0n=0.Таким образом, из последней формулы видно, что каждый коэффи-циент матрицы зависит от γj2 . В силу того, что γj2 = εj µ0 ω 2 − π 2 /a2 ,получаем, что каждый коэффициент матрицы (2.11) есть аналитическаяфункция от εj .Рассмотрим следующие определения.Определение 2.1.