Диссертация (Исследование обратных задач восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения), страница 3

Разработанный метод представляет собой модифицированный метод Левенберга-Марквардта. Новизна заключается в выбореначального приближения. Выбор начального приближения осуществляется двумя способами:1) с помощью решения задачи для тонких диафрагм;2) с помощью решения задачи для односекционной диафрагмы.В пункте 3.1 приведен алгоритм метода Левенберга-Марквардта.В пункте 3.2 представлен выбор начального приближения.В главе 4 представлены комплексы программ для численного решения обратных задач. В главе- представлены численные результаты решения поставленных обратных задач;- приведено сравнение полученных численных результатов с экспериментальными данными; численные результаты представлены в видеграфиков.17Глава 1Обратные задачи восстановленияэлектромагнитных параметроводносекционной диафрагмы впрямоугольном волноводеГлава 1 посвящена обратным задачам восстановления электромагнитных параметров односекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе.Результаты опубликованы в [7, 8, 9, 79].1.1Прямая задачаПункт 1.1 посвящен задаче дифракции электромагнитной волны намногосекционной магнитно-диэлектрической анизотропной диафрагме впрямоугольном волноводе.

Результаты решения прямой задачи описаныв частности в [37, 83]. В данном пункте эти результаты записаны в болееудобном виде и используются в диссертации в том числе и для решенияобратных задач.181.1.1Постановка и решение прямой задачиРассмотрим волноводP := {x : 0 < x1 < a, 0 < x2 < b, −∞ < x3 < ∞}с идеально проводящими стенками ∂P , расположенный в декартовой системе координат Oxyz . В волновод помещена многосекционная диафрагмаQ := {(x, y, z) : 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < l}с секциямиQj := {(x, y, z) : 0 < x < a, 0 < y < b, lj−1 < z < lj },Q=n[Qj ,j=1здесь lj − lj−1 – (известная) толщина j-той секции и l0 = 0, ln = l, l –полная длина диафрагмы.Рисунок 1.1 Диафрагма в волноводеВ P \Q̄ среда изотропна и однородна с проницаемостями ε0 > 0, µ0 > 0,k02 = ω 2 ε0 µ0 , k0 – волновое число, ω > 0 – круговая частота.

СекцияQj заполнена анизотропной средой, характеризующаяся диагональнымтензором магнитной проницаемости:19(j)µb (ω) = µj11 (ω)000µj22 (ω)000µj33 (ω),и диагональным тензором диэлектрической проницаемости:jε11 (ω)00j.εb(j) (ω) = 0ε(ω)022j00ε33 (ω)(1.1)(1.2)В дальнейшем мы будем опускать индексы j, а также зависимость отчастоты для краткости записи.Электромагнитное поле E, H внутри волновода удовлетворяет уравнениям Максвелла:вне диафрагмы иrot H = −iωε0 E(1.3)rot H = −iωbεE(1.4)rot E = iωµ H,0rot E = iωbµ H,внутри диафрагмы, где E – вектор напряженности электрического поля,H – вектор напряженности магнитного поля, ω > 0 – круговая частота.Будем предполагать, что волновое число k0 удовлетворяет неравенствуπ/a < k0 < π/b.

В этом случае в волноводе будет распространятьсятолько волна H10 , т.е. волновод работает в одномодовом режиме [1, 12,20]; при этом высшие моды экспоненциально затухают. Представленноениже решение является точным и не содержит затухающих мод.Будем использовать систему СГС. Тогда круговая частота ω измеряется в ГГц = 109 [cек−1 ]. Ниже представлены формулы, которые связывают между собой круговую частоту ω, линейную частоту f и волновое20число k0 :2πf,cc– скорость света в вакууме. Тогдаω = 2πf, k0 =где cc = 2.9998 · 1010 [см сек−1 ] =√1ε0 µ 0условие распространения одной волны можно записать в виде:ππ√< ω ε0 µ0 < ,abоткудаππω< < .accbБудем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид: πx 0e−iγ0 z e2 ,E = A sinaчто соответствует волне типа H10 с известной амплитудой A, где γ0 =γ0 (ω) 6= 0, γ0 – постоянная распространения волны H10 , e2 – орт вдольоси Oy. Вектор H0 определяется из второго уравнения системы (1.3).В прямоугольном волноводе основной волной является волна H10 ,которая имеет поляризацию [1]:E = (0, Ey , 0),H = (Hx , 0, Hz ).Тогда поле E вне Q имеет вид:sin πx Ae−iγ0 z + Beiγ0 z e2 , z < 0,aE=sin πx F e−iγ0 z e ,z > l,2a(1.5)(1.6)а внутри Q:Ej = sin πx aCj e−iγj z + Dj eiγj z e2 , j = 1, .

. . , n,(1.7)где Cj и Dj – константы, которые определяются ниже. Здесь γn+1 = γ0 ,A – амплитуда падающей волны, B/A и F/A – коэффициенты отраженияи прохождения, подлежащие измерению.21Рисунок 1.2 Схема распространения электромагнитной волны в волноводе.На границах областей должны выполняться условия:[Eτ ]|L = 0,[Hτ ]|L = 0,где L := {(x, y, z) : z = 0, .

. . , z = lj , . . . , z = ln }, j = 1, . . . , n, [·]|L– скачок предельных значений функции на границе раздела сред L, тоесть:Eτ(j) − Eτ(j+1) = 0,(j)(j)E τ и HτHτ(j) − Hτ(j+1) = 0,(j = 1, 2, . . . , n)– тангенциальные составляющие векторов E,H соответственно. В силу поляризации (1.5) тангенциальными составляющими векторов E, H являются Eτ = Ey ,Hτ = Hx . Тогда граничныеусловия примут вид:[Ey ]|L = 0,[Hx ]|L = 0,(1.8)Ey , Hx – тангенциальные составляющие векторов E, H соответственно.Подставим (1.1), (1.2) и (1.5) в уравнения Максвелла (1.4):∂∂∂H−H=−iωεEHz = 0zy11x∂y∂z∂y∂∂∂∂H−H=−iωεEHx −Hz = −iωε22 Eyxz22 y∂z∂x∂z∂x∂∂∂− Hx = 0 Hy − Hx = −iωε33 Ez∂x∂y∂yили.∂∂∂∂Ez − Ey = iωµ11 HxEz − Ey = iωµ11 Hx∂y∂z∂y∂z∂∂∂∂E−E=iωµHE−Ez = 0xz22yx∂z∂x∂z∂x∂∂∂∂Ey − Ex = iωµ33 HzEy − Ex = iωµ33 Hz∂x∂y∂x∂y22Из последней системы получаем:1 ∂ 2 Ey(j)µ33∂x2+1 ∂ 2 Ey(j)µ11причем∂z 2(j)= −ω 2 ε22 Ey , Hx = − Hz=1j = 1, .

. . , n.(1.9)∂Ey(j)iωµ11 ∂z.1 ∂Ey(j)iωµ33 ∂xПодставляя (1.7) в уравнение (1.9), получаем:vu2 (j)ut 2 (j) (j) π µ11γj =ω ε22 µ33 − 2 (j) , j = 1, . . . , n.a µ33(1.10)Из уравнений Максвелла (1.3) и учитывая, что ε0 , µ0 – скалярные величины, получаем:∂ 2 Ey∂x2причем+∂ 2 Ey∂z 2= −k02 Ey ,1 ∂Ey Hx = −iωµ0 ∂z .1 ∂Ey Hz =iωµ0 ∂xПодставляя (1.6) в уравнение (1.9), получаем:r π 2 r π 222= k0 −.γ0 = ω ε0 µ0 −aaТак как Hx = −(1.11)1∂Ey(1.12), граничные условия (1.8) для вектора H(j)iωµ11 ∂zможно записать в следующем виде:∂Ey = 0.(1.13)∂z L23Подставляя выражения (1.6), (1.7) в граничные условия (1.8), (1.13),получим следующую систему уравнений:A + B = C 1 + D1γ1γ0(B − A) = (1) (D1 − C1 )µ0µ11Cj e−iγj lj + Dj eiγj lj = Cj+1 e−iγj+1 lj + Dj+1 eiγj+1 ljγj+1γj −iγj lj(iγj lj )−iγj+1 ljiγj+1 ljCe−DeCe−De=−−jjj+1j+1(j)(j+1)µ11µ11(1.14)Здесь j = 1, .

. . , n, Cn+1 = F , Dn+1 = 0, а γj , γ0 вычисляются по формулам (1.10) и (1.12) соответственно. Система уравнений (1.14) относительно неизвестных B, Cj , Dj представляет собой систему линейныхалгебраических уравнений, которую можно решить любым известнымметодом решения систем линейных алгебраических уравнений.Постановка прямой задачи: требуется по известной амплитуде Aпадающего поля, известным диагональным тензорам магнитной µb(j)и диэлектрической εb(j) проницаемостям и известным длинам lj каж-дой секции диафрагмы найти электромагнитное поле в волноводе, т.е.решить систему (1.3) и (1.4) с поляризацией (1.5) и с условиями сопряжения (1.8).Справедливо следующее предположение:Предложение 1.1.

Решение прямой задачи имеет вид (1.6),(1.7), где коэффициенты F , Cj , Dj (j = 1, . . . , n), B определяются по формулам:F =гдеeiγj ljeC j = γj2 (j)µ11(ej+1 eC( µγ002A µγ001e1 + ( γ0 −+ γ(1))Cµ0γj−iγj+1 lj(j)µ11µ11+γj+1 (j+1)µ1124γ1 e(1) )D1µ11e j+1 e+D(1.15),γjiγj+1 lj(j)µ11−γj+1 (j+1)µ11),(1.16)−iγj ljej = eD2γj(j)µ11(ej+1 eCγj−iγj+1 lj(j)µ11−γj+1(j+1)µ11e j+1 e+Dγjiγj+1 l1(j)µ11+γj+1en+1 = Cn+1 = F, De n+1 = Dn+1 = 0, Cj = Cej F, Dj = De j F,CB=12 µγ00(j = 1, .

. . , n.(C1 + D1 )γ1γ0− (C1 − D1 ) (1)µ0µ11).Доказательство. Запишем систему (1.14) в матричном виде:M x = N0 ,x0 = (A, B)T 0 0M j x j = Nj ,M x = N ,n n0xj = (Cj , Dj )T ,j = 1, . . . , n(j+1)µ11)(1.17)(1.18)(1.19)(1.20)x0 = (Cn , Dn )T .Здесь Mj , Nj , j = 0, .

. . , n + 1 имеют вид:M0 :=N0 := 11− µγ00γ0µ0!,C 1 + D1γ1(1) (D1µ11− C1 ),e−iγj ljeiγj ljMj :=  γj −iγj lj γj iγj lj  , j = 1, . . . , n − 1,− (j) ee(j)µ11µ11iγj+1 ljiγj+1 ljeCj+1 + eDj+1 , j = 1, . . . , n − 1,Nj := γγj+1j+1−iγj+1 ljiγj+1 ljCj+1 + (j+1) eDj+1− (j+1) eµ11µ11−iγn lniγn lnee,Mn := γγnn−iγn lniγn ln − (n) ee(n)µ11µ1125,iγ0 lneFNn :=  γ0.−iγ0 lnF− eµ0Из системы (1.20) находим компоненты вектора x0 :()γγ110A = γ0+ C1 − D1 (1) ,C 1 + D12 µ0µ0µ(1.21)111B = γ02 µ0(C 1 + D1γ0µ0− C 1 − D1γ1(1)µ11),(1.22)компоненты вектора xj :)(iγj ljγjγj+1γj+1γje,Cj = γj Cj+1 e−iγj+1 lj (j) + (j+1) + Dj+1 eiγj+1 lj (j) − (j+1)2 (j)µ11µ11µ11µ11µ11(1.23)()γγe−iγj ljγγjjj+1j+1Cj+1 e−iγj+1 lj (j) − (j+1) + Dj+1 eiγj+1 l1 (j) + (j+1)Dj = γ j,2 (j)µ11µ11µ11µ11µ11j = 1, . .

. , n − 1,компоненты вектора xn :e−iγn ln −iγ0 ln γnγ0 γ0 eiγn ln −iγ0 ln γn, Dn =. (1.24)Fe+−C n = γn F en(n)(n)2 (n)µ02 γ(n)µ0µµµ1111µ1111Справедливость формул (1.21)-(1.26) легко проверить по индукции. Из(1.21)-(1.24) получаем формулы (1.15)-(1.19), по которым выражаютсякоэффициенты F , Cj , Dj (j = 1, . . . , n) и B.В следующих пунктах рассмотрены обратные задачи восстановлениядиэлектрической (или магнитной) проницаемости по коэффициенту прохождения F/A или по коэффициенту B/A. С этой целью найдем зависимость коэффициента прохождения F/A (коэффициента отражения B/A)от компонент диагональных тензоров магнитной проницаемости µb(j) , ди-электрической проницаемости εb(j) и длин lj .261.1.2Рекуррентные формулыРассмотрим формулы (1.10) и (1.15)-(1.19). Поскольку компонентытензоров магнитной проницаемости и диэлектрической проницаемостиεb(j) входят в γj , то необходимо найти зависимость коэффициента про-хождения F/A (коэффициента отражения B/A) от коэффициентов γj(1 ≤ j ≤ n).Следующее утверждение является следствием Предложения 1.1, до-казанного в предыдущем подпункте.Следствие 1.1.