Курс лекций по Физике наноразмерных систем

1.Ðàçìåðíûå ýôôåêòû â êðèñòàëëàõÐàçìåðíûå ýôôåêòû (â øèðîêîì ñìûñëå)âëèÿíèå ðàçìåðîâ è ôîðìû òåëà íàåãî ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà.Òèïè÷íàÿ ïðè÷èíà ðàçìåðíûõ ýôôåêòîâ: êàêîé-íèáóäü èç ãåîìåòðè÷åñêèõðàçìåðîâ òåëà L ñîèçìåðèì c äðóãèìè õàðàêòåðíûìè äëèíàìè, âëèÿþùèìè íàñâîéñòâà òåëà.Íàèáîëåå âàæíûå õàðàêòåðíûå äëèíû â êðèñòàëëàõ:• a ïîñòîÿííàÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Îáû÷íî äëÿ îöåíîê áåðåòñÿ çíà÷åíèåa≈5A = 5 · 10−10 ì = 0, 5 íì.• l äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà êâàçè÷àñòèö (ýëåêòðîíîâ, ôîíîíîâ, ýêñèòîíîâ, ìàãíîíîâ è ò.ä.).  ÷èñòûõ êðèñòàëëàõ îíà ìîæåò äîñòèãàòü ìèêðîí (10−6 ì).• λ ñðåäíÿÿ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ äëÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê. êîíêðåòíûõ çàäà÷àõ ïîÿâëÿþòñÿ è äðóãèå õàðàêòåðíûå äëèíû.Êàæäûé ðàç ýòîò âîïðîñ íóæíî îòäåëüíî àíàëèçèðîâàòü.Çàìå÷àíèå: çàâèñèìîñòè îò ñòðîåíèÿ êðèñòàëëà (â ÷àñòíîñòè, îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè îí ìåòàëëîì, äèýëåêòðèêîì èëè ïîëóïðîâîäíèêîì), îò íàëè÷èÿ ïðèìåñåé, äåôåêòîâ è ò.ä.,âîçìîæíû ðàçíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó õàðàêòåðíûìè äëèíàìè.Íàïðèìåð, â ìåòàëëàõ ó ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè λ ≈ a.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âäîñòàòî÷íî ÷èñòûõ ìåòàëëàõ l ≫ a.  ïîëóïðîâîäíèêàõ ñðåäíèé èìïóëüñ ýëåêòðîíîâçíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ïîýòîìó â íèõ ÷àñòî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî λ ≫ a.1.1.Êëàññè÷åñêèå è êâàíòîâûå ðàçìåðíûå ýôôåêòû íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðèíÿòà ñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ ðàçìåðíûõ ýôôåêòîâ:•Êëàññè÷åñêèå ðàçìåðíûå ýôôåêòû îòíîñÿòñÿ ê ñèòóàöèÿì, êîãäà L ≫ λ, ãäåL ëþáîé ðàçìåð ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.•Êâàíòîâûå ðàçìåðíûå ýôôåêòûîòíîñÿòñÿ ê ñèòóàöèÿì, êîãäà äëÿ îäíîãî èëèíåñêîëüêèõ ðàçìåðîâ ñèñòåìû L ≈ λ.Çàìå÷àíèÿ:• Åñëè L ≈ λ, íóæíî ó÷åñòü êâàíòîâàíèå ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ïðè èõ äâèæåíèè âäàííîì íàïðàâëåíèè.• Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî åñëè äàæå L ≫ λ, îïèñàíèå îáúåìíûõ ñâîéñòâ ñèñòåìûìîæåò áûòü êâàíòîâûì. Òèïè÷íûé ïðèìåð: ýëåêòðîíû ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëå âûðîæäåííûé ôåðìè-ãàç.Ïðèìåð äëÿ èëëþñòðàöèè:Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëóïðîâîäíèêîâûé îáðàçåö èìååò ôîðìó ïëåíêè (ñì.

Ðèñ. 1.1.)è d ≪ L.1 çàâèñèìîñòè îò òîëùèíû ïëåíêè d, âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñèòóàöèè:Ðèñ.1.1.1)d≫λ2)d≈λ ïåðâîì ñëó÷àå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü êâàíòîâàíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè âäîëü îñè x (èç-çà ìàëîñòè äëèíû âîëíû äå Áðîéëÿ êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíàìîæíî îïèñûâàòü ïëîñêèìè âîëíàìè, êàê â òðåõìåðíîì êðèñòàëëå). Âî âòîðîì ñëó÷àåäëÿ îïðåäåëåíèÿ îäíîýëåêòðîííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íóæíî ó÷èòûâàòü ãðàíè÷íîåóñëîâèå äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè. Ôàêòè÷åñêè, äâèæåíèå ýëåêòðîíà âäîëü îñè x íàïîìèíàåò äâèæåíèå â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, à â ïëîñêîñòè (y, z) (âäîëü ïëåíêè) äâèæóòñÿñâîáîäíî. Òàêàÿ ìîäåëü ÷àñòî íàçûâàåòñÿ äâóìåðíûì ýëåêòðîííûì ãàçîì.Äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç îáðàçóåòñÿ, íàïðèìåð, â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå,êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ñîâðåìåííûõ ïðîöåññîðîâ äëÿ êîìïüþòåðîâ.

Îäíà èçñõåì ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà ïîêàçàíà íà Ðèñ. 1.2.1 íåëåãèðîâàííûé ñëîé GaAs, L1 = 10−4 ñì;2 ëåãèðîâàííûé äîíîðàìè ñëîéAlx Ga1−x As (îáû÷íî x ≈ 0, 3), L2 = 10−5 ñì.Êîíöåíòðàöèÿ äîíîðîâ nd ≈ 1018 ñì−3 .3 ìåòàëëè÷åñêèå êîíòàêòû (ñòîê è èñòîê).4 ìåòàëëè÷åñêèé çàòâîð (èçîëèðîâàí îòñòðóêòóðû ñëîåì äèýëåêòðèêà èëè îêèñëà).5 äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç.Ðèñ.1.2.Ãðàíèöà ìåæäó ñëîÿìè 1 è 2 ïðèìåð òàê íàçûâàåìîãî ãåòåðîïåðåõîäà êîíòàêòà äâóõ ðàçëè÷íûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ. Ëåãèðîâàíèå ñëîÿ 2 ïðèâîäèò ê èñêàæåíèþ(èçãèáó) âàëåíòíîé çîíû è çîíû ïðîâîäèìîñòè âáëèçè ãåòåðîïåðåõîäà1 .

Ýëåêòðîíû,ñòðåìÿñü óñòàíîâèòü åäèíûé óðîâåíü Ôåðìè â ñëîÿõ 1 è 2, ïåðåõîäÿò ñ äîíîðîâ â ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó, îáðàçîâàííóþ èçãèáîì çîí íà ãåòåðîïåðåõîäå. Êâàíòîâàíèå ïîïåðå÷íîãîäâèæåíèÿ â ÿìå ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ äâóìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà ñ ïîâåðõíîñòíîé êîíöåíòðàöèåé 1011 − 1012 ñì−2 .

Íàïðÿæåíèå V , ïðèëîæåííîå ê ñòîêó è èñòîêóçàðÿäîâ, âûçûâàåò òîê â äâóìåðíîì ýëåêòðîííîì ãàçå, êîòîðûì ìîæíî óïðàâëÿòü ñïîìîùüþ íàïðÿæåíèÿ çàòâîðà Vg .1.2.Áàëëèñòè÷åñêèé òðàíñïîðòÂåðíåìñÿ ê Ðèñ. 1.1. Åñëè d ≫ λ, íî òîëùèíà ïëåíêè d ñîèçìåðèìà ñî ñðåäíåé äëèíîéïðîáåãà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè l, òî âîçìîæíû êëàññè÷åñêèå ðàçìåðíûå ýôôåêòû.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî d ≫ l (òîëñòàÿ ïëåíêà ).1Ïðè÷èíû èñêàæåíèÿ çîí â îáëàñòè ãåòåðîïåðåõîäà áóäóò ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â äàëüíåéøåì.2 ýòîì ñëó÷àå äâèæåíèå ýëåêòðîíà âûãëÿäèòïðèìåðíî òàê, êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ.

1.3. Òàêîé õàðàêòåð äâèæåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò äèôôóçèîííûì, à ñâÿçàííûå ñ íèì ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà (ýëåêòðîïðîâîäíîñòü, òåïëîïðîâîäíîñòü, èÐèñ.1.3.ò.ä.) äèôôóçèîííûì òðàíñïîðòîì.Èòàê, â ñëó÷àå d ≫ l âëèÿíèå òîëùèíû ïëåíêè íà åå ýëåêòðîïðîâîäíîñòü è òåïëîïðîâîäíîñòü áóäåò íåñóùåñòâåííûì.  ÷àñòíîñòè, ïëîòíîñòü òîêà òîêà ⃗j áóäåò ëîêàëüíî⃗:çàâèñåòü îò íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E⃗⃗j = σ E,(1.1)ãäå σ óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü (ýëåêòðîïðîâîäíîñòü) òðåõìåðíîãî êðèñòàëëà.

Êàêèçâåñòíî èç êèíåòè÷åñêîé òåîðèè,n e2 τ(1.2)σ= e ∗ ,mãäå ne êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, m∗ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà,τ òðàíñïîðòíîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè2 .Íåêîòîðûå îöåíêè:•Ìåòàëëû.Òèïè÷íûå çíà÷åíèÿ òðàíñïîðòíîãî âðåìåíè ðåëàêñàöèè äëÿ ìåòàëëîâ ñîñòàâëÿþòτ ≈ 10−11 − 10−10 ñ.Îòñþäà ìîæíî îöåíèòü ñðåäíþþ äëèíó ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ: l ≈ ⟨v⟩τ .  ìåòàëëàõ⟨v⟩ ≈ vF , ãäåvF ≈ 106 ì/ñ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè.

Ïîýòîìól ≈ 10−5 − 10−4 ì (ìåòàëëû).•(1.3)Ïîëóïðîâîäíèêè.Îáû÷íî ãàç ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ïîëóïðîâîäíèêàõ íå âûðîæäåí (ò.å. ïîä÷èíÿåòñÿ êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå), ïîýòîìó ⟨v⟩ ñèëüíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû èíàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà. Òðàíñïîðòíîå âðåìÿ ðåëàêñàöèèòàêæå çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû, îò òèïà è êîíöåíòðàöèè ïðèìåñåé, è ò.ä.

Òèïè÷íûå çíà÷åíèÿ τ è ⟨v⟩ äëÿ íîñèòåëåé çàðÿäà â ïîëóïðîâîäíèêàõ ïðè êîìíàòíûõòåìïåðàòóðàõ ñîñòàâëÿþòτ ≈ 10−12 − 10−11 ñ,Ïîýòîìó⟨v⟩ ≈ 5 · 104 ì/ñ.l ≈ 5 · 10−8 − 5 · 10−7 ì (ïîëóïðîâîäíèêè).(1.4)Íàïîìíèì, ÷òî òðàíñïîðòíûì âðåìåíåì ðåëàêñàöèè íàçûâàåòñÿ âðåìÿ ðåëàêñàöèè èìïóëüñà ýëåêòðîíîâ. Îíî ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò âðåìåíè ðåëàêñàöèè ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ.23Çàìå÷àíèå: Èç ïðèâåäåííûõ îöåíîê âèäíî, ÷òî óñëîâèå d ≈ l ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíîâ òîíêèõ ìåòàëëè÷åñêèõ ïëåíêàõ, íî åãî î÷åíü òðóäíî âûïîëíèòü äëÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ïëåíîê.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìåòàëëè÷åñêîé ïëåíêå d ≪ l. Òîãäà áîëüøàÿ ÷àñòü ýëåêòðîíîâïðîëåòàåò îò îäíîé ãðàíèöû ïëåíêè äî äðóãîé, íå èñïûòàâ íè îäíîãî ñòîëêíîâåíèÿ.Òàêîå ÿâëåíèå íàçûâàþò áàëëèñòè÷åñêèì òðàíñïîðòîì.Ñàìîå âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: â ðåæèìå áàëëèñòè÷åñêîãî òðàíñïîðòà ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ è ðåëàêñàöèÿ èõ èìïóëüñà ïðîèñõîäÿò íå â îáúåìå, à íàñòåíêå.Ðèñ.

1.4. à) Çåðêàëüíîå îòðàæåíèå; á) Äèôôóçíîå îòðàæåíèåÑâîéñòâà ïîâåðõíîñòè îáû÷íî ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü èíäèêàòðèñîé ðàññåÿíèÿw(⃗p, p⃗ ′ ) óãëîâûì ðàñïðåäåëåíèåì ðàññåÿííûõ êâàçè÷àñòèö. Âåëè÷èíà w(⃗p, p⃗′ ) d3 p⃗′ åñòüâåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êâàçè÷àñòèöà, èìåþùàÿ íà÷àëüíûé èìïóëüñ p⃗, ïîñëå ðàññåÿíèÿáóäåò èìåòü èìïóëüñ â èíòåðâàëå d3 p⃗′ îêîëî èìïóëüñà p⃗′ . Ïðè óïðóãîì îòðàæåíèè ôàêòè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ëèøü íàïðàâëåíèå èìïóëüñà. Äâà ïðåäåëüíûõñëó÷àÿ îòðàæåíèÿ ïîêàçàíû íà Ðèñ.

1.4. óñëîâèÿõ áàëëèñòè÷åñêîãî òðàíñïîðòà ïðîâîäèìîñòü ïëåíêè áóäåò ñóùåñòâåííîçàâèñåòü îò åå øèðèíû d (îñîáåííî ïðè äèôôóçíîì îòðàæåíèè). Ðàñ÷åò, îñíîâàííûéíà êèíåòè÷åñêîé òåîðèè äàåò (ïðè d ≪ l)σ(d)∼σ0( )1/2dl(1.5)Ïðèìåðíî òî æå ñàìîå äîëæíî íàáëþäàòüñÿ äëÿ òîíêèõ ïðîâîëîê, äèàìåòð êîòîðûõd ìåíüøå, ÷åì äëèíà ïðîáåãà l.  ýòîì ñëó÷àå( )lσ(d)d∼ ln,(1.6)σ0ldãäå σ0 ïðîâîäèìîñòü òðåõìåðíîãî ìåòàëëà. Çàâèñèìîñòè (1.5) è (1.6) ïîäòâåðæäàþòñÿâ ýêñïåðèìåíòàõ.Êëàññè÷åñêèå ðàçìåðíûå ýôôåêòû ïðîÿâëÿþòñÿ è â äðóãèõ ïðîöåññàõ ïåðåíîñà. Òèïè÷íûé ïðèìåð òåïëîïðîâîäíîñòü ïëåíîê è ïðîâîëîê.•Ìåòàëëû.Êàê èçâåñòíî, ïåðåíîñ òåïëà â ìåòàëëàõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ýëåêòðîíàìè è ôîíîíàìè, íî îáû÷íî ýëåêòðîííûé âêëàä ÿâëÿåòñÿ äîìèíèðóþùèì.

Íåêîòîðûå îñîáåííîñòè òåïëîïðîâîäíîñòè â óñëîâèÿõ ýëåêòðîííîãî áàëëèñòè÷åñêîãî òðàíñïîðòà âìåòàëëàõ ìîæíî âûÿñíèòü íà îñíîâå ïðîñòûõ ñîîáðàæåíèé, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû êèíåòè÷åñêîé òåîðèè. Íàïðèìåð, ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ â ìåòàëëàõ âðåìåíàðåëàêñàöèè ïîòîêà ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ è èõ èìïóëüñà îïðåäåëÿþòñÿ óïðóãèìèñòîëêíîâåíèÿìè.

Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè T > θ, ãäå θ òåìïåðàòóðà Äåáàÿ3 , èÏðè ýòèõ òåìïåðàòóðàõ îñíîâíîé ìåõàíèçì ðåëàêñàöèè ïî÷òè óïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ ýëåêòðîíîâñ ôîíîíàìè.34ïðè î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, êîãäà îñíîâíîé ìåõàíèçì ðåëàêñàöèè óïðóãèåñòîëêíîâåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ïðèìåñÿìè.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ñïðàâåäëèâ òàê íàçûâàåìûé çàêîí Âèäåìàíà-Ôðàíöà( )2κπ 2 kB=T.(1.7)σ3eÏîýòîìó äëÿ ýëåêòðîííîãî âêëàäà â òåïëîïðîâîäíîñòü èìååì κ(d) ∝ σ(d). ÏðèT ≤ θ îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò íåóïðóãèå ýëåêòðîí-ôîíîííûå ñòîëêíîâåíèÿ. Çàêîí Âèäåìàíà-Ôðàíöà íàðóøàåòñÿ è âû÷èñëåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñòàíîâèòñÿäîâîëüíî ñëîæíîé çàäà÷åé.

Ðàñ÷åò ïî êèíåòè÷åñêîé òåîðèè äàåò( )1/2d(ïëåíêà),κ ∝ σ(d) (ïðîâîëîêà)κ∝T ôîðìóëå äëÿ ïðîâîëîêè êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè îòëè÷àåòñÿ îò êîýôôèöèåíòà â çàêîíå Âèäåìàíà-Ôðàíöà.•Ïîëóïðîâîäíèêè è äèýëåêòðèêè. ýòîì ñëó÷àå ïåðåíîñ òåïëà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî ôîíîíàìè, ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ ðàçìåðíûõ ýôôåêòîâ â òåïëîïðîâîäíîñòè íóæíî èñïîëüçîâàòüêèíåòèêó ôîíîíîâ â óñëîâèÿõ áàëëèñòè÷åñêîãî òðàíñïîðòà.1.3.Êëàññèôèêàöèÿ íèçêîðàçìåðíûõ ñèñòåì ñîâðåìåííîé ìèêðîýëåêòðîíèêå íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò êâàíòîâûå ðàçìåðíûå ýôôåêòû, êîãäà îäèí èëè íåñêîëüêî ðàçìåðîâ ñèñòåìû ñîèçìåðèìû ñ äëèíîéâîëíû äå Áðîéëÿ äëÿ ýëåêòðîíîâ. çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà èçìåðåíèé äëÿ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ, ââîäèòñÿñëåäóþùàÿ êëàññèôèêàöèÿ íèçêîðàçìåðíûõ ñèñòåì (ñòðóêòóð):•Ñèñòåìû ñ ðàçìåðíîñòüþ äâà (2D -ñèñòåìû)•Ñèñòåìû ñ ðàçìåðíîñòüþ åäèíèöà (1D -ñèñòåìû)•Ñèñòåìû ñ íóëåâîé ðàçìåðíîñòüþ (0D -ñèñòåìû) êâàíòîâûå òî÷êè è êëàñòåðû.